高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列仍为等差数列，232n n n n n
S S S S S --，，……仍为等差
{}{}{}12212,,+-n n n a a a 数列，公差为；
d n 2（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d
-+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --=
（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的
二次函数）
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界
项，
即：当100a d ><，，解不等式组10
n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.
当100a d <>，，由1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.
(6)项数为偶数的等差数列{}n a ，
有
n 2)
,)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ，
.nd S S =-奇偶1
+=n n
a a S S 偶
奇
（7）项数为奇数的等差数列{}n a ，
有
12-n ，
)()12(12为中间项n n n a a n S -=-
，
.n a S S =-偶奇1
-=
n n S S 偶
奇
2. 等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()
11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩
（要注意！）性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n
S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为.
n q 注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =；2n ≥时，1
n n n a S S -=-.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列{}n a ，122111
25222
n n a a a n +++=+……，求n
a 解 1n =时，11
2152a =⨯+，∴114a = ①
2n ≥时，12121111
215222
n n a a a n --+++=-+……
②①—②得：122n n a =，∴1
2n n a +=，∴1
14(1)2(2)
n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足1115
43
n n n S S a a +++==，，求n
a
注意到11n n n a S S ++=-，代入得
1
4n n
S S +=；
又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法
如：数列{}n a 中，1131
n n a n
a a n +==+，，求n
a 解
3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n =又13a =，∴3n a n =
.
（3）等差型递推公式
由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法
2n ≥时，21321(2)
(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫
⎪-=⎪
⎬⎪⎪-=⎭
…………两边相加得1(2)(3)()
n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()
n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （
()1312n
n a =
-）
（4）等比型递推公式
1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）
可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-令(1)c x d -=，∴1d x c =
-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭是首项为1
1d a c c +-为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛
⎫=+- ⎪
--⎝
⎭（5）倒数法如：11212
n
n n a a a a +==
+，，求n
a
