充要条件练习题

数学充要条件练习题高二数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，假如A是B的充分但不必要条件，那么A是B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：A B B A,B A等价于 A B.2.(2021浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性明显，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.3.(2021北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.∵A B，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a6.(2021全国大联考，2)不等式1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是_______ _______.答案：0解析：其充要条件为09.已知p:|x+1|2和q: 0,则p是q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)答案：充分不必要解析：∵p:x-3或x1,q:x-4或x1,p:-31, q:-41.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：假如xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.因此|x+y|=|x| +|y|.假如xy0,即x0或x0.当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+ y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.方程有两负根的充要条件是：即26.方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?假如存在，求出p的取值范畴;(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?假如存在，求出p 的取值范畴.解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0得x- ,故- -1时,- -1 x2-x-2.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

高一数学充分条件与必要条件练习题题型一：判断充分，必要条件【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件【例3】 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)，a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ． 充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分又不必要条件【例4】 若“a b c d ⇒>≥”和“a b e f <⇒≤”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【例5】 已知，，，a b c d 为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件【例6】 “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例分析【例7】 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例8】 “函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例9】 已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【例10】 “12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【例11】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1)，+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例12】 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【例13】 “a b >”是“log log m m a n b n >”(01)≤m n <<成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【例14】 “a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【例15】 对于非零向量a ，b ，“0+=a b ”是“∥a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例16】 “αβ≠”是“cos cos αβ≠”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例17】 平面内两定点A 、B 及动点P ，命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件【例18】 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例19】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件【例20】 “2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例21】 甲：A B ，是互斥事件；乙：A B ，是对立事件，那么下列说法正确的是（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【例22】 用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件填空．⑴5x <是10x <的____________；10x <是5x <的____________；⑵两个三角形的面积相等是两个三角形全等的__________； ⑶x A ∈是x A B ∈的____________；⑷A B ⊆是A B B =的___________；⑸A ：12m =，B ：直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直，则A 是B 的 条件．⑹A ：|2|2x -<，B ：2450x x --<，则A 是B 成立的 条件；⑺A ：a ∈R ，||1a <，B ：x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的____________．【例23】 ⑴在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的___________．⑵对于实数x y ，，8x y +≠是2x ≠或6y ≠的___________． ⑶在ABC ∆中，sin sin A B >是tan tan A B >的____________．⑷已知x y ∈R ，，22(1)(2)0x y -+-=是(1)(2)0x y --=的____________． ⑸||||||x y x y +=+是0xy ≥的__________．【例24】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空．⑴若a b ∈R ，，则0ab ≠是0a ≠的______条件； ⑵若a b ∈R ，，则220a b +≠是0a ≠的________条件；⑶若A B ，均是非空集合，则A B φ≠是A B ⊆的___________条件；⑷已知a b ，均为非零向量，则0a b ⋅>是a 与b 的夹角为锐角的__________条件； ⑸已知αβ，是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 没有公共点是αβ∥的__________条件；⑹不等式|1||2|x x m -++>的解集为R 是(52)()log m f x x -=为减函数的_________条件； ⑺在ABC ∆中，“0AB AC ⋅>”是“ABC ∆为锐角三角形”的__________条件； ⑻“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[2)+∞，上为增函数”的_________条件；⑼若集合2{1}A m =，，{24}B =，，则“2m =”是“{4}A B =”的__________条件；⑽等比数列{}n a 中，“13a a <”是“57a a <”的__________条件；⑾11||22k ->是“函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ”的___________条件；⑿“ππ42α<<”是“tan ()log f x x α=在(0)+∞，内是增函数”的___________条件；⒀若a b c ∈R ，，，则“0a >且240b ac -<”是“对任意x ∈R ，有20ax bx c ++>”的________条件；⒁“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的_________条件；⒂“b =a b c ，，三个数成等比数列”的__________条件；⒃两个向量相等是这两个向量共线的__________条件；⒄设函数2()|log |f x x =，则“01m <<”是“()f x 在区间(21)(0)m m m +>，上不是单调函数”的__________ 条件；【例25】 若x y ∈R ，，判断下面命题的真假⑴“2log (42)3xy x y +-=”是“2268250x y x y +-++=”成立的必要条件；⑵222x y +<是||||x y +<||||x y +的必要条件．题型二：充分，必要条件的求解【例26】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例27】 设a b ，表示直线，αβ，表示平面，则αβ∥的充分条件是（ ）A ．a b a b αβ⊥⊥∥，，B ．a b a b αβ⊂⊂，，∥C ．a b a b αββα⊂⊂，，∥，∥D ．a b a b βα⊥⊥⊥，，【例28】 设m n ，是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则αβ∥的一个充分而不必要条件是（ ）A ．m β∥且1l α∥B ．1m l ∥且2n l ∥C ．m β∥且n β∥D ．m β∥且2n l ∥【例29】 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）Ａ．存在一条直线α，a α∥，a β∥ Ｂ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥Ｃ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥ Ｄ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，a β∥，b α∥【例30】 直线12l l ，互相平行的一个充分条件是（ ）A ．12l l ，都平行于同一个平面B ．12l l ，与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．12l l ，都垂直于同一个平面【例31】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >．其中可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 ．【例32】 设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A ．1123m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，B ．0m ≠C ．11023m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，D ．103m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，【例33】 若不等式1x m -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数m 的取值范围是________；【例34】 集合1|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ） A ．20≤b -< B ．02≤b < C ．31b -<<-D ．12≤b -<【例35】 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．:p a c b d +>+， :q a b >且c d >B ．:11p a b >>， ():x q f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图像不过第二象限C ．:1p x =， 2:q x x =D ．:1p a >，():log =a q f x x （0>a ，且1≠a ）在()0+∞，上为增函数【例36】 已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a -≤【例37】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,a b ∈R ，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 .【例38】 已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是 （ ） A.41{|}32m m -≤≤ B.1{|}2m m <C. 14{|}23m m -≤≤D. 4{|}3m m ≥【例39】 (1)(2)0x x -+<的一个必要不充分条件是 .【例40】 1xy>的一个充分不必要条件是（ ）A ．x y >B ．0x y >>C ．x y <D ．0y x <<【例41】 可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（ ）A ．0ab >B ．0a >或0b >C ．0a >且0b >D ．1ab >【例42】 直线1y kx =+的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ）A ．0k <B ．1k <-C ．1k <D ．2k >-【例43】 已知命题p ：1123x --≤；q ：22210(0)x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．【例44】 已知命题1:123x p --≤；22:210(0)q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，求实数m 的取值范围．【例45】 设αβ，是方程20x ax b -+=的两个实根，试分析21a b >>，是两根αβ，均大于1的什么条件？【例46】 求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且||4b ≤．【例47】 设命题1|34:|≤-x p ;命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.题型三：充要条件【例48】 已知，a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例49】 在ABC ∆中，条件甲：A B <，条件乙：22cos cos A B >，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【例50】 已知a ∈R 且0a ≠，则“11a<”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例51】 设，a b ∈R ，则不等式a b >与11a b>都成立的充要条件是（ ） A ．0ab > B ．00，a b >< C ．0ab < D ．0ab ≠【例52】 已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例53】 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例54】 设(32()log f x x x =++，则对任意实数a 、b ，0≥a b +是()()0≥f a f b +的（ ）．A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【例55】 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例56】 已知a 、b ∈R ，则a b >与11a b>同时成立的充要条件是 ．【例57】 函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ）A ．0ab =B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【例58】 给出下列命题：①实数0a =是直线21ax y -=与223ax y -=平行的充要条件；②若0，，a b ab ∈=R 是a b a b +=+成立的充要条件；③已知，x y ∈R ，“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”；④“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是_______．【例59】 设集合(){}R R U x y x y =∈∈，，，(){}20A x y x y m =-+>，，(){}0B x y x y n =+-，≤，那么点()(23)U P A C B ∈，的充要条件是（ ）A ．15m n >-<，B ．15m n <-<，C ．15m n >->，D ．1,5m n <->【例60】 设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（ ）A ．()01f =B ．()00f =C ．()01f '=D ．()00f '=【例61】 下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是（ ）①:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点；②()():1f x p f x -=；():q y f x =是偶函数③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A =；:U Uq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④【例62】 已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n ∈N 恒成立的充要条件 ．【例63】 已知关于x 的一元二次方程（m ∈Z ）：①2440mx x -+=；②2244450x mx m m -+--=． 求方程①和②都有整数解的充要条件．【例64】 设a b c ，，为ABC ∆的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件为222a b c =+．【例65】 已知方程22(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

小结：充要条件的证明一般分两步：证充分性即 证A =>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与证明 中的叙述一致 本题的难点是分清：充分和必要二个命题
3．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根 的充要条件.
小结：本题解答时，一是容易漏掉讨论方程二次项 系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条 件.即以所求的必要条件代替充要条件.
充要条件(习题课)
岳阳市四中：易亚红
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件
2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件
3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
练习一
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的 ___
［例1］已知p：|1－(x-1)/3 |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0), 若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式 的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命 题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性. 知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的 文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变 得简单明了. 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不 清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言 理解上的困难. 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞 清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集 间的包含关系，进而使问题解决.
的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

[基础巩固]1．(2022·邵阳模拟)“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由a ＝1可推出|a |＝1，由|a |＝1，即a ＝1或a ＝－1，推不出a ＝1，故“a ＝1”是“|a |＝1”的充分不必要条件．故选B.答案 B2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．答案 B3．(多选)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x ＝1，则x 2＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析 B 项中，x ＝1⇒x 2＝1；C 项中，当x ＝y ＜0时，x ，y 无意义；D 项中，当x ＜y ＜0⇒x 2＞y 2，所以C ，D 中p 不是q 的充分条件．答案 AB4．下列说法不正确的是________．(只填序号)①x 2≠1是x ≠1的必要条件；②x ＞5是x ＞4的充分不必要条件；③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充分条件；④x 2＜4是x ＜2的充分不必要条件．解析 若“x 2≠1，则x ≠1”的意思是“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确；③中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，，则③不正确；②④正确．答案 ①③5．已知p ：1－x <0，q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇒/p ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以a <1.答案 {a |a ＜1}6．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：(1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a <b ，q ：a b<1. 解析 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 是q 的充要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件；在(3)中，若a <b <0，则推不出a b <1，反之若a b<1，当b <0时，也推不出a <b ，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．[能力提升]7．(多选)下列命题中，p 是q 的充分条件的是( )A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x ＞2，q ：x ≥1D ．p ：a ＞b ，q ：ac 2＞bc 2解析 A 中，a ＝2是无理数，a 2＝2是有理数，所以p 不是q 的充分条件；B 中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p 是q 的充分条件；C 中，x ＞2，x ≥1，所以p 是q 的充分条件；D 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以p 不是q 的充分条件．答案 BC8．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案 A9．若A ＝{x |2a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |x <－3或x >1}，且A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为____________ .解析 因为A 是B 的充分不必要条件，所以A B ，又A ＝{x |2a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |x <－3或x >1}．因此2a ＋1≤－3或2a －1≥1，所以实数a 的取值范围是a ≤－2或a ≥1.答案 a ≤－2或a ≥110．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件？(2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件？解析 (1)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m 2≤－1，所以m ≥2. 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件．[探索创新]11．命题“对任意x 且1≤x ＜2，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案 B。