充要条件复习课

条件？
(1)若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的一条切线； (2)若x是无理数，则x2也是无理数. 解：(1) q是p的必要条件；(2) q不是p的必要条件.
P20练习3 如图，直线a和b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和 ∠4. 请根据这些信息，写出几个“a//b”的充分条件和必要l 条件.
一、充分条件与必要条件:
一般地，如果已知p q
那么我们就说
p是q的充分条件， q是p的必要条件。
注意：
(1)“p是q的充分条件”意味着： p成立就足以推出q成立。 (2)“q是p的必要条件”意味着：若p要成立则q必不可少。 (3)对同一个真命题“若p，则q”，有
“p是q的充分条件” “q是p的必要条件”
3.假命题：判断为假的语句叫做假命题.
4.命题的形式：命题的主要有“若p，则q”，“如果p，那么 q” ，“只要p，就有q”等形式. 其中p称为命题的条件，q称 为命题的结论.
思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（真命题） （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（假命题）
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2=1，则x=1； （5）若a=b，则ac=bc； （6）若x,y为无理数，则xy为无理数.
，又有 q p
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件。 我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。

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高考一轮总复习 · 数学· 理（新课标版）
4．(2018·上海春季高考题)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，“{an}
是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D 解析 若 an＝2n－10，则{an}递增，但 S4<S3，∴充分性不成立． 若 an＝1n，则{Sn}递增，此时{an}递减，∴必要性不成立．
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(2)判断下列各题中，p是q的什么条件？ ①在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； ②p：x>1，q：x2>1； ③p：a<b，q：ba<1； ④p：xy≠1，q：x≠1或y≠1.
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高考一轮总复习 · 数学· 理（新课标版）
【解析】 ①(定义法)由三角形中大角对大边可知，若 A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要 条件．
逆命题：若一个整数是 5 的整数倍，则它的末位数字是 0. 否命题：若一个整数的末位数字不是 0，则它不是 5 的整数 倍． 逆否命题：若一个整数不是 5 的整数倍，则它的末位数字不 是 0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命 题．
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(2)逆命题：在△ABC 中，若∠C>∠B，则 AB>AC. 否命题：在△ABC 中，若 AB≤AC，则∠C≤∠B. 逆否命题：在△ABC 中，若∠C≤∠B，则 AB≤AC. 这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若 x<－1 或 x>3，则 x2－2x－3>0. 否命题：若 x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3. 逆否命题：若－1≤x≤3，则 x2－2x－3≤0. 这里，四种命题都是真命题．

答案：B
4.
[课本改编]设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是
()
A. x>1
B. x<1
C. x>3
D. x<3
解析：x>2⇒x>1，但x>1⇒/ x>2. 答案：A
5. [课本改编]已知下列命题： ①已知集合A，B，若a∈A，则a∈(A∩B)；
②若A∪B＝B，则A⊆B；
③若a>|b|，则a2>b2；
B. ①③④
C. ②③④
D. ①④
[思维启迪] 解决本题的关键在于找准命题的条件与结论， 判断命题真假性时，要善于运用“等价性”．
[解析] ①原命题的否命题为“若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为 零”，显然是真命题；②原命题的逆命题为“若多边形相似，则 这些多边形为正多边形”，显然是假命题；③原命题的逆否命题 为“若 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0”，由条件可得 m<－14， ∴结论 m≤0 成立，是真命题；④原命题是真命题，所以其逆否 命题也为真命题．故选 B.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：由(2x－1)x＝0⇒x＝0或x＝12，所以应选B.
答案：B
2. [2014·安徽高考]“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
④3≥2.
其中是真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：①是假命题，因为a∈A⇒/ a∈(A∩B)；②是真命题， 因为A∪B＝B⇔A⊆B；③是真命题，因为a>|b|≥0，所以a2>b2成 立；④是真命题，因为“3≥2”的意思是3>2或3＝2，只要有一 个成立就行，故选C.

A．充分不必要条件 C．充分必要条件
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1 a 解析：(1)由2＝ ，解得a＝1或a＝－2. a＋1 所以，当a＝1时，两直线平行成立，因此是充分条件； 当两直线平行时，a＝1或a＝－2，不是必要条件，故选A. b (2)当ab＝0时，a＝0或b＝0，a＋ i 不一定是纯虚数； b 反之当a＋ i 是纯虚数时，a＝0，b≠0，ab＝0，因此B正 确．
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第 2讲
命题及其关系、充要条件
1
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2
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1．以下语句是命题的是( A ) A. 2是无理数 C．x＋5>0 B．现在开会吗？ D．这朵花真好看呀！
3
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解析：命题必须能判断真假，且应是陈述句，所以选 A.
4
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2．命题“若a－2＞b－2，则a＋1＞b＋1”的否命题是 ( C ) A．若a－2＞b－2，则a＋1≤b＋1，且为真命题 B．若a－2≥b－2，则a＋1＜b＋1，且为假命题 C．若a－2≤b－2，则a＋1≤b＋1，且为真命题 D．若a－2＜b－2，则a＋1＜b＋1，且为假命题
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(方法二)根据原命题的否命题与其逆命题同真同假． 逆命题为：“若a＋b>0且ab>0，则a>0且b>0”，明显 为真，故否命题为真． (2)逆否命题：“若a＋b≤0或ab≤0，则a≤0或 b≤0”；该逆否命题为真命题，因为原命题为真或直接推 理均可．
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【拓展演练1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断它们的真假： (1)若b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相 等的实根； (2)若A∪B＝I，则A＝∁IB.