华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解.docx

将 $x^2 + 6x + 9$ 分解为 $(x + 3)^2$。
公式法的应用
在因式分解中的应用
利用平方差公式和完全平方公式，可以将一些多项式分解为两个 因式的乘积。
在解方程中的应用
通过因式分解，可以将一些一元二次方程化为两个一元一次方程， 从而求解。
在几何问题中的应用
在解决一些几何问题时，可以通过因式分解来简化计算过程。
分解要彻底
在提取公因式或运用公 式法进行因式分解时， 应确保分解彻底，不留 余数。
结果要化简
在得出因式分解的结果 后，应对结果进行化简， 确保结果是最简形式。
06
十字相乘法
十字相乘法的概念
十字相乘法是一种因式分解的方法， 适用于形如$ax^2+bx+c$的二次多 项式，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
公式法
对于分组后各组之间不存在公因式的多项式，可以运用公式法进行 因式分解，如平方差公式、完全平方公式等。
综合法
对于分组后既存在公因式又适用公式的多项式，可以先提取公因式， 再运用公式法进行因式分解。
分组分解法的注意事项
分组要合理
分组时应根据多项式的 特点和题目的要求进行 合理的分组，以便更好 地提取公因式或运用公 式法进行分解。
八年级数学因式分解 课件4华师版
目录
CONTENTS
• 引言 • 因式分解的概念 • 提取公因式法 • 公式法 • 分组分解法 • 十字相乘法 • 因式分解的应用
01
引言
课件背景
适应新课程改革
本课件依据华师版八年级数学教 材编写，与新课程改革理念相契 合，注重培养学生的数学素养和
创新能力。

1.把下列多项式分解因式 （1）3a+3b= 3(a+b) (2) 5x-5y+5z= 5(x-y+z)
(3) 3a2-9ab= 3a(a-3b) (4) -5a2 +25a= -5a(a-5)
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
3 . 已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.
察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时49分18秒08:49:188 November 2021 ❖ 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午8时49
分18秒上午8时49分08:49:1821.11.8
注 意
提公因式后，另一个因式：
(2)xy+yz=y(x+z)
(7)(x-y)2+(x-y)=(x-y)(x-y+1)
(8) –3ax2y+6x3yz= -3x2y(a-2xz)
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2=mn(m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号时每一项一定先变号
找公因式的方法：
1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时） （如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取5）
5abc
2.字母取各项的相同字母，且相同字母的指 数取最低次幂。
(如:3x2y+6x3yz中相同字母x应取x2)
3x2y

个整式的积．
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ；
若不是，打“×”．并说明理由:
1
1
(2)a2b＋a＝a2(b－a )
(× )
a
1
【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ a
不是整式．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(3)x2＋3xy＋x＝x(x＋3y)
；电动车维修 摩托车维修培训 / 电动车维修 摩托车维修培训
；
姿态享用。它们接受了残酷的现实，并学会把这看成生存的常态。他们的适应能力是很强的。适应能力强，这对人，对鸟，对任何生物，都是一个褒奖的词语。它们无师自通，就懂得了站在主人为它们架在笼中的假树杈上，站在笼子的中心位置，而不是在笼壁上徒劳地乱撞。就像主人所期待的 那样，优雅地偏头梳理它们的羽毛，如果有同伴，就优雅地交颈而眠。更重要的是，当太阳升起的时候，或者主人逗弄的时候，就适时适度地婉转歌唱，让人感觉到生活是如此的自由、祥和、闲适。而天空和扑翼这种与生俱来的事情，也就是多余的了。 但有一些鸟的适应能力却很差，这大抵是 鸟类中的古典主义者或理想主义者。它们对生命的看法很狭隘，根本不会随现实场景的转换而改变。在最初的惊恐和狂躁之后，它们明白了厄运，它们用最荏弱的姿态来抗拒厄运。他们是安静的，眼睛里是极度的冷漠，对小碟小碗里伸过来的水米漠然置之，那种神态，甚至让恩赐者感到尴尬， 感到有失自尊。鸟儿的眼睛里一旦现出这样的冷漠，就不可能再期待它们的态度出现转机，无论从小笼子换到大笼子，还是把粗瓷碗换成金边瓷碗，甚至于再赏给它们一个快乐的伙伴，都没有用了。这一切与它们对生命的认定全不沾边儿。事实上，这时候它们连有关天空的梦也不做了，古典主 义者总是悲观的，绝望的，它们只求速死。命运很快就遂了它们的心愿。 而我一直怀有敬意的，是鸟儿中的另一种理想主义，这种鸟儿太少，但我侥幸见过一只，因为总是无端想起，次数多了，竟觉得这鸟儿的数目似乎在我感觉中也多了。 我见到这只鸟儿的时候，它在笼中已关了很久了，我 无从得见它当初的惊恐和焦灼，不知它是不是现出过极度的冷漠，或者徒劳地撞击笼壁，日夜不停地用喙啄笼壁的铁枝。我见到它的时候，它正在笼子里练飞。它站在笼子底部，扑翼，以几乎垂直的路线，升到笼子顶部，撞到那里，跌下来，然后仰首，再扑翼……这样的飞，我从来没见过。它 在笼中划满风暴的线条，虽然这些线条太短，不能延伸，但的确饱涨着风暴的激情。它还绕着笼壁飞，姿态笨拙地，屈曲着，很不洒脱，很不悦目，但毕竟它是在飞。它知道怎样利用笼内有限的气流，怎样训练自己的翅膀，让它们尽可能地张开，尽可能地保持飞翔的能力。 在这样一只鸟的面前， 我感觉惭愧。一般我们很难看见鸟是怎样学飞的，那些幼鸟，那些被风暴击伤了的鸟，那些在岩隙里熬过隆冬的鸟，还有那些被囚的鸟。这是一件隐秘 的事。我们只看见它们在天空中划过，自由地扑翼，桀骜地滑翔，我们只羡慕上帝为它们造就了辽阔的天空。 但在看到那只在笼中以残酷的方 式练飞的鸟之后，我明白，天空的辽阔与否，是由你自己造就的，这种事情上帝根本无能为力。上帝只是说，天空和飞翔是鸟类的生命形式，而灾难和厄运也是世界存在的另一种形式。至于在灾难和厄运中你是否放弃，那完全是你自己的事情。 只要眼睛里还有蓝天? 兰心 人们常常爱将“遗憾” 两字挂在嘴边。 遗憾，一个颇为伤感的字眼，令人心碎。 十多年前的一个茫茫暗夜，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，在车厢黯淡的灯影下，我凭窗而坐，凝望着那一棵棵如风掠过的白桦树，蓦地，“遗憾”这两个字扑进眼帘。就在这一刹那，我在人生交叉点上作了一个重要的抉 择。而在往后的岁月里，因为这个决定，又引起了种种不同的遗憾，却是始料不及的。 曾经听过这样一个故事。 一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授，在不惑之年，竟然尝试去实现童年梦想，他不惜放弃优职高薪，从养狮开始到驯狮、驯虎豹，最终成为美国一代马戏大师。当他向万千观众致 谢时，盈泪的双眼，令他看不清那无数个兴高采烈的欢颜。在舞台探照灯的照耀下，他的梦想实现了，事业达到了顶峰。然而，这期间，结婚十几载的妻子因无法理解他的行动，离开了他。生命，最终留下了遗憾。 每个人都有自己遗憾的故事。 当我们站在母亲的墓前，咀嚼着“子欲养而亲不 在”的悲哀时；当空间与时间的不吻合而改变了一生的命运时；当一段美丽的情缘，最终刻在心坎上的，只是惆怅的回忆时；当滚滚红尘中，寻觅到一张亲切的面孔，却又在擦身而过的瞬间消逝时；当逝水年华，岁月蹉跎，留下了一个个苍白、空虚的印记时……遗憾带来的况味，竟是如此悲凉、 无奈。在这一瞬间，世界变得残缺不全，我们仿佛成了生命的弃儿，缘于那神秘的玄机不在自己的掌握之中。 叔本华说过，人们就像那些炼金者，原指望炼出金子，谁知却往往发现了一些更有价值的事物，如火药、药、化学化合物和一些自然原理。从这个角度去说，当人们感到遗憾时，可能有 另一种意想不到的收获出现。芳心虽然憔悴，灵魂却更为坚强。 ?谁说遗憾不是一种苦难？而在诗人的眼里，苦难也是美丽的。有遗憾，就意味着有惋惜、有追悔，心儿念念不忘的，仍是对憧憬的追寻，生活中也可能出现一个个感人至深的故事。哀莫大于心死，一旦伤痕化为云烟，深深的遗憾 也不会来光顾心房了。 一位朋友，夫妇俩年轻有为，事业有成，在上天的眷顾下，人生已经太完美，夫复何求之际，却令人感到寂寞，没有新鲜感可言。我想，他的遗憾，恰恰是因为没有遗憾吧？ 遗憾，令人流泪，也令心灵更加温柔。世上再没有一种东西，让你能如此快乐而忧伤。只要我还 有一双眼睛，这眼睛里装满了如洗的碧空，天色蓝得让瞳仁里满是细碎的小蓝点在跳跃，人生就依然有希望。那已逝去的无数个遗憾，点缀了平淡的日子；涟漪过后，更留下点点余韵，回味无穷。 如果说，人生是一本书，遗憾不啻是一串串省略号，空白之处，蕴含深刻的哲理；如果说，人生是 一出音乐剧，遗憾不啻是一个个休止符，无声之中，酝酿着新的活力！一瞬间的寂静，凝聚起下一个乐章的序幕。 ?我想，遗憾，在生命的历程里，扮演的，恰恰是这样一种角色吧？ 熬? 药? 吴克诚 所谓的药就是一些亡去很久的草。长得正好的草是不配叫药的，即使硬放进药屉，不久它也会 烂掉，因为它未经晒、烘、焙或炒——九九八十一劫，少了一劫，也不能成药。 所以药都身世沧桑。身世沧桑的药只能以文火慢熬。我喜欢这个“熬”，“煎药”的煎太轻薄，与药的身世不协调。 ?急火出菜，文火出药——饱经沧桑之心，除了以文火轻拢慢捻，是断不能把它再打开了——且看 文火不疾不徐在药锅底下缭绕，缭绕成花的瓣，那么锅中药就是瓣中蕊了。熬着熬着，蕊心舒开，尘封已久的沧桑便一丝一缕地倾吐出来。 越王勾践很善于用文火熬药。越国病入膏肓，他却不慌不忙，他用去二十多年的光阴，来熬一服复国之药。伍子胥在这方面可就逊色了，他输在一个“急” 字上，一急，药煳了。急火攻心，自己当然也在劫难逃。 沧桑是苦涩的，所以药都苦。 苦药祛病。 魏征是个善献苦药的人。唐太宗善喝苦药。虽然有时他也会紧皱眉头，但他最终还是咽了下去。商纣王咽不下去，渐渐就百病缠身了。病是潜伏着的阴谋，肉眼一时半会儿很难看到，它一旦显山 露水，就势如破竹了。 小孩子理解不了药的苦心，所以小孩子总拒绝好心好意的药。我甚至都拒绝走进父亲的药房——我至今仍记着那个春夜，月色正好，我溜进父亲的药房，倚着门，看他熬药。摇曳的烛影里，父亲被药拥着，也如一味药了。药香如蝶，满室翩跹。 父亲说：“过来啊，过来 叫药熏熏。”我可不愿让它熏，我一扭头，转身就跑，一地花影都被我踩碎了。 今夜，父亲故去已整整十年。当初那些被我踩碎的花影仍在。春夜也在。月也正好。可是再也不会有人唤我熏药了…… 当初面对那些苦药，我真不应拔腿就跑…… 从生到老，谁能离得了那些药？从生到老，谁能说 清，究竟要咽下多少药？ 我们这样近，我们这样远? ?冷夏 阳光像梦一样，安静的落入我平凡琐碎的生活深处，在这个春天的下午。 我坐在阳台上，手里捧着一本梭罗的《瓦尔登湖》。多少年来，每次阅读它，我都会闻到那片树林的青涩气，那面湖水波光淡然冷静，潮湿的新鲜的水气。我感 到一种非常遥远的愉快，可以在一本书里自由的跑步呼吸。 许多的事情，过去了就过去了，不可能重现。惟有音乐和文学，适合等待、遥望、冥想。 ?一直认为梭罗还活着，他活在一个地方，离我的住处遥远，离我的感觉很近的某个地方。对他文字的爱恋，就像我对生命的向往一样，永远不会 消失。 阳光穿透玻璃的窗子，使我感觉温暖。手禁不住要伸出去握住什么。这个多么重要，在我表面生活的背后，意识到自己蕴藏着丰富的情感，而这些情感一直活在心里。 ?梭罗的文字，是干净安静的雪，可以清凉燥渴的灵魂。可以听见来自纯粹生命深处的自然歌吟----“曾有个牧羊人活在 世上，他的思想有高山那样崇高，在那里他的羊群，每小时都给予他营养。” 那与我失之交臂的时光和旧梦，充满恍惚怅然的珍惜之感。 想到夏洛蒂.勃朗特、奥尔科特和奥思汀的时代，从古堡到庄园，马车的轱辘慢慢辗转，那些沐浴在舒适阳光里的蔓草丛生的小径，夏天开满野蔷薇，秋天以 山楂和黑莓著名，冬天最令人赏心悦目的是完全的寂静和无叶的安宁。 可以步履缓慢、从容。可以用一个上午的时间写一封并不长的信，用一个下午的时间眺望牧场上丝绒似的草坪和栅栏两侧的冬青。晚上坐在炉火旁怀揣着心事，躲避祖母探询的目光，阅读或编织。却努力等待着有马车夫忽然 的脚步声，急匆匆撩开寒冷的夜色带来了温暖克制的爱情的回音。 我合上《瓦尔登湖》，从阳台尽力向远方眺望。这个春天的午后和以往没有什么不同，宽阔的街道依然人群如织，车水马龙。很多次我试着站在高处，超越自己有限的目力，尽力透过繁华而富有生命的城市，透视那些纷纭热闹的 核心究竟是什么。 生存的紧迫和焦虑带来一张张匆忙麻木的面孔，不知道在那样面孔的身体里，除了对名利的疯狂追逐，是否还留有一点时间对珍贵东西的失落进行偶尔打捞，是否还留有一点空间可以温情的抗拒或冲淡什么。 世界嘈杂多变。人们拥有广泛的人际关系，却缺乏深刻的情感交流。 人们在虚拟的互联网上寻找知己，为或许根本不存在的爱情痛苦沉沦，而不在乎结局如何。人心越来越疲惫困顿，情感越来越冷酷灵活。 我对实际生活中过分热络的友情，对虚拟世界激情的可靠性一直保持平和的怀疑态度。 夜晚，当一切安静下来，我对自己说：写吧，无论写什么。文字是心 灵的古典音乐，是柏油路上的清泉。为了不失去它，用自己的方式来等待和怀念。喜欢阅读的人，也可以从我的文字中看见

（2）字母取多项式各项中都含有的相同 的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一 个，即最低次幂．
指出下列各多项式中各项的公因式：
多项式
公因式
①ax+ay+a
a
②3mx-6nx2
3x
③4a2b+10ab2
2ab
④x4y3+x3y3 ⑤12x2yz-9x3y2
x3y3 3x2y
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
因式分解
新课导入
想一想
993－99能被100整除吗？ 解法一：993－99=970299－99 =970200 解法二：993－99=99（992－1） =99（99＋1）（99－1） =100×99×98 哪种解法简单？
因式分解与整式乘法的关系：
整式的积 多项式 多项式
整式的积
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
公共的因式 m
多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共 的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。
思考：如何找公因式？
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
a、b
相同字母
a、b2
最低指数
视察 方向 一看系数
二看字母
三看指数
知识要点
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数；
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的情势。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： 1、公因式提取要彻底，2、首项为负先提负，