【精品】最新精练：第三章 圆锥曲线与方程 测评试卷含答案

一、填空题1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长AB =___________.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．3．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．4．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左､右顶点)，若存在以2c 为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为43的等腰三角形，则双曲线C 的标准方程为__________.6．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为25.π记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______.7．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.8．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若45AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．11．已知点()1,0A -是抛物线22y px =的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则PFPA最小值为_____．12．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 13．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______. 二、解答题14．已知椭圆的左焦点为()3,0F ，右顶点为()2,0D ，设点A 的坐标是11,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.15．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.16．已知()11,0F -，()21,0F，动点P 满足124PF PF +=，动点P 的轨迹为曲线Γ. （1）求点P 的轨迹方程；（2）直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()1,1M ，求直线l 的方程.17．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.18．已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>6，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的焦点为(0,、(，实轴长为.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程及弦MN 的长.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点2P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 过点32⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.24．已知P 是圆22:4O x y +=上一动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =． （1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若点)N t 在曲线C 上，求12F NF △的面积．25．抛物线2:4C x y =与直线:(0)=+≠l y kx m k 有唯一公共点，且C 的焦点为F . （1）用含k 的式子表示m .（2）若点E 与F 关于直线l 对称，证明E 的纵坐标为定值.26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】将直线与椭圆方程联立根据韦达定理确定根与系数关系再利用弦长公式求得弦长【详解】由直线：与椭圆：交于两点设得弦长故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时要注意：(1)注意观察应用题设中的每解析：【分析】将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式AB =求得弦长.【详解】由直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点 设11(,)A x y ，22(,)B x y22240416x y x y +-=⎧⎨+=⎩得240x x -= 12124,0x x x x +=⋅=弦长AB ===.故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几【分析】设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，,AB OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，,AB OB m ==，所以PQ bk c e a===⇒=⇒=.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．3．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【 解析：433+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PF PF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大；如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin 22c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭， 因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号， 所以2DN NF +的最大值为 423+ 因此2MN NF +的最大值是433+ 故答案为：433+ 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.4．【分析】根据三角形等面积公式得到再转化为关于的齐次不等式求离心率的取值范围【详解】的面积关系可得：即即整理为：两边同时除以得且解得：故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：10,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据三角形等面积公式得到()11222222P a c c c y bc +⋅=⋅⋅≤，再转化为关于,a c 的齐次不等式，求离心率的取值范围. 【详解】12PF F △的面积关系可得：()11222222P a c c y bc +⋅=⋅⋅≤，))a c c bc a c b +≤⇒+≤， 即()()222222a c b a c+≤=-，整理为：22320c ac a +-≤ ，两边同时除以2a ， 得23210e e +-≤且01e <<， 解得：103e <≤. 故答案为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -= 【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，b a=POF是底边长为6OFP OPF π∠=∠=，PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±，所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-， 点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α， 所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l 的斜率是：tan 33b a π==23POF π∠=，因为POF 是底边长为3 所以6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即431322c =，解得：4c =，由2224ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，b a =23POF π∠=，判断出PF =，在POF 中可以求出4OF c ==，即可得出a 和b 的值.6．【分析】以矩形的中心为原点圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系由题得从而可得到本题答案【详解】以矩形的中心为原点圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系设双曲线的标准方程为圆锥的底面直径均为4则半径侧面积均为可得【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题，得1ba=，从而可得到本题答案. 【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，圆锥的底面直径均为4，则半径2r，侧面积均为.可得2OA AM ==，则1,tan 2OM AOM =∠=，即2ba=，所以e ===.5【点睛】关键点点睛： 根据圆锥曲线的定义将问题抽象为平面解析几何问题，关键利用渐近线求出2ba=，考查了计算求解能力以及转化能力. 7．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+. ∵0PA PB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--. 又221OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-.故答案为－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题8．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查 解析：97 【分析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AMOA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =.又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =， 即该双曲线的离心率975e =.97. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.9．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以解析：6【解析】因为双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==10．【分析】先设出两点的坐标分别为由此可得而则得再由和BMQ 三点共线可得而两点在椭圆上把其坐标代入椭圆方程中两方程作差得由此可得从而可求出离心率【详解】设）则由则再由BMQ 三点共线则故故即又因为即所以故【分析】先设出,A Q 两点的坐标分别为()()1122 ,,,A x y Q x y ，由此可得()()1111,,,B x y P x y ---，而则45AM AP =得113(,)5M x y -，再由AB AQ ⊥，和B ，M ，Q 三点共线可得222221211()5y y x x -=--，而,A Q 两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220x x y y a b --+=，由此可得2215b a =，从而可求出离心率.【详解】设()()1122 ,,,A x y Q x y ）， 则()()1111,,,B x y P x y ---，113(,)5M x y - 由AB AQ ⊥，则1211211y y y x x x -⋅=--， 再由B ，M ，Q 三点共线，则1211215y y y x x x +=+， 故2121212115y y x x x x y y +-=-⋅+-，故即 222221211()5y y x x -=--，又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 即22221212220x x y y a b--+=， 所以2215b a =，故椭圆C．【点睛】此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.11．【分析】利用已知条件求出p 设出P 的坐标然后求解的表达式利用基本不等式即可得出结论【详解】解：由题意可知：设点P 到直线的距离为d 则所以当且仅当x 时的最小值为此时故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性解析：2【分析】利用已知条件求出p ，设出P 的坐标，然后求解PFPA的表达式，利用基本不等式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知：2p ＝，设点(),P x y ，P 到直线1x =-的距离为d ，则1d x +＝，所以PFd PAPA ====≥， 当且仅当x 1x =时，PF PA的最小值为2，此时1x =，． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．12．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程． 【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ．222235352()(2)()(2)2102222a ∴=-+++-+-=，得10a =，则226b a c =-=，则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．13．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，写出圆的标准方程得答案． 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题14．（1）2214x y +=；（2）22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题意可求得a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，利用重点坐标公式可得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220014x y +=化简可得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，c由题意可得20c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，则220014x y +=，由中点坐标公式可得0012122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 代入220014x y +=得()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，线段PA 的中点M 的轨迹方程为22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tmm m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.16．（1）22143x y +=；（2）3470x y +-=.【分析】（1）根据椭圆的定义判定轨迹方程并求出；（2）点差法求出直线的斜率，点斜式即可写出直线方程. 【详解】（1）由椭圆的定义可知点P 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F为焦点，长轴长为4的椭圆. Γ∴的方程为22143x y +=. （2）（点差法）设()11,A x y ，()22,B x y ，A 、B 是Γ上的点，由2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=， 又线段AB 的中点为()1,1M ，12122x x y y ∴+=+=，从而直线AB 斜率212134AB y y k x x -==--. 直线l 的方程为31(1)4y x -=--， 即3470x y +-=. 【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线相交时，若涉及弦的中点问题，弦所在直线的斜率问题， 可以利用“点差法”，可简化运算，求出直线斜率或中点，属于中档题. 17．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =， 所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ， 因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=， 故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键.18．（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()202t d t tt ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【分析】（1）根据准线方程可求p ，从而可求抛物线方程.（2）设直线方程为x my t =+，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理可证OA OB ⋅为与m 无关的定值.（3）设(),P x y ，则可用x 表示||PT ，利用二次函数的性质可求()d t . 【详解】（1）因为准线方程为10x +=，故12p=，故2p =， 故抛物线方程为：24y x =.（2）设直线l ：x my t =+，其中m R ∈，t 为常数，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩可得2440y my t --=，所以124y y t .而()212212124416y y O y y x x A B t t t O +=-⋅=+=-，该值与斜率无关.（3）设(),P x y ，则PT ==0x ≥.令()()2224,0S x x t x t x =--+≥，对称轴为直线2x t =- 若02t <≤，则20t -≤，则()2min 0S S t ==，故()d t t =；若2t >，则20t ->，则()()22min 2244S S t t t t =-=--=-，故()d t =所以()2,02t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +的形式)； （5）代入韦达定理求解.19．（1）2211612x y +=；（2【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩12y y ∴-==△AOB的面积121122277S OF y y =-=⨯⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.20．（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310kxktx t +++-=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得c e a ==，222a c b -=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613kt x x k -+=+，()21223113t x x k-=+，()* 由()()222(6)413310kt k t∆=-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=-⋅-()()2212121(1)(1)0k x x k t x x t =++-++-=，将()*代入，得12t =-， 所以直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．（1）22:12y C x -=；（2）210x y --=【分析】（1）根据题意可得,,a b c ，进而可得双曲线方程；（2）先根据点差法求直线方程，再根据弦长公式即可求出． 【详解】解：（1）根据题意，焦点在y轴上，且c =a =1b =，双曲线的标准方程为22:12y C x -=；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且Q 恰好为线段MN 的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，则由双曲线对称性可知线段MN 的中点在x 轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为()11y k x =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()221112y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，化简可得()()2222222210k x k k x k k ---+--=， 因为有两个交点，所以()()22222242210k k k k k ⎡⎤∆=----->⎣⎦化简可得22210k k -->恒成立，21222122222,212k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪-∴⎨--⎪=⎪-⎩因为()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，则222222k k k -=-，化简可得2k =，所以直线方程为()211y x =⨯-+，即210x y --=.此时1212212x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴MN ===． 【点睛】关于圆锥曲线的中点弦问题：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法主要是点差法，设而不求，得到结果．22．（1）22143x y +=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P ⎭，列方程即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212112F ABS F F y y y y =-=-==△， 令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础.23．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）根据离心率c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值. 【详解】（1）由题意得2222292144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===，。

选择性必修第三章圆锥曲线的方程测试题时间:120 分钟 满分:145 分 命卷人:卢焕邓 审核人:6、已知椭圆的焦距为 , 为右焦点,直线一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题 50 分)为 1、中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为( )A.B.A.D.C.与椭圆 相交于 , 两点,是等腰直角三角形,点 的坐标,若记椭圆 上任一点 到点 的距离的最大值为 ,则 的值为( ) B. D. C.2、已知 为抛物线的焦点,过点 的直线 交抛物线 于 ,两点,若 A.,则线段 B.的中点 到直线 C.的距离为( ) D.7、若双曲线取值范围是( )A.B.与直线有交点,则其离心率的C.D.3、已知双曲线(,)的焦距为,且双曲线的一条渐近 8、已知椭圆 ：，双曲线 ：，若以线与直线平行,则双曲线的方程为( )的长轴为直径的圆与 的一条渐近线交于两点，且椭圆 与该渐近线A.B.C.D.的两交点将线段 三等分，则 的离心率是（ ）4、若直线交抛物线于 ， 两点，且线段 中点到A.B.C.D.轴的距离为 3，则（）A.12B.10C.8D.65、到两定点的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线9、已知 ， ， ， 为正实数，，是常数，且的最小值是 ，满足条件的点一弦的中点，则此弦所在的直线 的方程为（ ）A.B.C.10、已知直线与直线，其中 ， 是双曲线D. 的交点为 ,椭圆椭圆 于 、 两点,若线段 的长度为,则椭圆 的方程为__________.13、已知椭圆的左右两个焦点分别为 ， ，以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点 ， ，且，则该椭圆的离心率为__________.的焦点为 , ,则的取值范围是( )14、已知椭圆,其上一点到两个焦点的距离分A.C.B.D.二、填空题(每小题 5 分,共 7 小题 35 分)11、已知直线 过抛物线的焦点 ,交抛物线于,两点,若,则等于__________.别为 和 ,则该椭圆的离心率为__________,方程为__________.15、设双曲线 经过点，且与具有相同渐近线，则 的方程为__________；渐近线方程为__________.16、抛物线上一点__________， __________．到焦点的距离等于 ，则17、已知抛物线的焦点为 ,过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 , 两点,直线 与抛物线相切且,则直线 的方程为__________;为 上的动点,则的最小值是__________.12、已知椭圆的左、右焦点分别是 、 ,椭圆三、解答题(每小题 12 分,共 5 小题 60 分)上任意一点到 、 的距离之和为 ,过焦点 且垂直于 轴的直线交18、在平面直角坐标系 中,已知椭圆(1)求椭圆 的方程; 的焦距为 ,离 (2)若直线 与椭圆 交于 , 两点(点 , 均在第一象限),且直线 , ,的斜率成等比数列,证明:直线 的斜率为定值.心率为 ,椭圆的右顶点为 .21、已知动直线 垂直于 轴,与椭圆交于两点,点 在直(1)求该椭圆的方程;(2)过点作直线的斜率之和为定值.交椭圆于两个不同点 , ,求证:直线线 上,.,(1)求点 的轨迹 的方程;(2)直线 与椭圆 相交于,与曲线 相切于点 , 为坐标原点,求的取值范围.19、已知抛物线过点.(1)求抛物线 的方程;(2)求过点的直线与抛物线 交于 , 两个不同的点(均与点 不重合).设直线 , 的斜率分别为 , ,求证:为定值.22、已知圆 :和点, 是圆 上任意一点,线段 的垂直平分线交 (1)求 的方程;于点 ,设点 的轨迹为 .(2)若直线与曲线 相交于 , 两点,试问:在 轴上是否存在定点,使当 变化时,总有 说明理由.?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请20、已知椭圆的离心率为 ,且 过点.选择性必修第三章圆锥曲线的方程答案解析第 1 题答案 D 第 1 题解析 因为双曲线两条渐近线互相垂直,所以可得所以.,即为等轴双曲线,第 2 题答案 B 第 2 题解析如图,抛物线的焦点为,准线为为 , ,则有,则为直角梯形距离为 .中位线,则第 3 题答案B第 3 题解析,即,分别过 , 作准线的垂线,垂足∵双曲线(,过 的中点 作准线的垂线,垂足为,即 到准线的∴,,∵,)的焦距为 ,且双曲线的一条渐近线与直线,∴,,∴双曲线的方程为.第 4 题答案 C 第 4 题解析 直线 抛物线 设恒过点，点的准线方程为，，恰好是抛物线 ，的焦点 ，平行,线段 中点到 轴的距离为 3，则，.第 7 题解析 双曲线的焦点在 轴,一条渐近线方程为,只需这条渐近线比直线的斜率大,即第 5 题答案 D 第 5 题解析 因为,正好为定值,所以轨迹为以第 6 题答案 C 第 6 题解析,、为端点的两条射线. 第 8 题答案A第 8 题解析由已知得. ，设 的方程为， 可设，进一步可由题意可得,所以不妨设点 的坐标为,代入椭圆方程有得,又，得，∴ 的一个三分点坐标为,所以 圆 的方程可化为,解得或,设点 的坐标为,则(舍去),所以 ,所以,所以椭，该点在椭圆上，∴，即，解得，从而有，解得,所以,.，故选 A.第 7 题答案 C第 9 题答案 D第 9 题解析，当且仅当,所以时等号成立，由题意，所以，又.设双曲线一弦的两端点为线 的斜率一定存在，且，，，则线段 的中点是.设直线 的斜率为 ，则，，两式相减得，故 时,，直取得最小值 ,当的取值范围是.，所以第 11 题答案，所以直线 得方程为第 11 题解析 ，即.故选 D.由题知,.第 10 题答案 C 第 10 题解析第 12 题答案由椭圆的方程 ,且两直线,可得其焦点为,,又由直线第 12 题解析与直线由题知 的交点为 ,可知两直线经过分别经过定点,得 ,,所以两直线的交点 满足,设设 ,其中,代入椭圆, ,即，则,同理可得 所以,得,时, ,解得,当 取得最小值 ,所以,所以椭圆 的方程为.第 13 题答案故答案为:.第 14 题答案第 13 题解析∵以 为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点,且∴,∵,第 14 题解析 设椭圆的左焦点为, ,,右焦点,由椭圆定义可得,又有,同理可得到,,.第 15 题答案, 椭圆方程为∴., ,于是得到,联立两式可得到 .第 15 题解析 待定系数法求双曲线方程.设双曲线 的方程为，将点代入上式，得的方程为，其渐近线方程为.第 16 题答案由 ，,化简得 ,解得,代入得值为 .第 16 题解析 由题意得,代入抛物线方程得第 18 题答案 见解析 第 18 题解析. (1)由题意可知,椭圆第 17 题答案,则,,由于直线和抛物线相切,判别式,故直线 的方程为.设直线 上任意一点的坐标,当时取得最小的焦点在 轴上,, ,椭圆的离心率,则椭圆的标准方程;第 17 题解析 依题意可知,抛物线的焦点坐标为,由于直线的斜率为 ,故直线方程为,由,解得(2)证明:设,,,当斜率,即不存在时,与椭圆只有一个交点,不合题意,由题意 的方程, .设直线 的,则联立方程方程为,,整理得,由韦达定理可知 由,,则,则,,∴直线 , 的斜率之和为定值 .第 19 题答案 见解析 第 19 题解析(1)由题意得,所以抛物线方程为.(2)设,,直线 的方程为,所以,,代入抛物线方程得,,故, 所以为定值 .第 20 题答案(1);(2)见解析,. 第 20 题解析(1)由题意可得解得故椭圆 的方程为.(2)由题意可知直线 的斜率存在且不为 ,设直线 的方程为,由消去 整理得∵直线 与椭圆 交于两点, ∴设点 , 的坐标分别为,,则,,∴ ∵直线 , , 的斜率成等比数列, ∴,整理得∴,又,∴结合图形可知, ,故直线 的斜率为定值.第 21 题答案 见解析 第 21 题解析, .(1)设 ∴ ∴,,则由题知,,,,,由在椭圆上,得,所以故点 的轨迹 的方程为..(2)当直线 的斜率不存在时,.当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,,,,联立,,所以;联立,, , ,令,所以,当时,即时,小值;综上:的取值范围为第 22 题答案 见解答 第 22 题解析(1)圆 :,圆心又,所以,所以由椭圆的定义知点 的轨迹是以 ,为焦点的椭圆,设其标准方程 :,则,,所以,.,∴曲线 :.,(2)设存在点,满足题设,联立直线与椭圆,消去 ,取最大值 ,当时,即时, 得取最,设,,则由韦达定理得,①.,②,由已知得由题设知 平分直线 与直线 的倾斜角互补,,即直线 与直线 的斜率之和为零,即,即,③把①、②代入③并化简得,④所以当 变化时④成立,只要即可,所以存在定点满足题设.。

一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．12B ．622+ C ．31+ D ．62+8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34πC ．(65)π-D ．54π11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________． 17．曲线412x x y y -=上的点到直线y =的距离的最大值是________．18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.三、解答题21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 22．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点． （1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．23．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求MF NF +的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，过点(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .3．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据12r a >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C 5．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =，所以22216124b a c =-=-=， 所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFBOFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．16．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==． 因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C的离心率为2c a =．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的【分析】 先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y xy x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x =的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：22y x =- 故两平行线22y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =26. 26. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有1221122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a =±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）. 故答案为1. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线； 当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆； 当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】解：（1）将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0， 设切线方程为()21y k x -=-，与24y x =联立得()2204k y y k -+-=（0k ≠）， 由()120k k ∆=--=得1k =． 所以，所求切线方程为1y x =+．（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入24y x =得：240y y m +-=．由16160m ∆=+>，得1m >-．又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，()()()()22122112121211121222441111PA QA y y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()121441684201m m x x +-++==-， 所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）1234PP P P +=2）2,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则)1221PP x x -，)3443P P x x =-，∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：22112y x x y =+⎧⎨+=⎩；214y x x y=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y⎧+=⎨=⎩解得：()2A -，()2B ，设()00,D x y ，则220012x y +=；切线00:12m x x y y +=，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++，∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 24．（12【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+-=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =； 综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，23a c -=-222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=； （2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为3y kx k =-，直线CD 为13y x k =-，进而得2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以23a c -=-，又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQx m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =-，直线CD为1y x k k=-+， 得()2222411240k x x k +-+-=，所以223434221244141,k x x x x k k -+==++，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号， 所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长． 【详解】（1）224y x ty x=+⎧⎨=⎩， 整理得()224410x t x t +-+=， 则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB ==4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=， 由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =，所以AFB△的周长为7+ 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

第三章圆锥曲线的方程同步课堂单元测试【解答题基础版】一、解答题1．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点()的双曲线方程.【答案】221128x y -=【分析】设所求双曲线方程为22221x y a b-=，根据题中条件，求出c =，221841a b -=，求解即可得出结果.【详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意易求得c =，又双曲线过点()，所以221841a b-=；因为(222a b +=，所以212a=，28b =.故所求双曲线的方程为221128x y -=.2．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3-，和9(5)4，，求双曲线的标准方程.【答案】221169y x -=【分析】直接设双曲线的方程为22221y x a b-=(00a b >>，)，代入点的坐标解得22,a b ，即得．【详解】设22221y x a b -=(00a b >>，)，则222232912581116a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得22169a b ⎧=⎨=⎩，∴方程为221169y x -=.3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上；（2）4a =，c =，焦点在y 轴上；【答案】（1）22116x y +=.（2）22116y x +=【分析】（1）直接写出标准方程即可；（2）根据222b a c =-得到21b =，再根据焦点位置，直接写出标准方程.【详解】（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22116x y +=.（2）由4a =，c =2221b a c =-=，焦点在y 轴上，∴其标准方程为22116y x +=.【点睛】本题考查了由,,a b c 的值，求椭圆的标准方程，属于基础题.4．已知椭圆C 的长轴长为10，两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆C 上一点，2PF x ⊥轴，求12F PF ∆的面积．【答案】（1）2212516x y +=（2）485【分析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c .由椭圆中满足222a b c =+,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据2PF x ⊥,可得P 点坐标,即可求得12F PF ∆的面积．【详解】（1）椭圆C 的长轴长为10,两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0则210,3a c ==,且222a b c =+解得25,16a b ==所以椭圆的标准方程为2212516x y +=（2）P 为椭圆C 上一点,2PF x ⊥轴所以点P 的横坐标为3x =,代入椭圆方程可求得点P 的纵坐标为165y =±不妨设点P 在x 轴上方,则163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭所以121212F PF P S F F y ∆=⨯⨯161485562=⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，且经过()0,3和()2,0两个点；（2）焦点在x 轴上，椭圆内最长弦的弦长为8，并且短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列.【答案】（1）22194y x +=；（2）221168x y +=.【分析】（1）根据题设条件可直接得到,a b 的值，从而得到所求的标准方程.（2）根据椭圆内最长弦的弦长为8可得4a =，再根据短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列以及222a b c =+可求出b ，从而得到椭圆的方程.【详解】解：（1）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>.因为椭圆经过点()0,3和()2,0，所以32a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆的方程为22194y x +=.（2）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>.因为椭圆内最长弦的弦长为8，所以28a =，即4a =.因为短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列，所以22a b c =⨯.由222242a a b c a b c =⎧⎪=⨯⎨⎪=+⎩，得4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求椭圆的方程为221168x y +=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，一般地，求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量，本题属于容易题.6．已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10.（1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.【答案】（1）9；（2）顶点坐标()3,0±；渐近线方程43y x =±【分析】（1）根据焦距可得c ，由222a c b =-可知216n c =-，求得n ；（2）由（1）知双曲线方程，可得顶点坐标为(),0a ±，渐近线为by x a=±.【详解】（1）焦距为105c ∴=21625169n c ∴=-=-=（2）由（1）知，双曲线方程为：221916x y -=，即3a =，4b =∴双曲线顶点坐标为()3,0±，渐近线方程为：43b y x x a =±=±【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程的求解等知识，考查双曲线部分的基础定义和几何性质，属于基础题.7．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -；（2）长轴长等于20,焦距等于12.【答案】（1）22194x y +=；（2）22110064x y +=或22110064y x +=【分析】（1）设椭圆方程,根据椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,得出32a b =⎧⎨=⎩,代入方程即可.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12,得220212a c =⎧⎨=⎩,则可得1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.【详解】解:（1）设椭圆方程为:22221x y a b +=,因为椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,()30A -,,()0,2B -分别为左顶点和下顶点,所以得32a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆标准方程为22194x y +=.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12依题意:220212a c =⎧⎨=⎩,所以1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆标准方程为:22110064x y +=或22110064y x +=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,需要注意焦点所在的轴的情况,是基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【答案】（1）2212y x -=；（2）实轴长2【分析】（1）先求出双曲线22142-=y x的渐近线方程y =，从而由题意可得b a =，所以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的方程可化为222212x y a a-=，再把M 坐标代入方程中求出a 的值，从而可得双曲线C 的方程；（2）由双曲线方程可得1a =，b =，c =点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离【详解】（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=，∵双曲线2222:1x y C a b-=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，ba∴=∴方程可化为222212x y a a-=，又双曲线C经过点M ，代入方程，222212a a ∴-=，解得1a =，b =∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==ce a，设双曲线C的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题9．已知ABC的周长为8且点A ,B的坐标分别是()-,(),动点C 的轨迹为曲线Q .（1）求曲线Q 的方程;（2）直线l 过点()1,1P ,交曲线Q 于M ,N 两点,且P 为MN 的中点,求直线l 的方程.【答案】（1）()2210164x y y +=≠；（2）450x y +-=【分析】（1）依题意知AB =8BC AC +=.结合8>得出点C 到两个定点的距离之和等于定值,则点C 的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得4a =,c =24b =,所以的椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,根据两点在椭圆上,联立方程组,2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减整理可得122x x +=,122y y +=,可得斜率14-,由点斜式可得直线l 的方程.【详解】解:（1）∵ABC的周长为8,点()A -,()B ,∴AB =8BC AC +=.∵8>∴点C 到两个定点的距离之和等于定值,∴点C 的轨迹是椭圆,设它的方程为()222210x y a b a b+=>>.∴4a =,c =,24b =,∴椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,两点在椭圆上,所以2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=,∵122x x +=,122y y +=,代入可得121214y y x x -=--,∴直线l 的方程是()1114y x -=--,即450x y +-=.【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求椭圆的方程,以及直线与椭圆的位置关系,考查化简运算能力以及转化能力.10．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.【分析】（Ⅰ）依已知得12p=，所以2p =；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=,再利用韦达定理求弦长AB .【详解】（Ⅰ）依已知得12p=，所以2p =；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=，则126x x +=，121x x =，所以AB===8=.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.11．设点M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一动点，椭圆的长轴长为.(1)求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线1:50l x y +-=距离的最大值.【答案】（1）22:1124x y C +=；（2）max2d =【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率3，长轴长为(2)设点(),2sin M θθ，利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】（1）由已知得2222a c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得2221248a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆22:1124x y C +=（2）设(),2sin M θθ，则d ==当sin 13πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，max d =.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.12．已知双曲线C 的标准方程为22166x y -=．（1）写出双曲线C 的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点1F 、2F 的坐标；（2）若点()3,M m 在双曲线C 上，求证：12MF MF ⊥．【答案】详见解析【分析】(1)根据双曲线的标准方程，求得a 和b 的值，即可求得答案；(2)根据直线斜率求得121MF MF k k ⨯=-，从而可得12MF MF ⊥.【详解】(1)由22166x y -=，可得：2a =，2b =，所以离心率为e =()1F -,()2F ；(2)因为1MF k =2MF k =29166m -=,所以121MF MF k k ⨯=-，所以12MF MF ⊥【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.13．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），上的点M （1，m ）到其焦点F 的距离为2，求C 的方程；并求其准线方程.【答案】y 2=4x,x 1=-【详解】试题分析：由题意求得抛物线的准线方程，根据定义可得p=2，从而可得抛物线的方程和准线方程．试题解析：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ；准线方程为1x =-．14．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围．【答案】22k -<<【分析】直线方程与双曲线方程联立，利用判别式的符号列不等式求解即可.【详解】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.15．已知椭圆C 的两焦点分别为()()12F F -、，长轴长为6．⑴求椭圆C 的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度．【答案】（1）22191x y +=；（2【分析】(1)由焦点坐标可求c 值，a 值，然后可求出b 的值．进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．【详解】解：⑴由()()12F F -、，长轴长为6得：3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=所以12121827,510x x x x +=-=又5AB =【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．。