数字信号处理算法实现 课件

卷积和
21
1.1.5 离散时间信号相关函数及卷积表示
对于能量信号 x (n) 和 y (n) ，它们的互相关函数定 义为
rxy (m)
取共轭 x ( n ) y ∗ ( n − m)
n=−∞
∑
∞
对于功率信号 x (n ) 和 y (n ) ，它们的互相关函数定 义为
rxy (m )
UESTC 何子述等
UESTC 何子述等
→ 若 f (n)←⎯ F (ω) ，那么
f1 (n)←⎯ F ( N ω ) →
F
F
特别地，有ห้องสมุดไป่ตู้
f (−n)←⎯ F (−ω) →
F
频域微分特性
→ 若 f (n)←⎯ F (ω) ，那么
F
(− jn) f (n)←⎯→
UESTC 何子述等
F
d F (ω ) dω
时域卷积特性
F F → h → 若 f (n)←⎯ F (ω) ， (n)←⎯ H (ω)，那么 F
对于实序列 f (n) ，它的傅氏变换为共轭对称的，即
F (ω ) = F ∗ (−ω )
时域展宽特性 信号 f (n) 时间上展宽 N 倍的信号 f1 (n)可表示为
⎧ ⎛n⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ f ⎜ ⎟, ⎪ ⎝ ⎟ f1 (n) = ⎨ ⎜ N ⎠ ⎪ ⎪0, ⎪ ⎪ ⎩ n 为 N 的整数倍 其他
= x (m) ∗ y ∗ (−m)
x(n) 和 y(n) 的互相关函数就是 x(n) 与 y(n) 的共轭
对称信号的卷积！
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1.2 离散时间信号与系统的傅里叶分析 1.2.1 复指数信号通过LTI系统的响应
复指数信号 f (n ) = z0n 通过冲激响应为 h(n) 的LTI 离散时间系统，系统响应为
f d (n)
i i i
UESTC 何子述等
i i i
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−1
0
1
2
3
4
n
2. 离散时间信号的分类 根据不同的信号特征可获得多种信号分类方法。 确定信号与随机信号 实信号与复信号 离散时间周期信号与非周期信号 能量信号与功率信号
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1.1.2 离散时间信号的差分和累加
1. 前向差分和后向差分 一阶前向差分 一阶后向差分
f (n) ∗ h (n)←⎯→ F (ω ) H (ω )
时域相乘特性
→ h → 若 f (n)←⎯ F (ω) ， (n)←⎯ H (ω)，那么
1 1 f (n) h(n)←⎯ → ∫ F (β)H (ω − β) dβ = F (ω) ∗ H (ω) 2π 2π 2π
F
F
F
时移与频移特性
F → 若 f (n)←⎯ F (ω) ，那么
f (n − n0 )←⎯→ e− jω n0 F (ω )
F
e jω0 n f (n)←⎯→ F (ω − ω0 )
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F
共轭对称性
F → 若 f (n)←⎯ F (ω)，那么 F f ∗ (n)←⎯→ F ∗ (−ω )
现代数字信号处理及其应用
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1
前 言
数字信号处理（DSP，Digital Signal Processing）： 用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离 散时间信号进行分析、处理。 传统数字信号处理 :
主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里 叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。 现代数字信号处理: 在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统计的思想，用 数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等理论进行研 究，处理的信号通常是离散时间随机过程，且系统可能是时 UESTC 何子述等 2 变、非线性的。
前 言－数字信号处理理论与算法 数字信号处理理论（theory）：
根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学 理论进行严格证明得到的定理等结论。
数字信号处理算法(algorithm)：
为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算 方法或计算技巧。
例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。
y (n ) = M ⎡⎣ f (n)⎤⎦
输入信号
f (n)
输出信号
y (n)
M [i ]
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齐次性 若输入信号 f1 (n ) 的响应为 y1 (n) ，输入 f 2 (n ) = af1 (n ) 的响应为 y2 (n)，且满足 y2 (n) = ay1 (n) 。 可加性 若输入信号 f1 (n ) 的响应为 y1 (n)，输入 f 2 (n )的响应 为 y2 (n) ，输入 f (n) = f1 (n) + f 2 (n) 的响应为 y(n) ，且 满足 y (n) = y1 (n) + y2 (n) 。 同时满足齐次性和可加性的系统为线性系统！
对于LTI离散时间系统，输入信号 f (n) 与输出信 号 y(n) 的映射关系可以用一个线性常系数差分方程 及一组初始条件来描述
N M
∑a y(n − k ) = ∑b f (n −l)
k l k =0 l =0
初始条件为 y(−1), y(−2), , y(−N )，a0 , a2 , , aN , b0 , b2 , , bM
Δ f (n ) ∇f (n ) f (n + 1) − f (n ) f (n ) − f (n − 1)
m 阶前向差分 Δm f (n) Δm−1 f (n +1) −Δm−1 f (n) m 阶后向差分 ∇m f (n) ∇m−1 f (n) − ∇m−1 f (n −1)
UESTC 何子述等 13
f (n ) =
k =− ∞
∑
∞
a k z kn
系统的线性特性
信号 f (n)通过冲激响应为 h(n)的LTI系统的输出信号为
y ( n) =
k =−∞
∑
∞
n ak H ( zk ) zk
如何将离散时间信号表示为复指数信号的线性组合形式？
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1.2.2 离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换
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线性系统
y a 若 y1 (n) = M ⎡⎣ f1 (n)⎤⎦ ，2 (n) = M ⎡⎣ f2 (n)⎤⎦ ， 1和 a 2 是常数，且
f (n) = a1 f1 (n) + a2 f 2 (n)，对于线性系统有
y (n) = M ⎡⎣a1 f1 (n) + a2 f2 (n)⎤⎦ = a1 y1 (n) + a2 y2 (n)
用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理， 如： DSP processor (TI, AD)； FPGA/CPLD；专用器件； 或通用计算机等。
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前 言
本课程特点： 1、基本概念和基本理论讲清楚、讲透； 2、注重理论算法与具体的工程应用相结合； 3、适当介绍近年来发展的新理论新方法； 4、对信号的时域处理理论重点介绍，空域处理理论 集中介绍。
1. 离散时间信号的定义 信号可分为连续时间信号和离散时间信号。 离散时间信号是指信号值仅在某些离散时刻有 定义，而在其他时间无定义的信号。 离散时间信号可以通过对一个连续时间信号在 时间上采样获得。
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f c (t )
i i i
−Ts
i i i
0
Ts
2Ts
3Ts
4Ts
t
fd (n) = fc (nTs )
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对冲激响应为 h(n) 的LTI系统，任一输入信号
f (n) ，可用单位冲激信号 δ ( n ) 表示为
f (n) =
m =−∞
∑
∞
f (m)δ (n − m)
时不变性
线性
系统对 f (n) 的零状态响应可表示为
y (n ) =
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m =−∞
∑
∞
f (m ) h (n − m ) = f (n ) ∗ h (n )
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前 言－本课程主要内容
• 离散时间信号与系统； • 离散时间随机过程； • 功率谱估计与信号频率估计理论； • 维纳滤波理论及自适应算法； • 维纳滤波理论的应用； • 最小二乘估计理论与算法； • 卡尔曼滤波； • 阵列信号处理与空域滤波； • 盲信号处理理论。
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2. 累加 对信号 f (n) ，其累加信号 y(n) 定义为
y ( n)
k =−∞
∑
n
f (k )
累加和差分互为逆运算。 离散时间单位冲激信号 δ (n) 定义为
δ ( n)
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⎧1, ⎪ ⎪ ⎨ ⎪0, ⎪ ⎩
n=0 n≠0
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离散时间单位阶跃信号 u (n) 定义为
u (n)
助教：夏威，廖羽宇
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第1章 离散时间信号与系统
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• 主要内容
1. 离散时间信号的傅立叶分析 2. 离散时间信号的z变换 3. LTI离散时间系统的性能描述 4. 离散时间系统的格型结构 5. 窄带信号的正交解调 6. 多相滤波与信道化处理
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1.1 离散时间信号与系统基础 1.1.1 离散时间信号的定义与分类
时不变系统
叠加原理
f2 若 y1 (n) = M ⎡⎣ f1 (n)⎤⎦ ， (n) = f1 (n − n0 ) ，对时不变系统有
y2 (n) = M ⎡⎣ f1 (n −n0 )⎤⎦ = y1 (n −n0 )
同时满足线性和时不变性的系统为线性时不变系统！
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1.1.4 LTI离散时间系统响应——卷积和
周期为 N 的离散时间信号f (n) ，其傅里叶级数表示为 傅氏级数 ： f (n ) =
1 傅氏系数 ：ak = N
k =< N >
∑
ak e jk ω0 n
f (n ) e− jk ω0 n
f (n) e− jωn
F (ω ) e j ω n d ω
N →∞
n =< N >
∑
∞
傅 里 叶 变 换
⎧1, ⎪ ⎪ ⎨ ⎪0, ⎪ ⎩
累加
n≥0 n<0
单位冲激信号
差分
单位阶跃信号
u ( n) =
k =−∞
∑ δ (k )
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n
δ (n) = u (n) − u (n −1)
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1.1.3 离散时间系统定义及LTI特性
离散时间系统是用于处理、传输离散时间信号 的物理装置，在数学上可表示为输入信号与输出信 号之间的一种映射关系。
前 言 教材：
现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学 出版社
参考资料：
1. Simon Haykin. “Adaptive Filtering Theory”； 2. 张贤达. 《现代信号处理》, 清华大学出版社.
习题：解答题；仿真题 考试：开卷笔试； 考查：完成习题；
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y (n) = f (n) ∗ h(n) =
m=−∞
∑
∞
h(m) f (n − m) = z
H ( z0 )
n 0
m=−∞
∑
∞
− h(m) z0 m
m =−∞
∑
∞
− h ( m ) z0 m
n y (n) = H ( z0 ) z0
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特征值
特征函数
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如果 f (n) 可以表示为复指数信号 z kn 的线性组合，即
UESTC 何子述等 3
前 言－数字信号处理的实现 非实时实现（ not real-time implementation ）：
用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论 和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收 数据进行特征分析，参数提取与估计等。
实时实现（ real-time implementation ）：
傅氏变换 ： F (ω) =
n=−∞
∑
f (n)←⎯ F (ω ) →
F
傅氏逆变换 ： (n) = 1 f
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2π ∫ 2 π
1.2.3 傅里叶变换的性质
线性
F f 若 f1 (n)←⎯→ F1 (ω) ，2 (n)←⎯→ F2 (ω ) ，那么
F
af1 (n ) + bf 2 (n )←⎯→ aF1 (ω ) + bF2 (ω )
N 1 x (n ) y ∗ (n − m ) lim ∑N N →∞ 2 N + 1 n =−
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当 x(n) = y(n)，上述定义的互相关函数变成自相 关函数。 根据卷积的定义，能量信号的相关函数可表示为
rxy (m) =
n =−∞
∑
∞
x (n) y ∗ (n − m) =
n =−∞
∑
∞
x (n) y ∗ ⎡⎣−(m − n)⎤⎦
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均为常数，通常取 a0 =1 。
当系统只有输入信号，初始状态为零时，系统的 响应称为零状态响应。 当系统输入信号为零，初始状态不为零时，系统 的响应称为零输入响应。 系统的单位冲激响应是指当系统输入信号为单位 冲激信号 δ (n) 时的零状态响应，通常用符号 h (n) 表示。