迭代法求解线性方程组的研究
【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi 迭代法，Gauss-seidel 迭代法，SOR
迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB 在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。
【关键字】:Jacobi 迭代法 Gauss-seidel 迭代法 SOR 迭代法 数值实验
一． 引言
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重
要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。 设有方程组
b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式
f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x
k k +=+)()
1( …③
式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)
0(x
，由式③可求得向量序列
∞0)(}{k x ，若*)
(lim x x
k k =∞
→，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性质。
本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi 迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel 迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR 迭代法及其数值实验，第五部分总结。
二． 雅克比（Jacobi ）迭代法
1. 雅克比迭代法的格式
设有方程组
),,3,2,1(1
n i b x a
j j n
j ij
==∑= …①
矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠
从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式
)(1
1
1j n
j j ij
ii
i x a
b a x ∑≠=-= …②
取初始向量),,,()
0()0(2)0(1)
0(n x x x x
=，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
)(11
1)()
1(∑≠=++-=n
j j i k j ij ii k i
b x a a x …③ 也可记为矩阵形式：
J x J k F B x
k +==)
()
1( …④
若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，式中
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=nn a a a D
22
11，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--00
001
21
3231
21
nn n n a a a a a a L ，
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=--00
00122311312
n n n n a a a a a a D 。
则方程Ax=b 变为 b x U L D =--)( 得 b x U L Dx ++=)( 于是 b D x U L D x 1
1
)(--++=
b
D x A D I b D x A D D 1
1
11)()(----+-=+-=
于是式中④中的 b D f A D I B J J 1
1,--=-=。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于
讨论迭代法的收敛性。
2. 雅克比迭代法的程序
雅克比迭代法的MATLAB 函数文件 agui ＿jacobi.m 如下。 Function x= agui ＿jacobi(a,b)
%a 为系数矩阵，b 为右端向量，0x 为初始向量（默认为零向量） %e 为精度（默认为1e-6）,n 为最大迭代次数（默认为100） x 为返回解向量。 n=length(b)； N=100; e=1e-6;
x0=zeros(n,1); x=x0; x0=x+2*e; k=0;
d=diag(diag,0); 1=-tril(a,-1); u=-triu(a,1);
while norm(x0-x,inf)>e&kx=inv(d)*(l+u)*x+inv(d)*b; k disp('
x ) end
if k=N warning(‘以达到最大迭代次数’);end
3. 数值例子
用雅克比迭代法求解如下线性方程组。
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+--=-+-=--42
58321072210321321321x x x x x x x x x 解：在MATLAB 命令窗口求解例题
>>a=［10 -1 2;-1 10 -2;-1 -1 5］ a=
10 -1 2 -1 10 -2 -1 -1 5 >>b=［72;83;42］
b= 72 83 42
>>x= agui ＿jacobi(a,b) 计算结果为： k=1
7.20000000000000 8.30000000000000 8.40000000000000 k=2
9.710000000000000 10.70000000000000 11.50000000000000 … k=16
10.99999968449670 11.99999968449670 12.99999962583317 x=
10.99999968449670 11.99999968449670 12.99999962583317.
三．高斯—赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法
1. 高斯—赛德尔迭代法的格式。
雅克比迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。在每一步迭代时，用)
(k x 的全部分量
求出)
1(+k x
的全部分量，因此称为同步迭代法，计算时需保留两个近似解)
(k x
和)
1(+k x
。
但在雅克比迭代过程中，对已经计算出的信息未能充分利用，即在计算第i 个分量)
1(+k i x 时，
已经计算出的最新分量)
1(1)
1(1
,,+-+k i k x x 没有被利用。从直观上看，在收敛的前提下，这些新的分量
)1(1)1(1,,+-+k i k x x 应比旧的分量)
(1)(1,,k i k x x - 更好，更精确一些。因此，如果每计算出一个新的分量便
立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛的速度更快，并且只需要储存一个近似解向量即可。据此思想可构造高斯—赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法，其迭代公式为 )(1)(11
1
)1()
1(i k j i j n
i j ij
k j ij ii k i
b x a
x a a x +-=∑∑-=+=++ （i=1,2,…,n ）
也可以写成矩阵形式 S G k S G k f x B x
--++=)()
1(
仍将系数矩阵A 分解为 U L D A --= 则方程组变为 b x U L D =--)( 得 b Ux Lx Dx ++= 将最新分量代替为旧分量，得 b Ux Lx Dx
k k k ++=++)()1()
1(
