水平宽铅垂高求三角形面积

水平宽铅垂高求三角形面积Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.°，三点点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.图1解：（1）B （1，3）（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,3），得3a =，因此2323y x x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以33,20.23k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为323y x =+，当x =－1时，3y =，因此点C 的坐标为（－1，3/3）. （4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化图-2xCOy ABD1 1简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。

理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)（3）答：存在。

理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，同学们可以做以下练习：1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（，）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－43x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 图①图②3.(2015年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点， 点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POPC ，那么是否存在点P ，使四边形POPC 为菱形若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.解：（1）将B、C两点的坐标代入得图11解得：所以二次函数的表达式为：（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC==．∴=解得=，=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC 的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.=当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B （2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大并求出最大面积．【解析】（1）由题意，得⎩⎨⎧=++=+-,0424,04416b a b a 解得21-=a ，b=－1．所以抛物线的解析式为4212+--=x x y ，顶点D 的坐标为（－1，29）．（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH+CH 最小，即最小为 DH+CH=DH+HB=BD=132322=+DM BM ．而25)429(122=-+=CD ．∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH=21335+．设直线BD 的解析式为y=k1x+b ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得231-=k ，b1=3． 所以直线BD 的解析式为y=23-x+3．由于BC=25，CE=BC ∕2=5，Rt △CEG ∽△COB ，得CE:CO=CG:CB ，所以CG=，GO=．G （0，）．同理可求得直线EF 的解析式为y=21x+23．联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （43，815）．（3）如图所示，设K （t ，4212+--t t ），xF ＜t ＜xE ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．则KN=yK －yN=4212+--t t －（21t+23）=2523212+--t t ．所以S △EFK=S △KFN+S △KNE=21KN （t+3）+21KN （1－t ）=2KN=－t 2－3t+5=－（t+23）2+429． 即当t=－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835）．平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1．有一边在坐标轴上：例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求△ABC的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.2．有一边与坐标轴平行：例2：如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.3．三边均不与坐标轴平行：例3：分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.4．三角形面积公式的推广：过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出1ah一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例4：已知：直线l1：y=﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：y=x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C．(Ⅰ)建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；(Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积．5．巩固练习：（1）已知：如图，直线bkxy+=与反比例函数'kyx=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（Ⅰ）试确定反比例函数的关系式；（Ⅱ）求△AOC的面积．（2）如图，在直角坐标平面内，函数myx=（0x>，m是常数）的图象经过(14)A，，()B a b，，其中1a>．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．若ABD△的面积为4，求点B的坐标；（3）已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（Ⅰ）求三角形ABC的面积S△ABC；（Ⅱ）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（Ⅲ）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．。