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期望与分布列高考精彩试题精选

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实用文档 文案大全 期望与分布列高考试题精选

一．解答题（共20小题） 1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的

同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜

的概率为，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）． 3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． 实用文档 文案大全 （Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； （Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量（kg） 300 500 概率 0.5 0.5

作物市场价格（元/kg） 6 10 概率 0.4 0.6 （Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； （Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率； （Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望． 6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）． （Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率． （Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分实用文档 文案大全 布列和数学期望． 7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率； （2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值． （i）求日需求量X的分布列； （ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？ 8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉． （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； （2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列． 9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示： 性别 年龄 性别 女性 合计 [18，25） 180 40 220 [25，35） 360 240 600 实用文档 文案大全 [35，50） 40 100 140 [50，80） 20 20 40 合计 600 400 1000 （1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？ （2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率； （3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列． 10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员． （1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率； （2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望． 11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示： 组别 候车时间（单位：min） 人数 一 [0，5） 1 二 [5，10） 5 三 [10，15） 3 四 [15，20） 1 （Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率； （Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望． 12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、实用文档 文案大全 丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示： 中学 甲 乙 丙 丁 人数 30 40 20 10 为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查． （Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？ （Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率； （Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列． 13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为． （1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？ （2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命

中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投． （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望． 15．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响． 实用文档 文案大全 （I）求丙、丁未签约的概率； （II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX． 16．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率； （2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望． 17．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．” （1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率； （2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望． 18．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球． （1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率； （2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和数学期望． 19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列． 20．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响． （Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率； （Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三

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高考中的分布列、期望、方差问题汇编

高考中的分布列、期望、方差问题汇编

几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。

二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。

（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。

四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。

（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。

相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061 （D ）40812.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C. 192625D.2566253.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），1）求至少3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。

高考数学分布列专题及答案

高考数学分布列专题及答案

分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。

（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。

分布列与期望试题

分布列与期望试题

高二理科4月份数学测试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（） A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．3123．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14B ．π8C ．12D ．π44．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字 母顺序相邻的概率为（） A ．51B ．52C ．103D ．107 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(） A.192B.216C.240D.2886．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A ．12种 B ．10种C ．9种D ．8种7．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（） A ．15B ．20C ．30D ．358．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A ．18B ．38C ．58D ．789．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．810．随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则 ( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 1<p 3C.p 1<p 3<p 2 D.p 3<p 1<p 211．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．3412．设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 二、填空题（每题5分，满分20分）13．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P （ξ=0）等于_________.14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.512.15⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x \的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为.16．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.)17．在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，从中任取3件，计算：（1）3件都是一等品的概率（2）2件一等品，1件二等品的概率（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率17．解：从60件产品中任取三件的方法种数为C 360（1） 记“任取3件均是一等品”为事件A ，则A 的结果数是C 330∴P （A ）=597360330=C C（2） 记“任取3件，2件是一等品，1件是二等品”为事件B ，则B 的结果数为C 230·C 120∴ P （B ）=5915·360120230=C C C （3） 记任取3件，一等品、二等品、三等品各有1件为事件C 则C 的结果数为C 130C 120C 110的P （C ）=1711300360110120130=C C C C18．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【解析】(I)由已知，有 所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 19．柴静的《穹顶之下》发布后，各地口罩市场受其影响审议火爆，A 市场虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25％的市民表示会购买口罩，现将频率视为概率，解决下列问题： （1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取4位，X 表示愿意购买口罩的市民人数，求X 的分布列及数学期望.【解析】（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41，从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43．设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ， 故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． （2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．()2568143044=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()1256464312826412560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ， 或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX .20．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）. 故X 的分布列为200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 21.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；22.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？【解析】：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22⑵ 要令(P x ，，0.240.5≥则n 的最小值为19；⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =。

专题3-2 离散型随机变量的分布列及期望超几何分布类-2

专题3-2 离散型随机变量的分布列及期望超几何分布类-2

2018届高考数学大题狂练第三篇 概率与统计专题02离散型随机变量的分布列及期望（超几何分布类）1．北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位： cm ）服从正态分布()2168,4N ．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在160cm 和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)求这50名女生身高不低于172cm 的人数；(2)在这50名女生身高不低于172cm 的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前260名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据： ()2X N μσ～，， ()0.6826,P X μσμσ<≤－＋＝ (22)0.9544P X μσμσ<≤－＋＝，(33)0.9974.P X μσμσ<≤－＋＝【答案】(1) 10人； (2) 见解析.试题解析：(1)由直方图知，后3组频率为()0.020.020.0140.2⨯＋＋＝，人数为0.25010⨯＝，即这50名女生身高不低于172cm 的人数为10人；(2)∵(1683416834)0.9974P X ⨯<≤⨯－＋＝， ∴10.9974(180)0.00132P X ->=＝∴. 0.00131200000260⨯＝，则全市高中女生的身高在180cm 以上的有260人，这50人中180cm 以上的有2人．随机变量X 可取0,1,2，于是()2821028045C p X C ===， ()118221016145C C p X C ===， ()222101245C p X C ===∴()2816120124545455E X =⨯+⨯+⨯= 2．随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：(1)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？可能用到的公式： ()()()()()22,n ad bc k n a b c d a b c d a c b d -==+++++++独立性检验临界值表：【答案】（1）见解析；（2）见解析()23253010C P X C ===； ()113225631105C C P X C ====； ()22251210C P X C ===所以X 的分布列为()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯= （2）2×2列联表如图所示()()2225020128105010024850168003.463 3.841203028222030472113711231k ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯====≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联.3．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个获得利润5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕X 个.以x （单位：个， 100150x ≤≤）表示这天的市场需求量. T （单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.（1）当135x =时，若130X =时获得的利润为1T ， 140X =时获得的利润为2T ，试比较1T 和2T 的大小； （2）当130X =时，根据上表，从利润T 不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天， （ⅰ）求这6天中利润为650元的天数；（ⅱ）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）21T T >；（2）见解析【解析】试题分析：（1）当130X =， 8390,100130,{650,130150.x x T x -≤<=≤≤，当140X =，8420,100140,{700,140150.x x T x -≤<=≤≤，分别代入135x =计算1T 和2T ，即可比较大小；试题解析：（1）当130X =， [)100,130x ∈时， ()531308390T x x x =--=-，[]130,150x ∈时， 5130650T =⨯=.所以8390,100130,{650,130150.x x T x -≤<=≤≤当135x =时， 1650T =（元）.当140X =， [)100,140x ∈时， ()531408420T x x x =--=-， []140,150x ∈时， 5140700T =⨯=.所以8420,100140,{700,140150.x x T x -≤<=≤≤当135x =时， 2660T =（元）.故21T T >.()33361020C P C ξ===， ()2133369120C C P C ξ===， ()1233369220C C P C ξ===， ()33361320C P C ξ===. ∴ξ的分布列为所以()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 4．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求()87P X ≥；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.235；②.答案见解析. 【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76， 88， 93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）．(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以 4842(87035p X C ≥==. ②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4()0444481070C C P C ξ===, ()13444816817035C C P C ξ====,()224448361827035C C P C ξ====, ()31444816837035C C P C ξ====, ()4044481470C C P C ξ===. ξ的分别列为()1818810123427035353570E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 5．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？(2)在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望. 参考公式： ()()()()()()22n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++【答案】（1）见解析；（2）()1E X =所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关． (2)X 可取0，1，2，3.P(X ＝0)＝＝，P(X ＝1)＝＝，P(X ＝2)＝＝，P(X ＝3)＝＝，所以X 的分布列为E (X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.6．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： [)20,30， [)30,40， [)40,50， [)50,60， [)60,70，[)70,80后得到如图所示的频率分布直方图，问：(1)在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； (2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数；(3)若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列和数学期望.【答案】(1)30；(2)平均数为54，中位数为55；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为0.75，由此能求出40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数．（2）利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数．（3）年龄在[)20,30的读书者有2人，年龄在[)30,40的读书者有4人，设年龄在[)30,40的读书者人数为X ，由此能求出恰有1名读书者年龄在[30，40）的概率．250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =. 即40名读书者年龄的中位数为55.(3)年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人，年龄在[)30,40的读书者有0.01010404⨯⨯=人，所以X 的所有可能取值有0，1，2.()2024261015C C P X C ===， ()1124268115C C P X C ===， ()0224266215C C P X C ===， X 的分布列如下：数学期望()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=.。