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作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学反思

铅垂高

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

B C 铅垂高

水平宽 h

图1 C B

A O y

x D B

A O y

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

解：（1）B（1，3）

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, 3），得33a，因此232333yxx

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.所以33,320.233kkbkbb解得，因此直线AB为32333yx，当x=－1时，33y，因此点C的坐标为（－1，3/3）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

2221()()21323323323333333223193228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx

当x=－12时，△PAB的面积的最大值为938，此时13,24P.

例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21xay把A（3,0）代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy设直线AB的解析式为：bkxy2由3221xxy求得B点的坐标为)3,0( 把)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中解得：3,1bk所以32xy

(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝232321CABS(平方单位)

(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则xxxxxyyh3)3()32(2221由S△PAB=89S△CAB得389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将23x代入3221xxy中，解得P点坐标为)415,23(

例3．（2015江津）如图，抛物线cbxxy2与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2yxbxc中得10930bcbc＝∴23bc

∴抛物线解析式为：223yxx

(2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称

∴直线BC与1x的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵223yxx

∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：3yx Q点坐标即为13xyx的解

∴12xy∴Q(－1，2)

（3）答：存在。理由如下：

设P点2(23) (30)xxxx，∵92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形图-2 x C

O y

A B

(3)xyABCPEOxyABCQO(2)有最大值，则BPCS就最大，∴BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形＝11()22BEPEOEPEOC

＝2211(3)(23)()(233)22xxxxxx＝233927()2228x

当32x时，BPCOS四边形最大值＝92728 ∴BPCS最大＝9279272828

当32x时，215234xx∴点P坐标为315( )24，

同学们可以做以下练习：

州）已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 1．（2015浙江湖（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；

（2）若P，A两点在抛物线y=－43x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

图① 图②

3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于A、B

两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，

点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误!未找到引用源。C，那么是否存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解：（1）将B、C两点的坐标代入得错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

图11

解得：错误!未找到引用源。所以二次函数的表达式为：错误!未找到引用源。

（2）存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形．设P点坐标为（x，错误!未找到引用源。），PP错误!未找到引用源。交CO于E若四边形POP错误!未找到引用源。C是菱形，则有PC＝PO．

连结PP错误!未找到引用源。则PE⊥CO于E，∴OE=EC=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。．

∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）

（3）过点P作错误!未找到引用源。轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，错误!未找到引用源。），易得，直线BC的解析式为错误!未找到引用源。则Q点的坐标为（x，x－3）.

错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

当错误!未找到引用源。时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为错误!未找到引用源。，四边形ABPC的面积错误!未找到引用源。．

25．（2015绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

(完整版)作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法

1 作三角形铅锤高是解决三角形面积问题

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

例1．（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

解：（1）B（1，3）

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, 3），得33a，因此232333yxx

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D. B C 铅垂高

水平宽 h

图1 C B

A O y

x D B

A O y

2 2221()()21323323323333333223193228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx

当x=－12时，△PAB的面积的最大值为938，此时13,24P.

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

求三角形面积往往用公式12Sah或1sin2SabC进行计算。在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2

作法：

1、作铅直线PM交线段AB于点M；

2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：

如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①

如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。②

理解：

我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或 (h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（yP－yM），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（xB－xA），即

S△=12×（yP－yM）×（xB－xA）。我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：

例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x2+2x+3；

（2）过点M作MC⊥x轴交直线AB于点C。设M（t，－t2+2t+3），则C（t，－t+3）。∵A（3，0），B（0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224St。当32t时，S有最大值274，此时M（33,22）。

铅锤高求三角形面积法

(完好版)铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法

------------ 二次函数教课反思

近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形

面积问题的一个好方法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类

方法现总结以下：如图 1，过△ ABC的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的

距离叫△ ABC的“水平宽” ( a) ，中间的这条直线在△ ABC内部线段的长度叫△ ABC的“铅垂高 ( h) ” . 我们

可得出一种计算三角形面积的新方法： S ABC 1 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 .

y y

铅垂高 B B

C D

水平宽

x A

O x

图 1

例 1．（2013 深圳）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA，将线段 OA 绕原点

O 顺时针旋转 120°，获得线段 OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的分析式；

（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不

存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最

大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.

解：（ 1）B（ 1， 3 ）

（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B（ 1, 3 ），得 a 3 ，所以 y 3 x2 2 3 x

用铅垂高法计算三角形的面积

广东省东莞市东华初级中学刘学斌　

在计算一些不规则的三角形的面积时，往往很难确定它的　

底和高。本文通过把三角形的面积公式作进一步的延伸和拓展，　

得出了一个新的求三角形的面积方法，对于求这类不规则的三　

角形的面积有很好的作用。　

一、知识引入　

如图ｌ，过ＡＡＢＣ的三个顶点分别作出与水平线垂直的三　

条直线，外侧两条直线之间的距离叫ＡＡＢＣ的“水平宽”㈨，中　

间的这条直线在ＡＡＢＣ内部线段的长度叫ＡＡＢＣ的“铅垂高　

（　）”。我们可得出一种计算三角形面积的新方法：Ｓ△Ａ　１　ｏｈ，即　

三角形面积等于水平宽与铅垂高乘　

积的一半。证明如下：　

ｓ　｜ｓ△＾　ｓ　１　＋　

＝争　（。－＋　）＝争　

图１　ｆ０，３）可以求出直线ＡＢ的解析式，所以点　ｌ，２），ＣＤ＝２　

１　１　ｓ△Ａ　｝ＯＡ‘ＣＤ＝÷×３×２＝３　二　【小结】通过上面两个例题可以看出计算一些不规则三角形　

的面积，常规的方法是割补法，这种方法显然是比较麻烦的，计　

算量大，用铅垂高的方法简单计算方便，不容易出错。　

【例２】如图５：已知抛物线，，＝嬲ｚ＋６　＋３（ａ≠０）与轴交于点Ａ　（１，０１和点Ｂ（一３，ｏ１，与Ｙ轴交于点ｃ。若点Ｅ为第二象限抛物线　

上一动点，连接ＢＥ、ＣＥ，求四边形　

ＢＯＣＥ面积的最大值，并求此时Ｅ点　

的坐标。　解：（铅垂高法）　

Ｃ　过点Ｅ作ＥＦ上　轴于点Ｆ，连　

接ＢＣ，与ＥＦ相交于点Ｐ　

由点Ｂ（一３，ｏ１和点Ｃ（０，３）可求出　

直线ＢＣ的解析式为　

直线之间的距离叫做ＡＡＢＣ的“水平宽（ｎ），过点Ｂ的直线与鲋　与　的延长线之间线段的长度叫ＡＡＢＣ的“铅垂高ＢＤ（Ａ），同　

样ｓ“　１　。证明如下：　

Ｓ￣Ｂｃ＝Ｓ△　ｃ　ｓ　。－２１　ｈ。－一｝　ｎ２　

＝　）＝　

稠茎嘉　Ｌ　利用三角形面积等于水平宽与铅垂　函　

高乘积的一半的方法去求三角形的面积会有三种方法，这三种方　

法中的铅垂高有一种是在三角形的里面，有两种是在三角形的外　

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(完整版)作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

铅锤高求三角形面积法

用铅垂高法计算三角形的面积

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