正弦函数和余弦函数的性质（2）
上音安师附中 李少保
上海市市北中学 余 化
一、教学内容分析
正余弦函数的性质（值域、最大（小）值、周期性、奇偶性、单调性）是继学生学习了正余弦函数的图像后的重要内容.是深入学习后继数学知识及解决实际问题的基本工具.尤其是三角函数的周期性在物理学中、科技生产中有着广泛的应用.在本节学习中，涉及到 数形结合、类比、换元、化归等数学思想方法.通过解决有关实际问题，充分显示了三角函数来源于实践需要，同时又广泛应用于客观实际.
本单元重点掌握正（余）弦函数的值域；正（余）弦函数取得最大小值时的自变量的取值集合.理解函数周期性定义，会求一般正（余）弦函数的周期.掌握正（余）弦函数的奇偶性及单调区间.会用正（余）弦函数的性质解决简单的实际问题.
二、教学目标设计
（1）掌握正（余）弦函数的值域（有界性）.
（2）掌握正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.
（3）会用正（余）弦函数的值域（有界性）解决相关实际应用问题.
三、教学重点及难点
正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
五、教学流程设计
正弦函数图像 正弦函数值域
正弦函数取最大值时x的取值集合 应用举例
六、教学过程设计
正弦函数和余弦函数的值域 一、 情景引入
1．观察
在上节课中，我们探讨了正余弦函数的图像.请同学们观察图像.
2．思考
正余弦函数的值域是什么值域的涵义是什么
3．讨论：
回忆正弦函数图像的作图过程.结合正弦线的长度变化情况易得
1sinx
二、学习新课
1．概念辨析 y=sinx 的值域是［-1，1］
1maxy 当且仅当Zkkxx,22
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
一、正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．
2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[内的图象，再通过平移得到xysin和cosyx的图象．
3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定正弦函数xysin在]2,0[上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(
【注意】
（1）若xR，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[上的图象，然后通过左、右平移可得到xysin和cosyx的图象．
（2）由诱导公式cossin()2yxx，故cosyx的图象也可以将xysin的图象上所有点向左平移2个单位长度得到．
二、正（余）弦函数的图象
函数
y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0),3π(,1)2,(2,0) (0,1),π(,0)2,(,1),3π(,0)2,(2,1)
正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线
三、用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
题型一 五点法作三角函数的图象
【例1】用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．30,,,,222
B． 30,,,,424
C．0,,2,3,4
D．20,,,,6323
【答案】B
【解析】由“五点法”作图知：令2x＝0，2，π，32，2π，
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1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时 余弦函数的图象与性质
基础知识 基本能力
1．掌握“五点法”作余弦函数的图象．(重点)
2．理解余弦函数的性质．(重点、难点) 1．会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)
2．能正确使用“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点、易错点)
1．余弦函数的图象
(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线．
(2)余弦曲线．
除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：
①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．
②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．
【自主测试1】画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．
解：列表：
x 0 π2 π 3π2 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－cos x －1 0
1 0 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
2．余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1,1]
奇偶性 偶函数 周期 2π
单调性 在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数；在每一个闭区间[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)上都是增函数
最大值与
最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y＝cos x取得最大值1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y＝cos x取得最小值－1
名师点拨一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．
