一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市
租赁的汽车在,,
A B C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例
0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。
二、模型假设
1.假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还；
2.假设一个租赁期为一年；
3.假设在每个租赁期该租赁公司都有600辆汽车可供租赁。
三、符号说明
k：租赁期（k=0,1,2,3……）
n：年数
1()
x k：第k个租赁期A市的汽车数量
2()
x k：第k个租赁期B市的汽车数量
3()
x k：第k个租赁期C市的汽车数量
A：刻画汽车在,,
A B C三市归还比例的矩阵
(:,1)
x：第一年,,
A B C三市拥有的汽车数量的矩阵
(:,1)
x k+：第1
k+年,,
A B C三市拥有的汽车数量矩阵
四、模型分析
该问题是差分方程下的一个简单问题，根据题目中给出的初始条件和三个城市的归还比例，可以列出差分方程的模型公式，便可清晰的看出每个租赁期三个城市的汽车数量与下一个租赁期三个城市汽车数量之间的关系。建模过程中可直接选择10年后或是20年之间的汽车变化情况，得出具体的模型，大致如下：
从图中我们可以清晰的看出，大概在8年以后，三个城市的汽车数量基本趋于稳定，是一个定值，而这三个城市归还比例之和为：A 市为0.9，B 市为1.3，C 市为0.8，易得出n 年以后B 市的汽车数量最高，其次是A 市，然后是C 市，这与我们得出的模型与结论基本相同，即可得出该模型是正确的。
而当初始值不同时，每个城市的归还比例是不会随之改变的，所以在时间充分长以后三市所拥有的汽车数量都是趋近于180,300,120.
五、模型及其求解
记第k 个租赁期末公司在ABC 市的汽车数量分别为123(),(),()x k x k x k (也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC 市的汽车数量(k=0,1,2,3……)
由题意可得初始,,A B C 三市的汽车数量为200,200,200，在,,A B C 三市租赁的汽车在A 市归还的比例为0.6,0.2,0.1，由此可得差分方程为：
1123(1)0.6()0.2()0.1()x k x k x k x k +=++
同理可得在B 市的归还的差分方程为：
2123(1)0.3()0.7()0.3()x k x k x k x k +=++
在C 市的归还的差分方程为：
3123(1)0.1()0.1()0.6()x k x k x k x k +=++
综上所述，我们建立一阶差分方程模型为：
112321233
123(1)0.6()0.2()0.1()(1)0.3()0.7()0.3()(1)0.1()0.1()0.6()
x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k +=++⎧⎪
+=++⎨⎪+=++⎩
用矩阵表示
用matlab 编程，计算x(k),观察n 年以后的3个城市的汽车数量变化情况，见附录一。
如果直接看10年或者30年发展趋势，可以直接在命令窗口（commond window ）作，而不是必须编一个函数，程序、运行结果见附录二。
求出10年间每年三个城市拥有的汽车数量，如下表; 初始值 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A 200 180 176 176 178 179 B 200 260 284 294 297 299 C 200 160 140 130 125 123 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 A 179 180 180 180 180 B 300 300 300 300 300 C 121 121 120 120 120 10n =时，三市汽车数量变化趋势图如下
120
140
160180200220240260280300
由上图可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 可以考察这个结果与初始条件是否有关
若最开始600辆汽车都在A 市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量如下表
112233(1)0.60.20.1()(1)0.30.70.3()(1)0.10.10.6()x k x k x k x k x k x k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
初始值 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A 600 360 258 214 195 187 B 0 281 292 297 299 300 C 0 60 90 105 113 116 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 A 183 181 181 180 180 B 300 300 300 300 300 C 118 116 118 119 120
初始值为600,0,0是模型如下图，程序、运行结果见附录二
012345678910
100
200
300
400
500
600
六、模型的检验
根据题中,,A B C 三个城市的归还比例，由分析中中可得出B 市的数量最多，其次是A 市，C 市最少。
当初始值为200,200,200时，其模型与运行结果基本与预想的相差不大。
当初始值为600，0,0时，因其比例固定不变，所以相当长时间以后，,,A B C 三市的汽车数量基本趋于稳定且数值与初始值为200,200,200时相同，可进一步得出结论：相当长时间以后，A,B,C 三市的汽车数量基本趋于稳定。
参考文献
[1]王小才.差分方程建模专题讲座ppt 课件
[2] 赵静.数学建模与数学建模实验.北京：高等教育出版社,2008
