相遇问题讲义

第08讲多次相遇问题（下）教学目标：1、掌握环形多次相遇问题的基本求解方式；2、把多次相遇问题与其它的数学知识板块结合起来；3、感受数学与实际生活的联系,进一步提高学习兴趣.教学重点：掌握环形多次相遇问题的基本求解方式.教学难点：把多次相遇问题与其它的数学知识板块结合起来.教学过程：【环节一：预习讨论,案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1、多次相遇问题的类型：线形多次相遇问题；环形多次相遇问题.2、分别从两地相向出发,第N次迎面相遇,共走2N-1个全程.【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地5千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.（相遇指迎面相遇）解析部分：引导学员对于此题进行认真仔细的审读,找出所指代的具体情景并画出示意图. 给予新学员的建议：需要对于具体的操作非常正确而迅速,建议纸笔动手操作起来.哈佛案例教学法：鼓励学员进行积极的课堂发言,提升学员的小组内讨论的热情.参考答案：A、B两地相距：7×3-5=16（千米）两次相遇地点相距：16-（7+5）=4（千米）答：两次相遇地点之间的距离为4千米.【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）甲乙两人在一条长为100米的圆形跑道上,同时同地背向而行,甲的速度是1米/秒,乙的速度是2米/秒,请问两人第2次相遇的地点到起点的跑道距离是多少米？解析部分：这是一道环形跑道的多次相遇问题,首先根据速度之和求出第2次相遇时间.给予新学员的建议：引导学员对于此题的操作过程进行分析,找出具体的核心求解机制.哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论,引导学员进行热烈的课堂主动发言.参考答案：第2次相遇所用的时间：100×2÷（1+2）=2003（秒）第2次相遇地点到起点的跑道距离：100-1×2003=1003=1333（米）（取较短跑道距离）答：两人第2次相遇的地点到起点的跑道距离是1333米.【环节二：知识拓展、能力提升】【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）1、对于环形行程的多次相遇问题,与线形行程的多次相遇问题不同的是,行程本身是环形的周期性,此问题需要对于图形有正确的绘制,并且在图形上进行关键数据的针对标注；2、在对于图形上的各个关键数据进行标注之后,找出各个数据之间的关联,快速而准确的对于这些数据进行相关计算,注意行程问题的三大公式的正确而灵活的运用.【例题分析——讲解室】（参考时间-10分钟）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上,他们从同一地点同时背向出发练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第5次迎面相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点？➢他们每次相遇共跑了几圈？➢第5次相遇时,他们跑了多久？解析部分：第一步：引导学员对于此题进行认真仔细的审读,找出问题的一些关键数据和语句,画出对应的示意图对于问题进行相应的分析和探索；第二步：继续对于此题进行分析,结合示意图的指示,可以有“他们每次相遇都共跑一圈,所用时间只要用跑道周长除以他们的速度和就能得到.第5次相遇时,所用时间就每次相遇所用时间的5倍,甲跑的路程只要用甲的速度乘所用时间就可以了.再用甲跑的路程除以跑道周长,就知道甲跑了几圈多几米,用跑道周长减多跑的几米,就能得到答案”；第三步：最后引导学员对于此题的分析解答过程进行回顾,使得学员可以对于此题进行回顾,并对于图形有更多的观察和分析,加深对于此类问题的理解认识.参考答案: 第5次相遇时,跑了：300÷（3.5+4）×5=200（秒）甲跑了3.5×200÷300=2（圈）……100（米）距离出发点：300-100=200（米）答：他们第5次相遇时,甲还需跑200米才能回到出发点.【环节三：阶段复习】【游戏环节——游乐场】（参考时间-2分钟）游戏名称：共有几只小白兔游戏规则：两只小白兔前面有两只小白兔,两只小白兔后面有两只小白兔,两只小白兔中间有两只小白兔,请问至少有几只小白兔？参考答案：略.【练习分析——练习场（一）】（参考时间-7分钟）熊猫胖胖、乐羊羊两人从400米的环形跑道上一点A同时出发背向而行,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟胖胖比乐羊羊多走0.1米,那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？➢第五次相遇时,两人共跑了多少路程？➢第五次相遇时,胖胖比乐羊羊多跑了多少路程?解析部分：第五次相遇时,两人共跑了5个跑道长,根据“8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟胖胖比乐羊羊多走0.1米”,可以求出胖胖比乐羊羊多跑的路程.知道了两人跑的路程和、路程差,转化为和差问题,求出胖胖跑的路程及两人第五次相遇的位置.给予新学员的建议：强调学员对于此题的把握认识,分析出各个数据之间的关联点.哈佛案例教学法：鼓励学员进行积极热烈的课堂讨论,引导学员更多参与课堂发言.参考答案：8分钟=480秒第五次相遇时,两人共跑了：400×5=2000（米）胖胖比乐羊羊多跑：0.1×480=48（米）胖胖共跑了：（2000+48）÷2÷400=2（圈）……224（米）与点A沿跑道上的最短路程：400-224=176（米）答：两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是176米.【练习分析——练习场（二）】（参考时间-7分钟）甲、乙两车同时从同一点A出发,沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶.甲车每小时行驶65千米,乙车每小时行驶55千米.一旦两车迎面相遇,则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车,则甲车立刻调头,那么两车出发后第7次相遇的地点距离A点有多少千米？（甲车追上乙车也看作相遇）➢第一次是一个相遇过程还是追及过程？➢第一次相遇地点距离A点多少米？解析部分：第一次是一个相遇过程,相遇时间为：6÷（65+55）=0.05（小时）,相遇地点距离A点：55×0.05=2.75（千米）.然后乙车调头,成为追及过程,追及时间为：6÷（65-55）=0.6（小时）,乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33（千米）,即5圈又3千米,那么这时距离A点3-2.75=0.25（千米）.此时甲车调头,又成为相遇过程……用同样的方法算出每次相遇地点距离A点的距离,直到两车又重新回到A点,且行驶方向与最开始相同,即为一个周期.此时再用11除以每个周期的次数,就知道第11次相遇的地点与第几次相遇的地点是相同的.给予新学员的建议：对于此题的数据特点进行观察,找出问题的关键解决方式和办法.哈佛案例教学法：引导学员对于此题的计算进行实际的纸笔操作,调动热烈的课堂氛围.参考答案：第一次相遇时间：6÷（65+55）=0.05（小时）距离A点：55×0.05=2.75（千米）第二次相遇时间为：6÷（65-55）=0.6（小时）乙车在此过程中走的路程为：55×0.6÷6=5（圈）……3（千米）距离A点3-2.75=0.25（千米）第三次相遇,距离A点：0.25+2.75=3（千米）第四次相遇,距离A点：3-3=0（千米）,且行驶方向与最开始相同所以,每4次相遇为一个周期 7÷4=1 (3)即第7次相遇的地点与第3次相遇的地点相同,距离A点3千米答：两车出发后第7次相遇的地点距离A点有3千米.【本节总结】1、对于环形行程的多次相遇问题,与线形行程的多次相遇问题不同的是,行程本身是环形的周期性,此问题需要对于图形有正确的绘制,并且在图形上进行关键数据的针对标注；2、在对于图形上的各个关键数据进行标注之后,找出各个数据之间的关联,快速而准确的对于这些数据进行相关计算,注意行程问题的三大公式的正确而灵活的运用.。

一、教学目标:行程问题是研究物体运动规律的问题，它所涉及的是速度、时间、路程三量间的关系。

按物体运动路线可分为：直线运动和曲线运动两大类；按物体运动的方向分为：相向、反向、同向。

本节课我们主要来研究相向运动的问题，相向问题也叫相遇问题，相遇问题的知识点主要有：路程差＝相遇时间×速度差路程和＝相遇时间×速度和相遇时间＝路程差÷速度差相遇时间＝路程和÷速度和速度差＝路程差÷相遇时间速度和＝路程和÷相遇时间二、教学重难点两个物体运动中速度、时间和路程的数量关系，初步形成两个物体运动的空间观念。

三、教学内容：例1、甲、乙两人从两地同时出发，相向而行，甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，两人相遇时，甲比乙多行4千米，两地相距多少千米？点拨：甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，那么甲每小时比乙多走2千米，两人相遇时，甲比乙多行4千米，说明相遇时间为4÷2=2（小时），那么两地相距：（10+8）×2=40（千米）解：两人的相遇时间为：4÷（10-8）=2（小时）两地间距：（10+8）×2=40（千米）答：两地间距40千米例2、小新、小强两家相距1800米，两人由自家相向出发，经10分钟可相遇，已知小新比小强每分钟多走20米，问两人每分钟各走多少米？点拨：由路程和相遇时间可以求出两人的速度和，两人的速度差是20米每分钟来求出两人的速度。

解：两人的速度和为：1800÷10=180（米/分钟）小强的速度：180÷2-10=80（米/分钟）小新的速度：80+20=100（米/分钟）答：小新每分钟走100米，小强每分钟走80米例3、小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王骑自行车从乙地到甲地，每小时行11千米，两人同时出发，然后在离甲、乙两地中点9千米的地方相遇。

甲、乙两地间的距离是多少千米？解：两人的相遇时间为：9×2÷（11-5）=3（小时）甲乙两地的距离：（5+11）×3=48（千米）答：甲、乙两地的距离是48千米。

相遇问题【知识导航】行程问题是研究路程、速度、时间这三者之间数量关系的问题。

基本的数量关系式是：速度×时间=路程。

相遇问题一般是两个物体从两个地点相向而行（运动的方向相反），经过一段时间在两地之间的某一点相遇的问题。

如果两个物体同时出发在途中相遇，两地相距的距离实际就是两个物体所走的路程和。

甲所走的路程+乙所走的路程=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间因此相遇问题常常要考虑速度和。

【精典例题1】甲、乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车每小时行80千米，乙车每小时行68千米。

两车相遇时，距全程的中点30千米，A、B两地相距多少千米？思路导航：相遇时，甲车比乙车多行30×2=60（千米），而甲车每小时比乙车多行12千米，要多行60千米需要几小时呢？这个时间就是相遇时间。

解：30×2=60（千米）60÷（80-68）=5（小时）（80+68）×5=740（千米）答：A、B两地相距740千米。

解这类题的关键是求出相遇时间，还要注意相遇点距中点a千米，快车比慢车就多行2a千米。

多行的路程÷速度差=相遇时间相遇路程=速度和×相遇时间【小试身手】1.客、货两车分别从A、B两城相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行60千米，相遇时两车距两城的中点20千米，A、B两城相距多少千米？2.兄弟两人同时从A、B两地相向而行，哥哥每分钟行120米，弟弟每分钟行100米，当哥哥到达两地中点时，弟弟离中点还有60米，A、B两地相距多少米?3.快车每小时行75千米，比慢车每小时多行10千米，两车同时从甲、乙两地相向而行，在距中点15千米处相遇，求甲、乙两地的路程。

【精典例题2】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，两车在距A地30千米处第一次相遇，相遇后两车继续行驶，在到达对方出发点后立即沿原路返回，第二次相遇点距B 地20千米，A、B两地的距离是多少？思路导航：第一次相遇，甲、乙两车共行一个全程，第二次相遇，两车共走完3个全程，这时甲走30×3=90（千米），90千米比一个全程还多20千米千米，全程是90-20=70（千米）。

相遇问题行程问题根据两人的行驶方向的异同分为同向和反向两种，而反向行驶又包括相遇问题和相背问题，同向行驶指追及问题．其关系如图：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相遇问题：异地、反向反向运动行程问题相背问题：同地、反向同向运动：追及问题：异地、同向这一节课我们主要来研究相遇问题．相遇问题里用的比较多的是上面公式的变形：路程和=速度和×相遇时间()s vt =速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和相遇问题包括三种情况：①恰好相遇的情况：此时路程和就是全程AB 。

②两车行驶到相距CD 时就不再行驶的情况：此时路程和=全程AB －CD 。

③两车相遇后继续行驶了一段路程CD ，此时路程和=全程AB+CD 。

〖经典例题〗例1、甲、乙两列火车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．两车相遇时，甲车正好走了300千米，两地相距多少千米？【分析】相遇时甲走了300千米，所以甲走了300÷50=6时，这6时正好是甲、乙两车的相遇时间，两地的距离(50＋60)×6=660千米．〖方法总结〗本题是公式的一个简单应用，在做题时，我们要找好对应，甲走的路程要和甲的速度对应，路程和就要和速度和对应。

〖巩固练习〗练习1：甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A 地、乙车从B 地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B 地，A 、B 两地相距多少千米？练习2：甲乙两城相距420千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米，第一辆汽车到达乙城后立即返回，两辆车从开出到相遇共用几小时？练习3：A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行．各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米?〖经典例题〗例2、甲、乙两列火车同时从相距380千米的两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．乙车比甲车晚出发1小时，乙车出发后，甲、乙两车几小时相遇？【分析】乙车晚出发1小时，则乙车出发时甲已经行驶了50×1=50千米，此时甲、乙两车的距离是380－50=330千米，所以乙车出发后，相遇时间为330÷(50+60)=3小时．例3、甲乙两辆汽车同时从相距820千米的两地出发相向而行，甲车的速度是80千米/时，乙车的速度是60千米/时，甲车由于有故障在中途停下来修车用了2小时，问：甲、乙两车出发后几小时相遇？【分析】由题意可知820千米不是两车共同走的，其中有两个小时是乙车单独走的，即60×2=120(千米)，因此两车共同走的路程是820－120=700(千米)．这段路程所用的时间是700÷(80＋60)=5(时)，所以甲、乙两车出发后相遇的时间是5＋2=7(时)．〖方法总结〗这两个题目是晚出发以及有故障的题目，这时全程不再是两车同时行驶的路程了，这样只要我们用全程减去一个车行驶的路程，剩下的路程就是两车一起走的了，这样就可以用上路程和、速度和以及相遇时间的公式了。