(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程学案

1 §9.1 直线的方程

最新考纲 考情考向分析

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1. 2 3．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0

斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1

(y1≠y2)

截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √

)

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(

× )

(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )

(4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × )

(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )

(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )

题组二 教材改编

2．[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

答案 A

解析 由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.

3．[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．

答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0

解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，

则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.

3 题组三 易错自纠

4．(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A.0，π4 B.3π4，π

C.0，π4∪π2，π D.π4，π2∪3π4，π

答案 B

解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，

又－1≤－1a2＋1<0，

所以倾斜角的取值范围是3π4，π.

5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案 C

解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________．

答案 x－2y＋2＝0或x＝2

解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；

②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；

③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.

综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2. 4

题型一 直线的倾斜角与斜率

典例 (1)直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是 (

)

A.π6，π3 B.π4，π3

C.π4，π2 D.π4，2π3

答案 B

解析 直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

因为α∈π6，π3，所以12≤cos α≤32，

因此k＝2cos α∈[1，3 ]．

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3 ]．

又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，

即倾斜角的取值范围是π4，π3.

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为___________________．

答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析 如图，

∵kAP＝1－02－1＝1，

kBP＝3－00－1＝－3，

∴k∈(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)． 5 引申探究

1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，

∴kAP＝1－02－－1＝13，

kBP＝3－00－－1＝3.

如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.

2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．

解 如图，

直线PA的倾斜角为45°，

直线PB的倾斜角为135°，

由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．

思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．

跟踪训练 已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )

A．150° B．135° C．120° D．不存在

答案 A

解析 由y＝2－x2，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

6 显然直线l的斜率存在，

设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，

则圆心到此直线的距离d＝|－2k|1＋k2，

弦长|AB|＝22－|－2k|1＋k22＝22－2k21＋k2，

所以S△AOB＝12×|－2k|1＋k2×22－2k21＋k2≤2k2＋2－2k221＋k2＝1，

当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝13时等号成立，

由图可得k＝－33k＝33舍去，

故直线l的倾斜角为150°.

题型二 求直线的方程

典例 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程；

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．

解 (1)设所求直线的斜率为k，

依题意k＝－4×13＝－43.

又直线经过点A(1,3)，

因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，

即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

跟踪训练 根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； 7 (2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5. 8 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝1010(0

从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.

故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.

若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，

∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，

∵l过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，

∴a＝5，

∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋(10－5k)＝0.

由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.