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高数2复习题第九章

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高数2复习题第九章 第九章答案 习题9.11．写出下列级数的通项n x （1） -+-+-564534232 解：11(1)()n n n x n++=- （3） +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x解：212!n n nx x n =⋅⋅ 2．判断下列级数的敛散性（1） +++++n 001.0001.0001.0001.03 解：1(0.001)nn x =，lim 1n n x →∞=，所以级数发散。

（3） +-++++12151311n 解：11(1())111111211lim 213521242(1)12n n n n →∞-+++++<+++++==---（5） +++++!1!31!211n 解：1111111112!3!!213214321(1)21n n n +++++=++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅ 2311111111111()()()2222222222222n -<+++++=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 111()2n n ∞-==∑ 级数111()2n n ∞-=∑收敛，所以 +++++!1!31!211n 收敛。

3.判断下列级数的敛散性 （2）∑∞=+1)1ln(1n n解：1111ln(1)1n n n n ∞∞==>++∑∑，111n n ∞=+∑发散，所以，∑∞=+1)1ln(1n n 发散 （3）∑∞=+13232n n n n（6）∑∞=-1)cos 1(n n π解：211(1cos )2sin2n n n nππ∞∞==-=∑∑，222222sin sin22limlim ()1222n n n n n nπππππ→∞→∞==211n n ∞=∑收敛，所以，∑∞=-1)cos 1(n n π收敛 （7）∑∞=122n n n解：∑∞=122n n n 的通项为22n n n a =，211(1)2n n n a +++=， 221122(1)(1)12lim lim lim 1222n n n n n nn n a n n a n ++→∞→∞→∞++===<，所以∑∞=122n n n收敛。

（11）∑∞=12)!2()!(n n n解：∑∞=12)!2()!(n n n 的通项为2(!)(2)!n n a n =，2221[(1)!](1)(!)[2(1)]!(22)(21)(2)!n n n n a n n n n +++==+++ 22212(1)(!)(1)1(22)(21)(2)!lim lim lim 1(!)(22)(21)4(2)!n n n n nn n a n n n n n a n n n +→∞→∞→∞++++===<++。

所以∑∞=122n n n 收敛。

4. 判断下列级数的绝对收敛性和条件收敛性 （1）∑∞=-11)1(n pnn 解：1111(1)np p n n n n ∞∞==-=∑∑，所以，当1p >时，∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛；当01p <≤时，1111(1)(1)nn p n n n n ∞∞==-=-∑∑收敛，1111(1)n p p n n n n ∞∞==-=∑∑发散，所以∑∞=-11)1(n p n n 条件收敛性；当0p ≥时，1111(1)(1)nn p n n n n ∞∞==-=-∑∑发散。

（3）∑∞=+-11ln)1(n n nn 解：111111(1)ln ln ln(1)nn n n n n n n n ∞∞∞===++-==+∑∑∑，1ln(1)1lim lim ln(1)lim ln 11n n n n n e n n→∞→∞→∞+=+==，11n n ∞=∑发散，所以，11(1)lnn n n n ∞=+-∑发散 ∑∞=+-11ln )1(n nn n 收敛，级数∑∞=+-11ln )1(n nn n 条件收敛性。

5. 用积分判别法和拉贝判别法判断下列级数的敛散性 （1）∑∞=⋅2ln 1n pnn （0p >） 解：0p >时，l()ln p f x x x=在[1,]+∞为非负减函数，111101l 1(ln )ln (ln )01ln 1p p p p dx x d x x p x x p +∞+∞+∞--+>⎧===⎨∞<<-+⎩⎰⎰，即当1p >时，∑∞=⋅2ln 1n p n n 收敛，01p <<时，∑∞=⋅2ln 1n pnn 发散；1p =时，2211ln ln p n n n n n n ∞∞===⋅⋅∑∑，l ()ln f x x x =在[1,]+∞为非负减函数，2111l 1(ln )ln (ln )ln 2dx x d x x x x +∞+∞+∞===∞⎰⎰，级数发散。

于是得到级数∑∞=⋅2ln 1n pnn 1p >时收敛，01p <≤时发散。

（3）∑∞=+++1)()2)(1(!n n a a a n 0a > 解：∑∞=+++1)()2)(1(!n n a a a n 的通项为!(1)(2)()nn a a a a n =+++ ， 1(1)!(1)(2)()(1)n n a a a a n a n ++=+++++1(1)!(1)(2)()(1)lim (1)lim (1)!(1)(2)()n n n nn a a a a n a n n n n a a a a n +→∞→∞++++++-=-+++1lim (1)lim 11n n n ann a a n a n →∞→∞+=-==++++则当1a >时，级数收敛；当1a <时，级数发散；1a =时，111!!1(1)(2)()(11)(12)(1)1n n n n n a a a n n n ∞∞∞=====+++++++∑∑∑ ，级数发散。

于是，当1a >时，级数收敛；当01a <≤时，级数发散。

习题9.21.判断下列级数的一致收敛性 （1）∑∞=-1)1(n nxx 01x <<解：11()(1)n nn n n S x x xx x +==-=-∑，1()lim ()lim()n n n n S x S x x x x +→∞→∞==-=当10<<x 时，1ln ()()1ln n n S x S x xn xεε+-=<⇒>-，所以，级数不一致收敛。

（3）∑∞=+1344sin n xn nx+∞<<∞-x解：431()n u x n=<，4131n n∞=∑为43p =的p 级数，收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，级数一致收敛。

（5）∑∞=+-12)1(n nnx +∞<<-x 2 解：2x -<<+∞⇒1(1)1()22n n n n u x x --=<+，1112n n ∞-=∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，级数一致收敛。

（7）∑∞=+1251n x n nx+∞<<∞-x解：5212n x n+≥，5232112nx n x n≤=+，31212n n∞=∑为32p =的p 级数，收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，级数∑∞=+1251n xn nx一致收敛。

3. 求下列级数的和函数)(x S（1）∑∞=++11414n n n x解：∑∞=++11414n n n x 的通项为41()41n n x u x n +=+，451()45n n x u x n ++=+4544141()4145lim lim lim ()4541n n n n n n nx u x n n x x x u x n n +++→∞→∞→∞++==⋅=++，当41x <，即11x -<<时，级数一致收敛，设其和函数为()S x ，4159131()415913n n x x x x S x n +∞===++++∑5913448124()()59131x x x x S x x x x x ''=+++=+++=-4422000111()()1()1211x xx t S x S t dt dt dt t t t '===-++--+⎰⎰⎰ 0111111(ln arctan )ln arctan 412412xt x t t x x t x ++=-++=-++--当1x =时，411114141n n n x n n +∞∞===++∑∑，级数发散；1x =-时，411114141n n n x n n +∞∞===-++∑∑，级数发散。

所以有111()ln arctan (1,1)412x S x x x x x +=-++∈--（3）3573!5!7!x x x x ++++ 解：3573!5!7!x x x x ++++ =1()n n u x ∞=∑ 通项21()(21)!n n x u x n -=-，211()(21)!n n x u x n ++=+212121()1(21)!lim lim lim 0()(21)2(21)!n n n n n n nx u x n x u x n n x n ++-→∞→∞→∞+==⋅=+-，所以，在x -∞<<+∞上，级数一致收敛，设其和函数为()S x ，357()3!5!7!x x x S x x =++++ 246()12!4!6!x x x S x '=++++246357()()12!4!6!3!5!7!x x x x x x S x S x x '+=+++++++++21112!!n x x x x e n =+++++= 解此微分方程，得到221()()()()2dx dx x x x x x S x e e e dx C e e dx C e e C ---⎰⎰=+=+=+⎰⎰ x -∞<<+∞当0x =时，()0S x =。

于是1C =-21()(1)2x xS x e e -=- 习题9.31.求下列幂级数的收敛区间（2）∑∞=-12)1(n nnn x 解：∑∞=-12)1(n n nn x 的通项2()(1)n n n x u x n =-，1112()(1)(1)n n n x u x n +++=-+， 11212(1)()(1)lim lim ()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞-+==-，当1x <，即11x -<<时，级数一致收敛。

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《高等数学 II》第9章 综合测试解答

《高等数学 II》第9章 综合测试解答

华东政法大学2009-2010学年第二学期 刑事司法学院09年级计算机科学与技术专业《高等数学 II 》第九章综合测试解答学院：________ 班级：_____学号：_________姓名：________任课教师：_____一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均不得分。

1、函数221)ln(),(yx x x y y x f --+-=的定义域为 .解: f (x, y ) 的定义域为}1,0,0|),{(22<+≥>-y x x x y y x 2、设),ln(22y xy x z ++= 则=∂∂+∂∂yz y x z x. 解: 2222222=+++⋅++++⋅=∂∂+∂∂yxy x y x y y xy x y x x y zy x z x3、设,),(,),(2222y x y x y x y x f -=+=ϕ 则=)],(),,([y x y x f f ϕ .解: ).(2)()()],([)],([)],(),,([4422222222y x y x y x y x y x f y x y x f f +=-++=+=ϕϕ4、若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点(1, -1)处取得极值, 则常数a = .解: 因,4),(2y a x y x f x ++= 所以),(y x f 在点(1, -1)处取得极值应有50)1(4,0)1,1(2-==-++=-a a f x 故即二、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均不得分。

1、函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿=OA {1, 2, 1}方向的方向导数等于 .(A) 47-(B) 41 (C) 61 (D) 67- 解: 66,24,32-=-+=++=z U x y U y x U z y x 故 ,6,2,3)0,0,0()0,0,0()0,0,0(-=-==zyxU U U而方向余弦为 ,66,36,66⎪⎪⎭⎫⎝⎛故所求方向导数 = 67666664663-=-⋅-⋅.故选(D). 2、设),(y x u φ=, 而φ,xe y =具有连续二阶偏导数, 则22dxud 等于 .(A) x x x e e e 22221112φφφφ+++ (B) 22212112φφφφ+++x e (C) x x x e e e 22222112φφφφ+++ (D) x x x e e e 222212112φφφφ+++ 解: 因为2121Φ+Φ=Φ+Φ=x e dxdy dx du而 Φ1, Φ2仍按原来的复合关系, 故 .2)(22221211222221121122221121122x x x x x x x x x e e e e e e e e e dxdydx dy dx u d Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=故选(D)3、设,)(z y x u -= 而,22y x z += 则y x u u +等于 .(A) )]ln())(()([21y x y x y x y x z z z --++-- (B) z y x z )(2- (C) )ln()()(2y x y x y x z-+- (D) )ln()(21y x y x z --+ 解: 因为),ln()(ln 22y x y x u -+= 两端对x 求偏导:yx y x y x x u u x -++-=1)()ln(222 两端对y 求偏导, 得yx y x y x y uu y --++-=1)()ln(222故 ).ln()()(2)]ln()(2[)(y x y x y x y x y x y x u u z z y x -+-=-+-=+ 选(C).4、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,)(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点(0, 0)处 .(A) 无定义 (B) 无极限 (C) 有极限但不连续 (D) 连续解: 因为 )0,0(2)(2sin lim ),(lim 22220000f y x y x y x f y x y x ==++=→→→→, 故 ),(y x f 在(0, 0)连续. 选(D).三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1、求221)ln(limyx e x y y x ++→→解: .2ln )ln()ln(lim122221=++=++==→→y x y y y x yx e x yx e x2、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,试求dxdy . 解:由),(t x f y =及0),,(=t y x F 确定出t y ,为x 的函数)(),(x t t x y y ==,将给定的两个方程的两边对x 求导,便有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+'∂∂+'=0dx dt F dx dy F F dxdt t f f dx dy t y x x解之, 得=dx dy t y t x t t x f F F F f F f ''+'''-'' 3、设),,(x v u f z =, ),(y x u ϕ=,)(y v ψ=,求复合函数)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数xz∂∂与yz ∂∂. 解: 由复合函数求导法,得321f x f x f x z '+∂∂'+∂∂'=∂∂ψϕ,31f xf '+∂∂'=ϕ=∂∂yz dy d f y f ψϕ21'+∂∂')(21y f y f ψϕ''+∂∂'=.4、求由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分.dz[解法一] 对方程两边求全微分可得+++xydz xzdy yzdx 0222=++++zy x zdz ydy xdx将1,0,1-===z y x 代入上式可得0)(21=-+-dz dx dy由此得到dy dx dz 2-= [解法二] 设=),,(z y x F 2222-+++z y x xyzx F '=222zy x x yz +++; y F '=222zy x y xz +++;z F '=222zy x z xy +++222222z y x xy z z y x yz x F F x z z x ++++++-=''-=∂∂;222222z y x xy z z y x xz y F F y z z y ++++++-=''-=∂∂=dz dx zy x xy z z y x yz x 222222++++++-dy zy x xy z z y x xz y 222222++++++-将1,0,1-===z y x 代入上式可得dy dx dz 2-=5、设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定,求曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程。

高考数学模拟试卷复习试题第九章 解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系2

高考数学模拟试卷复习试题第九章 解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系2

高考数学模拟试卷复习试题第九章 解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 【嘉兴市高三下学期教学测试一】已知直线:cos sin 2()l x y R ααα⋅+⋅=∈，圆22:2cos 2sin 0C x y x y θθ++⋅+⋅=()R θ∈，则直线l 与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与,αθ相关 【答案】D2.【马鞍山市高中毕业班第三次质检】已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线y x b =+与圆相切，则b =（ ）A ．1±B ．1C ．2±D ．2 【答案】C3.【天津市河东区高三一模】若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( ) A ．33-B ．3C ．33D 3【答案】A4. 【黄冈市重点中学高三下学期三月】已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】C5.【高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-= 2322311k k k ----=+ ,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ． 6.【改编自陕西卷】已知点()M a,b 在圆221:O x y +=内, 则直线ax by 1+=与圆O 的位置关系是（ ） (A)相切(B)相交 (C)相离 (D)不确定 【答案】C7. 【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷）】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A.21B.19C.9D.11 【答案】C8. 【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.9. 【合肥市高三第二次教学质量检测】已知圆221:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切，则ab 的最大值为（ ）A.62 B.32 C.94D.3【答案】C10. 【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷）】已知直线l ：x+ay1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）A 、2B 、42C 、6D 、210 【答案】C【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---=.选C.11.【改编自天津卷】已知下列三个命题： ①已知x ，y 满足x2＋y2＝1，则21y x --的最小值为34； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 【答案】C②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r ，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．综上知，选C ．12. 【厦门市高三5月适应性考试】已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（ ）A.3224+ B.32C.2D.38 【答案】A【解析】①动圆与两定圆都内切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=-⎨=-⎩，所以24e r =-②动圆与两定圆分别内切，外切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=+⎨=+⎩，所以24e r =+122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

高二数学第九章单元综合训练2.doc

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第九章单元综合训练（二）班级 姓名 学号一、选择题1．下列棱柱是正四棱柱的是（ ） （A ）底面是正方形，有两个侧面是矩形.（B ）底面是正方形，有两个侧面垂直于底面.（C ）底面是矩形，两个相邻侧面分别是矩形和正方形.（D ）四个侧面是全等的矩形.2．过球面上任意两点，可以作的大圆的个数为（ ）（A ）1个 （B ）2个（C ）无数多个 （D ）无数多个或1个 3．正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角为 （ ）（A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）（A ）1+2π2π （B ）1+4π4π （C ）1+2ππ （D ）1+4π2π5．在斜棱柱的侧面中矩形最多有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个6．一个表面积为π的球内挖去一个最大的正方体，则所剩下的几何体的体积是（ ）（A ）4π3 -8 3 9 （B ）π6 -13 （C ）π6 - 3 9 （D ）4π3 -437．在四棱锥A -BCDE 中，AB ⊥底面BCDE ，且BCDE 为正方形，则四棱中互相垂直的面有 （ ）（A ）6对 （B ）5对 （C ）4对 （D ）3对8．一个长方体的表面积为22c m 2，体积是8c m 3，这样的长方体 （ ）（A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）无数多个 （D ）不存在9．设命题甲“直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体”，那么甲是乙的 （ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件10．如图，O A 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，O A 绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 （ ）（A ）132 （B ）12 （C ）12 （D ）142二、填空题1．若一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积和球的体积之比为 .2．正六面体每个面的中心是一个正八面体的顶点，则这个正六面体和正八面体的体积之比为 .3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与AA 1、AD 均成60︒角，那么它与AB 所成的角为 . O A4．一个简单多面体，各个面的内角和为3600︒，则它的面数为 .三、解答题1．已知三棱锥A -BCD 的各棱长均为a ，点P 在棱AB 上，点Q 在棱CD 上，求点P 和点Q 的距离最小值.2．设地球是半径为R 的球，地球上A 、B 两地都在北纬45︒上，A 、B 两点的球面距离是13πR ，A 在东经20︒，求点B 的位置.3．如图，在多面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E 、F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c 、d 与a 、b 且a ＞c ，b ＞d 两底面间的距离为h.（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成的二面角的大小.（2）证明：EF ∥面ABCD .（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算，已知它的体积公式是V =h 6（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.。