浙江省绍兴市绍兴县鉴湖中学高考数学模拟试卷 理(含解析)

浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件3．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣14．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．5．（5分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜06．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π7．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P 是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2 B．2C．1+D．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设，若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是（）A．﹣5≤k≤﹣4 B．﹣4≤k≤﹣3 C．﹣5≤k≤﹣3 D．k=﹣4二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在时的值域是；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数a的最小值为．10．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．11．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有条．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=；不等式f（f（x））≤3的解集为．（4分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且13．的值是．14．（4分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于．15．（4分）设f为R+→R+的函数，对任意x∈R+，f（3x）=3f（x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，A={a|f（a）=f，a∈R），则集合A中的最小元素是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．18．（15分）设数列{a n}，{b n}，已知a1=3，b1=5，，，（n∈N*）．（1）求数列{b n﹣a n}的通项公式；（2）求证：对任意n∈N*，a n+b n为定值；（3）设S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈，求实数p的取值范围．19．（15分）已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）．（1）若点B，C关于原点对称，且直线AB，AC的斜率乘积为，求椭圆方程；（2）若三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为，求实数a的值．20．（14分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围；（2）若x1、x2∈且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设，对于任意x1、x2∈上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（2β﹣α）成立，求λ的取值范围．浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先化简集合M，再计算M∩（C U N）．解答：解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：B．点评：本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单．2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先求出条件q和¬q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴¬q：0≤x≤1．∴p是¬q成立必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对于条件q，要先解出不等式成立的等价条件，然后再求¬q，否则容易出错．3．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．4．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意可求得直线PF1的方程为：y=（x+c），△MF1O为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF1F2的中位线，从而可求得|PF1|与|PF2|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意，直线PF1的方程为：y=（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），∵M为线段PF1的中点，∴=0，m=．∴x0=c，∴y0=（x0+c）=c，m=c．∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°，∴|MF1|=2|OM|=2m=c；又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，∴|PF1|=c，|PF2|=c，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=c，∴其离心率e==．故选D．点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义，求得|PF1|与|PF2|是关键，考查作图、分析、与运算能力，属于中档题．5．（5分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜0考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：要使f（x）在R上有四个单调区间，显然在x＞0时，f（x）有两个单调区间，x＜0时有两个单调区间，从而可得出a，b，c需满足．解答：解：x＞0时，f（x）=ax2+bx+c；此时，f（x）应该有两个单调区间；∴对称轴x=；∴x＜0时，f（x）=ax2﹣bx+c，对称轴x=；∴此时f（x）有两个单调区间；∴当时，f（x）有四个单调区间．故选C．点评：考查二次函数的单调性及单调区间，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的对称轴．6．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π考点：函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．解答：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴=6π．故选A．点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．7．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P 是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2 B．2C．1+D．考点：向量的模．专题：转化思想；平面向量及应用．分析：将问题转化为求平面内两点间的距离最大问题：以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，设∠ACO=θ，B（x，y），求出O、C两点间的最大距离即可．解答：解：以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图所示；∵+=，∴|+|=||，又∵AC=BC=2，AB=2，∴△ABC是Rt△；设∠ACO=θ，B（x，y），则：x=ACcosθ+CBsinθ=2cosθ+2sinθ，y=BCcosθ=2cosθ；∴x2+y2=4cos2θ+8sinθcosθ+4sin2θ+4cos2θ=2cos2θ+4sin2θ+6=2sin（2θ+φ）+6，当sin（2θ+φ）=1时，x2+y2最大，为2+6，此时||的值最大，为1+．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，解题时应根据题意，建立适当的坐标系，利用两点间的距离公式进行计算，是综合性题目．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设，若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是（）A．﹣5≤k≤﹣4 B．﹣4≤k≤﹣3 C．﹣5≤k≤﹣3 D．k=﹣4考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：若c5=a5，则b6≥a5，a5＞b5，b6≥a5，由此推导出﹣5≤k＜﹣4；若c5=b5，则b5≥a5，b5≥a5，a4≥b5，由此推导出﹣5≤k≤﹣3．由此能求出实数k的取值范围解答：解：若c5=a5，则a5＞b5，则前面不会有b n的项，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b i（i=1，2，3，4）＜b5＜a5＜a i（i=1，2，3，4），∵a n递减，∴当n≥6时，必有c n≠a n，即c n=b n，此时应有b6≥a5，∴a5＞b5，即20＞5+k，得k＜﹣4，b6≥a5，即6+k≥1，得k≥﹣5，∴﹣5≤k＜﹣4．若c5=b5，则b5≥a5，同理，前面不能有b n项，即a4≥b5＞b4，当n≥6时，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b n＞b5≥a5＞a n（n≥6），∴当n≥6时，c n=b n．由b5≥a5，即5+k≥1，得，k≥﹣4，由a4≥b5，得2≥5+k，得k≤﹣3，即﹣4≤k≤﹣3．综上得，﹣5≤k≤﹣3．∴实数k的取值范围是．故选：C点评：本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在时的值域是；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数a的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．解答：解：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵，∴2x∈，2x﹣∈，sin（2x﹣）∈，sin（2x﹣）∈，故函数f（x）的值域为，若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到：y=sin=sin（2x+2a﹣），若此时函数恰好关于直线对称，则2×+2a﹣=+kπ，即2a=+kπ，a=+，k∈Z，故当k=0时，实数a的最小值为，故答案为：；点评：本题主要考查三角函数值域以及三角函数图象平移的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．10．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100cm3，表面积是（）cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为长方体砍去一个三棱锥，根据三视图的数据求出长方体的棱长、三棱锥的高和底面上的边长，代入体积公式和面积公式计算即可．解答：解：由三视图可得，原几何体为：一个长宽高分别为6cm、3cm、6cm的长方体砍去一个三棱锥，且三棱锥的底面为直角边分别为3cm、4cm直角三角形，高为4cm，如图：∴该几何体的体积V=3×6×6﹣=108﹣8=100（cm3），表面积S=2（6×3×2+6×6）﹣（3×4×2+4×4）+=（cm2）．故答案为：100cm3；（）cm2．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．11．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有3条．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求得双曲线方程，求弦长为4时可先寻找临界的直线，一条平行x轴，一条垂直x轴．解答：解：由双曲线与椭圆有相同的焦点，可设双曲线的方程为，以为其一条渐近线，所以，①6=a2+b2②，由①②解得：a2=4，b2=2．所以双曲线的方程为；右焦点坐标为（），当过右焦点的直系垂直x轴时，代入双曲线方程得y=，即弦长为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．故答案为：；3点评：本题主要考查双曲线方程得求解方法和求定长的弦长的个数，属于中档题，在选择题填空题中常涉及．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=0；不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，]．考点：分段函数的应用；函数的值．专题：不等式的解法及应用．分析：根据分段函数的表达式进行求解即可．解答：解：由分段函数得f（﹣2）=4﹣4=0，则f（f（﹣2））=f（0）=﹣0=0，设t=f（x），则不等式f（f（x））≤3等价为f（t）≤3，由图象知t≥﹣3，即f（x）≥﹣3，若x≥0，由﹣x2≥﹣3得x2≤3，解得0≤x≤，若x＜0，2x+x2≥3，得x2+2x﹣3≥0，解得x≥1或x≤﹣3，此时x＜0，综上x≤，即不等式的解集为（﹣∞，]，故答案为：0；点评：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法是解决本题的关键．（4分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且13．的值是1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．解答：解：∵，∴O为BC的中点，又O为三角形的外心，∴三角形是以角A为直角的直角三角形，∴OA=1，AB=，可得CA=1，CB=2，∠BCA=60°，∴===1．故答案为：1．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查直角三角形中的边角关系，是基础题．14．（4分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于85．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据a1+b1=5，a1，b1∈N*，故可知a1，b1有1和4，2和3，3和2，4和1四种可能，又知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，即可求出c1，再根据等差数列的求和公式即可求出数列{c n}的前10项和．解答：解：∵a1+b1=5，a1，b1∈N*，∴a1，b1有1和4，2和3，3和2，4和1四种可能，当a1，b1为1和4的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a1，b1为2和3的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为4和1的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a1，b1为3和2的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；故数列{c n}的前10项和等于85，故答案为85．点评：本题主要考查数列求和和等差数列的性质的知识点，解答本题的关键是对a1+b1=5进行四种可能分类，本题比较简单．15．（4分）设f为R+→R+的函数，对任意x∈R+，f（3x）=3f（x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，A={a|f（a）=f，a∈R），则集合A中的最小元素是406．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用；集合．分析：依条件得f（x）=，讨论当3≤x≤6时，令t=，则1≤t≤2，由条件可得f（x）（2＜x≤6）的解析式，依此类推可得6＜x≤18，…，1458＜x≤4374的解析式，求得f的值，推理判断即可得到所求a的最小值．解答：解：依条件得f（x）=当3≤x≤6时，令t=，则1≤t≤2，此时f（x）=f（3t）=3f（t）=3（t﹣1）=x﹣3，即得f（x）=|x﹣3|，2＜x≤6．当6＜x≤18时，令t=，则2＜t≤6，于是f（x）=f（3t）=3f（t）=3|t﹣3|=|x﹣9|，依此类推可得f（x）=|x﹣1|，1≤x≤2，f（x）=|x﹣3|，2＜x≤6，f（x）=|x﹣9|，6＜x≤18，f（x）=|x﹣27|，18＜x≤54，f（x）=|x﹣81|，54＜x≤162，f（x）=|x﹣243|，162＜x≤486，f（x）=|x﹣729|，486＜x≤58，f（x）=|x﹣2187|，1458＜x≤4374，∴f=2178﹣2015=163，由于162﹣81＜163，486﹣243＞163，而243﹣162＜163，∴最小的满足f（a）=f的实数a=243+163=406．故答案为：406．点评：本题考查函数的解析式及运用，同时考查集合的元素的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由题意可得B=2C．又由正弦定理及已知得，即可得解．（2）由C∈（0，π），可得sinC，根据sinB=sin2C即可求值．（3）由B=2C，可得cosB，又A+B+C=π，可求sinA=sin（B+C），由，，可得C，由面积公式即可得解．解答：解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，所以B=2C．…（2分）又由正弦定理，得，，，化简得，．…（5分）（2）因为C∈（0，π），所以．所以．…（8分）（3）因为B=2C，所以．…（10分）因为A+B+C=π，所以．…（12分）因为，，所以．所以△ABC的面积．…（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，属于基础题．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，作BM⊥A1C 于M，连接DM，BD，确定∠BMD即为所求二面角的平面角，△BMD中，根据余弦定理求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在．解答：解：（1）根据题意，长方体体积为V=t（2﹣t）≤（）2=1 …2分当且仅当t=2﹣t，即t=1时，体积V有最大值为1所以当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形…4分作BM⊥A1C于M，连接DM，BD …5分因为四边形ABCD为正方形，所以△A1BC与△A1DC全等，故DM⊥A1C，所以∠BMD即为所求二面角的平面角…6分因为BC⊥平面AA1B1B，所以△A1BC为直角三角形又A1B=，A1C=，所以BM=，同理可得，DM=．在△BMD中，根据余弦定理有：cos∠BMD==﹣…8分所以∠BMD=120°即此时二面角B﹣A1C﹣D的值是120°．…9分（2）若线段A1C上存在一点P，使得 A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD …10分又A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC所以BD⊥AC …12分底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由（1）知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M此时，A1P==．…15分点评：本题考查线面垂直，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）设数列{a n}，{b n}，已知a1=3，b1=5，，，（n∈N*）．（1）求数列{b n﹣a n}的通项公式；（2）求证：对任意n∈N*，a n+b n为定值；（3）设S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈，求实数p的取值范围．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过变形易得数列{b n﹣a n}是以2为首项、为公比的等比数列，进而可得结论；（2）通过变形可得，取n=1即得结论；（3）通过a n+b n=8与两式相加可得S n=4n+，通过p•（S n﹣4n）∈，化简可得≤≤，对n分奇偶数讨论，可得的最大值为，的最小值为2，进而可得结论．解答：解：（1），又b1﹣a1=2，∴{b n﹣a n}是以2为首项，为公比的等比数列，∴；（2）∵，∴，又a1+b1﹣8=0，∴a n+b n﹣8=0恒成立，即a n+b n=8为定值；（3）由（1）（2）得：a n+b n=8，，两式相加即得：，∴S n=4n+=4n+，∴p•（S n﹣4n）=•，∵p•（S n﹣4n）∈，∴1≤•≤3，∵1﹣（﹣）n＞0，∴≤≤，当n为奇数时，=随n的增大而递增，且0＜＜1；当n为偶数时，=随n的增大而递增，且＞1；∴的最大值为，的最小值为2，∵≤≤，∴≤≤2，解得：2≤p≤3，∴实数p的取值范围为：．点评：本题考查求数列的通项，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（15分）已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）．（1）若点B，C关于原点对称，且直线AB，AC的斜率乘积为，求椭圆方程；（2）若三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为，求实数a的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由直线AB，AC的斜率乘积为，分别表示出AB，AC的斜率，计算即可．（2）设AB的方程为：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为：，由得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，利用弦长公式求弦长，按题意计算．解答：解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0）所以椭圆方程为（2）显然直线AB斜率存在．设AB的方程为：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为：，由得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，解得，用“”替换“k”得，故，所以，令，则（当且仅当时等号成立），由得（a﹣3）（8a2﹣3a﹣9）=0解得a=3，或（因为时，，故舍去），所以a=3．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查考生计算能力，属于中档题型，2015届高考常考题型．20．（14分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围；（2）若x1、x2∈且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设，对于任意x1、x2∈上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（2β﹣α）成立，求λ的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）|f（x）|的图象可把f（x）在x轴以下的图象翻折到x轴上方得到，从而需翻折后定点值，从而得出﹣4＜t＜4；（2）由题意可知，α，β为方程2x2﹣tx﹣2=0的两个不同实根，从而根据韦达定理，，可设α＜x1＜x2＜β，从而得到（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，进一步得到，x1x2﹣（αx2+βx1）﹣1≤0，从而4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4≤4（αx2+βx1）﹣t（x1﹣x2），并且可得到4（αx2+βx1）﹣t（x1﹣x2）=2（x2﹣x1）（α﹣β）＜0，从而得出结论；（3）由求根公式求出α，β，进一步可求出g（α），g（β），而根据单调性的定义可说明函数g（x）在上单调递增，从而可得到g（β）﹣g（α）=，从而可得到，可判断出函数在（﹣4，4）上的单调性，从而可以得到，这样便最后得出．解答：解：（1）根据题意，f（x）=2x2﹣tx图象翻折后，顶点值；解得﹣4＜t＜4；∴t的取值范围为（﹣4，4）；（2）证明：根据题意知，α，β是方程2x2﹣tx﹣2=0的两实根；由韦达定理知，不妨设α＜x1＜x2＜β；由于x1、x2∈，故（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，x1x2﹣（αx2+βx1）+αβ≤0即4x1x2﹣4（αx2+βx1）﹣4≤0；∴4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4≤4（αx2+βx1）﹣t（x1+x2）=4（αx2+βx1）﹣2（α+β）（x1+x2）=2（αx2+βx1）﹣2（αx1+βx2）=2（x2﹣x1）（α﹣β）＜0；∴4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3），所以；任取x1、x2∈，x1＜x2，则；所以g（x）在区间上是增函数，故|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（2β﹣α）等价于g（β）﹣g（α）=；又因为；所以，设在﹣4＜t＜4时奇函数且递增所以；所以，所以；∴λ的取值范围为[，+∞）．点评：考查函数|f（x）|和函数f（x）的关系，二次函数顶点纵坐标的计算公式，解一元二次不等式，韦达定理，并熟悉二次函数的图象，以及一元二次方程的求根公式，根据函数单调性定义判断函数的单调性，函数单调性定义的运用．。

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷数学试题一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。

2021-2022学年浙江省绍兴市鉴湖镇中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2 D．A2+B2=A（B+C）参考答案：D【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【解答】解：由题意可得：S n=A，S2n=B，S3n=C．由等比数列的性质可得：，，所以，所以整理可得：A2+B2=A（B+C）．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．2. 已知为常数，最大值为，最小值为，且，则实数的值为（）A．B． C． D．参考答案：D3. 已知命题p：，，命题：，，则下列命题正确的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。

【详解】解：令，时，，所以f(x)在单调递增，，p真；令，，，所以在恒成立，q假；故选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假判断，属于中档题。

4. 有两个问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3人参加座谈会．则下列说法中正确的是（）A．①随机抽样法②系统抽样法B．①分层抽样法②随机抽样法C．①系统抽样法②分层抽样法D．①分层抽样法②系统抽样法参考答案：B【考点】收集数据的方法．【分析】简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规则分成几部分；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．故选B．5. 若非零向量，满足||＝||，(2＋)·＝0，则与的夹角为（）A．150° B．120° C．60° D ．30°参考答案：B6. 如果直线与直线垂直，则a等于（）A．3 B．C．D．－3参考答案：B因为直线与直线垂直，所以，故选B.7. 定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；参考答案：A略8. 函数在[2,4]上的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值。

浙江省绍兴市高考数学二模考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A .B .C .D . 12. （2分）已知，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·邢台期末) 已知命题p：∃x∈R，2x﹣3≤0．若（￢p）∧q是假命题，则命题q 可以是（）A . 椭圆3x2+4y2=2的焦点在x轴上B . 圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0与x轴相交C . 若集合A∪B=A，则B⊆AD . 已知点A（1，2）和点B（3，0），则直线x+2y﹣3=0与线段AB无交点4. （2分）(2017·太原模拟) 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上一个动点，则• 的最大值为（）.A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分） (2019高一上·郏县期中) 若对于任意实数x总有，且在上是减函数，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 如图所示，程序框图的输出结果为（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 已知公差d不为0的等差数列{an}，前n项和是Sn ，若a2 ， a3 ，a7成等比数列，则（）A . a1a2＞0，dS3＞0B . a1a2＜0，dS3＞0C . a1a2＞0，dS3＜0D . a1a2＜0，dS3＜08. （2分） (2018高二下·西安期末) 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A . 288种B . 144种C . 720种D . 360种9. （2分）一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·济南模拟) 如图所示，两个非共线向量、的夹角为θ，N为OB中点，M为OA 上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且 =x +y （x、y∈R），则x2+y2的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）下列命题中，真命题是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·湖南期中) 已知实数x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，则x+2y的最小值等于________14. （1分）若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________15. （1分）(2020·马鞍山模拟) 百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图.相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称.如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成.在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠.九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板.已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为________.16. （1分） (2020高一下·惠山期中) 已知a、b为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2017·山东模拟) 已知数列{an}为等差数列，a1=3且（a3﹣1）是（a2﹣1）与a4的等比中项．（1）求an；（2）若数列{an}的前n项和为Sn ， bn= ，Tn=﹣b1+b2+b3+…+（﹣1）nbn ，求Tn ．18. （5分） (2015高二下·黑龙江期中) 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．19. （15分） (2020高一下·天津期中) 如图,四边形为矩形,且平面 ,, 为BC的中点.（1）求证: ；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点 ,使得平面，并说明理由.20. （5分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足=λ（+）=（λ＞0），求λ的取值范围．21. （5分）(2019·北京模拟) 已知函数 .(I)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数的零点个数．22. （10分）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）=5+ ．曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的普通方程；（2）若点A在曲线C上，（t为参数），求|AB|的最小值．23. （10分） (2020高二下·开鲁期末) 已知函数， .（1）当，时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。