附--倒立摆简介与模型

北京信息科技大学控制系统计算机辅助设计实践报告学生姓名：薛燕彬学号：170223班级：研1702班院（系）：自动化学专业：控制工程倒立摆实验一、倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

二、倒立摆分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。

现在由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。

因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。

三、倒立摆控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

四、实验题目要求有倒立摆控制系统通过给小车底座施加控制量，保持摆杆直立或使摆杆的摆脚跟踪指定的轨迹。

倒立摆系统如图所示：图1倒立摆模型动态模型为图2动态模型图在此系统中，g=9.8m2/s是重力加速度，M是小车的质量，m是摆杆的质量，l是摆长的一半，u为施加的外力，即控制量。

M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。

X1为输出摆角θ，X2为输出摆角速度θ。

摆角与输入的关系如下图3摆角与输入关系图将M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。

带入图3摆角与输入关系图中的方程式中，并化简可得如下方程式：θ=647sinθ−122θ2cosθsinθ44−3cosθ+6cosθ44−3cosθu（1）五、实验内容本实验采用PID控制器对系统进行控制，其系统结构如下图所示图2 PID控制系统结构图在本次实验中，我们的实验目的就是使倒立摆与地面垂直，保持直立状态，因此，输入的期望目标值r=0，但是，现实世界中倒立摆要受到外界力的干扰，这里将这个外力视为u，PID在有外力的情况下进行对系统的控制，可以通过改变PID参数实现对系统的控制。

倒立摆拉格朗日方程介绍倒立摆是一个经典的动力学系统，在控制理论和机器人控制领域中被广泛研究和应用。

拉格朗日方程是描述这种系统动力学的一种常用方法。

本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日方程及其应用。

倒立摆的定义倒立摆是由一个连杆和一个质量集中在连杆末端的质点组成的系统。

连杆固定在一个支点上，可以绕该支点进行旋转。

连杆的长度、质点质量以及各种外力（例如重力）都会影响倒立摆的运动行为。

摆动方程的推导步骤 1：绘制系统图首先，我们需要绘制出倒立摆的系统图。

图中包括连杆、质点以及外力，如图 1 所示。

步骤 2：确定系统自由度根据系统图，我们可以确定倒立摆的自由度。

在本例中，连杆的旋转角度被选为系统的自由度。

步骤 3：写出动能和势能接下来，我们需要写出系统的动能和势能。

连杆的动能可以表示为其转动惯量和角速度的乘积的平方的一半，而质点的势能则可以表示为其离支点的高度与重力加速度的乘积。

步骤 4：写出拉格朗日方程拉格朗日方程描述了系统的运动方程。

我们将系统的动能和势能相减，并根据连杆的旋转角度对其进行求导，然后运用欧拉-拉格朗日方程得到系统的运动方程。

倒立摆的拉格朗日方程根据以上步骤，倒立摆的拉格朗日方程可以表示为：L=T−V其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。

对于倒立摆的拉格朗日方程，我们可以得到如下表达式：d dt (∂L∂q̇)−∂L∂q=Q其中，q是系统的自由度，q̇是自由度的导数，Q是系统的广义力。

这个方程描述了系统运动的动力学。

倒立摆的应用倒立摆广泛应用于控制理论和机器人控制中。

通过控制倒立摆的力矩或输入力，可以实现倒立摆的平衡或特定轨迹下的运动。

具体应用包括：1.倒立摆控制算法研究：基于拉格朗日方程，可以设计出各种控制算法来控制倒立摆的平衡和运动。

例如，模糊控制、PID 控制、最优控制等方法都可以用于倒立摆的控制研究。

2.机器人姿态控制：倒立摆可以用作机器人姿态控制的模型。

通过控制倒立摆的角度和角速度，可以实现机器人的姿态调整和稳定控制。

二级倒立摆的数学模型推导一、二级倒立摆系统的结构二级倒立摆系统的结构如图1如示，机械部分主要有小车、下摆、上摆、导轨、皮带轮、传动皮带等，控制对象由小车、下摆、上摆组成，电气部分由电机、晶体管直流功率放大器、传感器以及保护电路组成。

图1 二级倒立摆结构示意图二、二级倒立摆的数学模型 （一）假设条件为了简化二级倒立摆的数学模型，作如下假设：1． 小车与导轨间的摩擦力与小车速度成正比；电机摩擦转矩与电机转矩成正比；上、下摆连接处摩擦力矩与二摆相对角速度成正比；下摆与小车连接处摩擦力矩与下摆相对角速度成正比。

2． 整个对象系统除皮带外视为刚体。

3． 皮带伸长忽略不计且传递作用力的延迟忽略不计。

4． 电路系统的传递延迟及功率放大器的非线性忽略不计。

5． 电机电感忽略不计。

6． 检测电位器设为线性的，即设检测信号分别为与r 、1θ、21θθ-成正比的电信号，且假设标定完全准确。

（二）系统参数说明推导中各符号的意义如下：0M ：小车、皮带、电机转子、皮带轮归算到小车运动上的等效质量； 1M ：下摆质量； 2M ：上摆质量；1J ：下摆转动惯量； 2J ：上摆转动惯量；r ：小车位移；1θ：下摆角位移；2θ：上摆角位移；1L ：下摆全长（轴心到轴心）； 1l ：下摆质心与小车——下摆连接轴心距离； 2l ：上摆质心与上摆——下摆连接轴心距离；'0F ：小车与导轨间摩擦力，电机机械摩擦转矩，皮带轮摩擦转矩归算到小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力：'00f F r =⋅1F ：下摆与小车摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：111T F θ=⋅2F ：上、下摆间摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：2221()T F θθ=⋅-P ：电机提供的控制力；U ：电机外加电压即功率放大器输出电压； E ：电机反电势； I ：电机电流；R ：电机等效电阻；i R ：功率放大器等效输出电阻；d ：皮带轮直径；θ：电机转速（/rad s ）；n 电机转速(转/分)；K ：功率放大器电压增益 ；e K ：电势系数； t K ：转矩系数；e ：功率放大器的输入电压；参阅相关资料后，对各参数的取如下值：0M =1.328kg ，1M =0.220kg ，2M =0.187kg ，1J =0.004962kg m ⋅，2J =0.004822kg m ⋅，1L =0.490m ，1l =0.304m ，2l =0.226m ，'0F =22.947kg/s ，1F =0.00705/kg m s ⋅，2F =0.00264/kg m s ⋅，R =8.550Ω，i R =1.252Ω，d =0.130m ，K =8.000，t K =0.946/N m A ⋅（三）数学模型推导 此处少图3-2（P7）图3-2中，'i i f f =(1,2)i =小车在y 方向上无运动，小车受导轨垂直方向力示标出，推导中iy f ，ir f (1,2)i =分别表示i f 在y ，r 方向的分力。

一、直线一级倒立摆系统的数学模型1、倒立摆系统是一种复杂的非线性系统，为了简化对系统的反洗，在建立数学模型的过程中，作以下假设：1.）小车、摆杆在运动过程中都是不变得刚体；2.）皮带轮与传动带之间没有相对滑动，皮带不能拉伸变长，传动带没有抖振以及伸长的现象；3.）交流伺服电机的输入和输出之间是纯线性的关系；而且忽略不计电机的电枢绕组中的电感等动态特性；4.）将整个系统运行中的摩擦、各种阻力及机械传动间隙等不确定性忽略不计。

通过上述假设，则可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和均质敢组成的系统，如图1.1所示。

图1.1倒立摆系统2、各参数符号含义如下：符号含义单位数值M 小车质量kg 1.096m 摆杆质量kg 0,109b 小车摩擦系数N/m/sec 0.1l 摆杆转动轴心到杆质心的长度m 0.25I 摆杆转动惯性Kg*m²0.0034g 重力加速度N/kg 9.8x 小车的水平位置mθ摆角大小radN 小车对摆杆水平方向作用力NP 小车对摆杆竖直方向作用力NF 电动机经传动机构给小车的力Nφ摆杆与垂直向上方向的夹角rad3、采用牛顿--欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

图1.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

(a)小车的受力分析 (b)摆杆受力分析图1.2小车与摆杆的受力分析对小车水平方向所受的力进行受力分析，可以得到方程：N x b F x M --=⋅⋅⋅ 式（1.1）对摆杆水平方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到等式：θθθθsin cos 2⋅⋅⋅⋅⋅-==ml ml x m N 式（1.2）将式（1.2）带入式（1.1）中，可以得到系统的第一个运动方程：θθθθsin cos )(2⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+++=ml ml x b x m M F 式（1.3）对摆杆垂直方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到下面等式：θθθθcos sin 2⋅⋅⋅--=ml ml mg P 式（1.4）力矩平衡方程如下：⋅⋅=--θθθI Nl Pl cos sin 式（1.5）将有关P 和N 的等式代入式（1.5）中，得到系统的第二个运动方程：θθθcos sin )(2⋅⋅⋅⋅-=++x ml mgl ml I 式（1.6）假设φ与1(单位弧度)相比很小，即φ<<1，并设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向的夹角)，可以作近似处理：φθθθ-=-==⎪⎭⎫⎝⎛s i n ,1c o s,02dt d 式（1.7）将被控对象的输入力F 用u 来表示，可以得到两个线性化后运动方程，如下 所示：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u m l x b x m M x m l m glm l I φφφ)()(2式（1.8）对方程组式（1.8）进行拉氏变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 式（1.9）假设初始条件为零，对上述方程组的第一个方程求解，可得：)()()(22s s g ml ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 式（1.10）将式(1.10)代入方程组式(1.9)中的第二个方程，可得：222222)()()()()()()(s s ml s s s g ml ml I b s s s g ml ml I m M s U Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++= 式（1.11）整理，可以得到摆角的传递函数为：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s sqm l s U s -+-++=Φ23242)()()()( 式（1.12）式中：]))([(222l m ml I m M q -++=将倒立摆的实际参数值代入上式，得到摆角的传递函数为：ss s s s s U s 3141.28853.270883.03566.2)()(2342-++=Φ 式（1.13）同理，可以得到小车位置的传递函数：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s qm gls q m l I s U s X -+-++-+=23242)()()()()( 式（1.14）将实际的参数值代入，得到小车位置的传递函数为：s s s s s s U s X 3141.28853.270883.01413.238832.0)()(2342--+-= 式（1.15）在方程组（1.8）中对⋅⋅x 、⋅⋅φ求解代数方程，得到解如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u Mm l m M I m l Mm l m M I m M m gl x Mm l m M I m lb u Mm l m M I m l I Mm l m M I gl m x Mm l m M I b m l I x xx 2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ 式（1.16）设系统状态空间方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⋅Du Cx y Bu Ax x 式（1.17）整理式（1.16），得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I bml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222222222)(0)()(00)()()(010000)()()(00010φφφφ 式（1.18）u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.19）将已知的M 、m 、b 、g 、l 、I 代入式（1.18）可得状态方程u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3566.208832.0008285.272357.00100006293.00883.000010φφφφ 式（1.20）输出方程u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.21）。