初一数学竞赛培训：有理数及其性质

初一数学有理数的定义

初一数学有理数是什么意思

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

判断有理数的方法

凡能写成q/p（p,q为整数且p≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；圆周率(3.1415926……)不是有理数。

有理数比大小

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数>0，小数-大数<0。

初中数学竞赛专题2——有理数

1.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、不等式、绝对值、完全平方式、选择题）

【标准答案】1#0#1#4#B

若有理数a，b，c满足 a+b+c=0，abc=2，c>0，则 （ ）

A.ab<0 B. a + b ≥2

C. a + b ≥4 D.0≤ a + b ≤1

【分析】由题意知，a+b=-c ,且ab= 2c ＞0， 由于(a−b)2+4ab=(a+b)2, 因为(a−b)2≥0，所以4ab≤(a+b)2，即 8c≤c2,c≥2，因为a、b同号，所以|a|+|b|=c≥2，故选B.

【答案】B

【技巧】本题关键在于运用完全平方式的非负性建立不等式，再根据不等式的性质解题.

【易错点】在运用不等式性质的时候若不注意符号问题就容易出错.

2. （1）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、选择题）

【标准答案】2#0#1#4#A

已知a=−1999×1999−19991998×1998+1998,b=−2000×2000−20001999×1999+1999,c=−2001×2001−20012000×2000+2000，则abc的值等于( )

A. -1 B. 3 C. -3 D. 1

【分析】因为a=−1999×1999−19991998×1998+1998=−1999×(1999−1)1998×(1998+1)=−1，同理可求得b=−1,c=−1. 所以abc=−1.

【答案】A

【技巧】观察分析，提公因式法求值计算.

【易错点】若直接计算容易因数值太大而计算出错.

有理数知识点整理

有理数是数学中的一种数形集合，是可以用整数或者整数的比来表示的数。有理数的主要性质是可以进行加减乘除等基本运算。下面是对有理数的知识点进行整理。

一、有理数的定义和表示方法

有理数是可以表示成分数的数，可以用整数或整数的比来表示。

二、有理数的基本运算

1.有理数的加法

对于任意两个有理数a和b，它们的加法运算为a+b=c，其中c也是一个有理数。

5.有理数的整除性

如果在有理数a和b中，b整除a且b不等于0，则可以表示为a=n×b。

6.有理数的商的整除性

如果有理数a÷b是有理数q，而q也可以表示为q=m/n，则有a=nq=bm。这种情况称为有理数的商的整除性。

三、有理数的大小比较

两个有理数相等的充分必要条件是它们的差为0。

四、有理数的绝对值

有理数a的绝对值记作|a|，表示a到0的距离。

六、有理数的倒数

有理数a的倒数记作1/a或a-1，表示a的倒数是1/a，其中a不等于0。

七、有理数的基本性质

1.有理数的加法、减法、乘法和除法都满足结合律、交换律和分配律。

2.对于任意的有理数a，有加数等于减去它的相反数，即a+a'=0。

3.对于任意的有理数a和b，有乘数等于被除以它的倒数，即a×1/a=1。

4.有理数的加法和乘法满足可逆性。 八、有理数的比值

有理数a和b之间的比a:b可以表示为a÷b或a/b。

九、有理数的平方根

有理数a的平方根是一个有理数b，当b^2=a时，也就是说b是满足b×b=a的正有理数。

总之，有理数是数学中的一个重要概念，掌握有理数的定义、表示方法、基本运算、大小比较、绝对值、相反数和倒数等知识点，对于学好数学有很大的帮助。

深入理解初中数学有理数的性质与运算

有理数是数学中重要的概念之一，它包括整数和分数两部分。在初中数学教学中，深入理解有理数的性质与运算是建立数学思维和解决实际问题的基础。本文将围绕有理数的性质和运算，展开深入的探讨。

一、有理数的性质

有理数具有以下几个重要的性质：

1. 密度性：有理数集合中，任意两个不相等的有理数之间，总存在其他的有理数。

2. 有界性：有理数集合在数轴上是有界的，即存在两个有理数作为上界和下界，使得集合中的所有有理数都在这个区间内。

3. 闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法运算结果仍然是有理数。

4. 唯一性：对于任意一个有理数，唯一确定了它的分子和分母。

5. 相反数性质：有理数a的相反数为-b，满足a + b = 0。

有理数的性质是深入理解和应用有理数的基础，通过这些性质可以方便地进行有理数的运算和比较。

二、有理数的四则运算

有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，下面对每种运算进行详细说明： 1. 加法：有理数的加法遵循交换律、结合律和零元素性质。对于有理数a和b，a + b = b + a，并且满足(a + b) + c = a + (b + c)。同时，对于任意有理数a，存在0使得a + 0 = a。

2. 减法：减法是加法的逆运算，有理数a减去有理数b等于a加上b的相反数，即a - b = a + (-b)。

3. 乘法：有理数的乘法遵循交换律、结合律和单位元素性质。对于有理数a和b，a × b = b × a，并且满足(a × b) × c = a × (b × c)。同时，对于任意非零有理数a，存在1使得a × 1 = a。

4. 除法：除法是乘法的逆运算，有理数a除以有理数b等于a乘上b的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。

通过四则运算，我们可以进行复杂的计算和解决实际问题。在进行运算时，需要注意乘法和除法的计算顺序，并且在有必要的情况下，使用括号来改变计算顺序。