数字信号处理习题及答案2

习题详解第1章单项选择题（1-1—1-10题） 1-1 关于序列[]x n 的自相关 *[][][]xx k r n x k x k n ∞=-∞=+∑，错误的是（D ）（A ）[0]xx r E =，E 是序列的能量 ； （B ）*[]x n -的自相关等于[]x n 的自相关； （C ）[]x n m -的自相关等于[]x n 的自相关，m 是任意整数； （D ）[][]xx xx r n r n -=。

解：（A ）*[0][][0]xx k r x k x k E ∞=-∞=+=∑（B ）[]x k 共轭翻褶再左移n 得到*[()]x k n -+***[]'[][][()][']['][]xx n k k r n x k x n k x k n x k r n ∞∞-=-∞=-∞=--+=+=∑∑（C ）**[][]'[][()][()][']['][]x n m x n k k r n x k m x k n m x k x k n rn ∞∞-=-∞=-∞=-+-=+=∑∑（D ）***[][][][']['][]xx xxk k r n x k x n k x k n x k rn ∞∞=-∞=-∞-=-+=+=∑∑若[]x n 是实序列则自相关偶对称1-2 序列11[]5cos(63x n n ππ=-的周期是（A ）（A ）12 （B ）11 （C ）12/11 （D ）6 解：21211116ππ=，所以周期121-3下列系统因果且稳定的是（B ）（A ）{[]}2[]nT x n x n = （B ）{[]}[][1]T x n x n u n =-+（C ）10{[]}log []T x n x n = （D ）55{[]}[]n k n T x n x k +=-=∑1-4下列系统线性且时不变的是（B ）（A ）0{[]}[]nk n T x n x k ==∑（B ）00{[]}[]n n k n n T x n x k +=-=∑（C ）[]{[]}0.5x n T x n = （D ）{[]}[]T x n x n =-1-5有一系统输入为[]x n ，输出为[]y n ，满足关系[]([][2])[]y n x n u n u n =*+，则系统是（A ）（A ）线性的 （B ）时不变的 （C ）因果的 （D ）稳定的 解：()12121212(){[][]}([][][])[]([][])[]([][])[]{[]}{[]}(){[1]}([1][])[][1]([1][])[1]var ()[][][2]k A T ax n bx n ax n bx n h n u n a x n h n u n b x n h n u n aT x n bT x n linearB T x n x n h n u n y n x n h n u n time iantC y n x n k u k =-+=+*=*+*=+∴-=-*≠-=-*-∴-=-+2[][][]([2]...)[],()k u n x n k u n x n u n non causal D unstable∞∞∞=-⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫=-=++∴- ⎪⎝⎭∑∑1-6 LTI 系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是（C ）（A ）][2][n u n h n =（B ）]1[][--=n u a n h n （C ）][)5.0cos(][10n R n n h =（D ）[][2][2]h n u n u n =+--1-7 关于LTI 系统，以下说法正确的是 （C ）（A ）IIR 不能实现； （B ）IIR 是非因果系统； （C ）IIR 不一定稳定； （D ）IIR 不如FIR 好。

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

n n
(4) h(n)=( (5) h(n)=
1 n ) u(n) 2
1 u(n) n
n
(6) h(n)= 2 R n u(n)
解 （1）因为在 n<0 时，h(n)= 2 ≠0,故该系统不是因果系统。
n
因为 S=
n =−∞
∑
∞
|h(n)|=
∑
n =0
∞
|2 |=1< ∞ ，故该系统是稳定系统。
n
(2) 因为在 n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。 因为 S=
n =−∞
n =−∞
(4) 因为在 n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为 S= |h(n)|=
n =−∞
∑
n=0
|(
1 n ) |< ∞ ，故该系统是稳定系统。 2
(5) 因为在 n<O 时，h(n)=
1 u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n
因为 S=
n =−∞
∑ ∑
∞
∞
|h(n)|=
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( （2）x(n)= e (
j
π 5π n+ ) 8 6
n −π) 8 π 3π （3）x(n)=Asin( n+ ) 4 3
(1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( ωn + ϕ )，得出 ω =
∞
=
k =0
∑ u(k )u(n − k ) =(n+1),n≥0
即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= ∑ λ k u (k )u (n − k )

部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。

周期N =14。

（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。

（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。

（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。

周期N =6。

2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m R n h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以743070810)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ)]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m R n y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0 (b) 当40≤≤n 时，n n nnm mn n y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，n nm mn n y 5.03121215.05.05.0)(540⨯=--==∑=- 最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m R n h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，n nnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=-(c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑n n n nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h 25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hn n h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h 22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hn n h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n h m x )]()()[(12∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k h m x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n h m x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h )]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **= )()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n h m x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n h m x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m m n Nm n u a m Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m m Nnm n u a m Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(110--=--==++=-∑a a a a a aan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a a a a a a aan y N n n N nN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a a a n R a a n y N n n N n ---+--=+-++ 2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n *=*=)4(1)(113141---+--=-++n u a a a n R a a n n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ（2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n n j j e e nn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑ （2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==0)(0)()(n n j n j n nj j e e en x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee （3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===)(0)()(n n j n nj nn nj j e eeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e +--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==0cos )()(n n j n n nj j ne e en x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=0)()(0][21)(210000n n j j n j j nj n j n j n ne e e e e e ωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e e e e e j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N N n n j n N j nN j N Nn nj e e e eωππω ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωN j N N j N N j N j N N j N N j j Nj Nj e e e e e e e e e-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωπωN j j j j N j e N e e Ne N e N 232)123()2cos(cos 21cos 12sin )2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ002121)(21)(d je d je d e e H n h n j nj n j j ⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n n ππ20)1(1 （2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj eX -*（2）)]()([21ωωj j e X eX -*+（3）)]()([2122ωωj j e X e X -+（4）)(2ωj e X2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj e Y 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx （7） )2(n x （8）)(2n x （9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n n j e nn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j e X e e n x -∞-∞=+''-='∑ （2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n n j n nj e X e n x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j e n x ω)()(ωj e X -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj eX )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=m j k kj m e ek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj e Y（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n n j n j j e d e eY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d e n x eY n n j j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d e X e Y j j )()(21)( 或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y e X（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x eX ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j e n nx j d e dX n n j j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ] 因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX j j )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=n j nn e n x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121n j n n j n j n e n x e en x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+ =)]()([21)21(21πωω-+j j e X e X 或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j e X e X eX =+ （8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n n j e n xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j e X e X =ωπωωππω''--'⎰d e X e X j j )()(21)( （9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n n j e nx ω)2(令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j e X en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j e X求)(ωj eX 的傅里叶反变换)(n x 。