2015高考数学二轮复习学案：专题6 三角函数与平面向量

第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λtOC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5 答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________. 答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32.又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4， 所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b )B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.38C.32 D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1， BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34， 故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°，故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4 答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos ∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75 B ．－77125C.77125D.75 答案 B解析 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12B.3－1C.3－22 D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A.7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22 B. 2－22C ．1 D. 2 答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →， 故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D. 13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0， OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1，所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)．(1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2. (2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。

第二讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[全练——快速解答]1．(2018·合肥模拟)sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos78°＝( )A．－32B．－12C.32D.12解析：sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选D.答案：D2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79 C ．－79D ．－89解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B3．(2018·沈阳模拟)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195 B.165 C.2310D.1710解析：原式＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C. 答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos(α－π4)＝________.解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010.答案：31010三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等． (2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin α·cos α的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等．解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论] 正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cosC ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6. 答案：B(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案：A(3)(2018·福州模拟)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.61．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[练通——即学即用]1．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14C ．1D ．2 解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：A2．(2018·广州模拟)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．解析：设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ， 由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12.又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1.l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12 ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22. 答案：1＋22解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页[悟通——方法结论] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．(2017·高考全国卷Ⅱ)(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(1)求cos B ❷； (2)若a ＋c ＝6❸，△ABC 的面积为2❹，求b . [学审题][规范解答] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 22，(2分)即sin B ＝4(1－cos B )， (3分) 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， (4分) 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(6分) (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，(7分) 故S△ABC ＝12ac sin B ＝417ac .(8分) 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.(9分)由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) (10分)＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. (11分)所以b ＝2.(12分)1．与三角形面积有关的问题的解题模型2．学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养．[练通——即学即用](2018·长郡中学模拟)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A－3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.(1)求A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解析：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①，∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③， cos 2A ＝2cos 2A －1 ④，将①②③④代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形， ∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C， ∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B ＝3tan B＋1，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈()0，3，∴c ∈(1,4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23.授课提示：对应学生用书第124页一、选择题1．(2018·合肥调研)已知x ∈()0，π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.答案：A2．(2018·成都模拟)已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析：∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：A3．(2018·昆明三中、五溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C ＝4， 所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4， 解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A5.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，A D ＝D B ，D E ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 答案：C6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．1解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， ∴|a －b |＝55. 故选B.答案：B7.(2018·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置(图略)，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则 tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan A tan A －2， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t＋4≥8， 当且仅当t ＝4t， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号． 答案：C二、填空题9．(2018·广西三市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin B ＝2sin C ，cos C ＝13，△ABC 的面积为4，则c ＝________. 解析：由a sin B ＝2sin C ，得ab ＝2c ，由cos C ＝13，得sin C ＝223， 则S △ABC ＝12ab sin C ＝23c ＝4，解得c ＝6. 答案：610．(2018·皖南八校联考)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14， 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得 1－sin 2α＝116， 所以sin 2α＝1516. 答案：151611．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ，且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ，即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADC ，且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADB ，∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42， 当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528， ∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin∠ACB ＝7. 答案：712．(2018·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ， 即32＝12×2×6×sin∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12. 因为∠BAC >∠BDC ＝π4， 所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32. 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6， 在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，即622＝CD 12，解得CD ＝ 3. 答案： 3三、解答题13．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解析：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0， 得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. (2)∵b ＝3≤a ，∴c ≥a ，∴π3≤C <π2，π6<B ≤π3， ∴12<sin B ≤32. 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得a 32＝3sin B，∴a ＝32sin B ， 由sin B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32得a ∈[3，3)． 14．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC .解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴S △AC D ＝S △AB D ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1.(2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)，∴sin α＝sin(α＋β)cos α，∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC ＝12， 在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝3，∴BC ＝ 3.15．(2018·广州模拟)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解析：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20， 因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21， 故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57. 16．(2018·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．解析：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )， 由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ，整理得cos A sin C ＝2sin A cos A .若cos A ＝0，则A ＝π2， 由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233， 此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233. 若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ，由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，∴c ＝433， 此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233. 综上所述，△ABC 的面积为233. 17．(2018·常德市模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π， ∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45， ∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.。

f(x)≤f6π，∴x＝π6是函数 f(x)的图象的一条对称轴，即π3＋φ＝π2＋kπ(k
∈Z)，又 fπ2＞0，∴φ 的取值可以是－56π，∴f(x)＝
a2＋b2sin2x－56π，
山 东
由 2kπ－π2≤2x－56π≤2kπ＋2π(k∈Z)得 kπ＋6π≤x≤kπ＋23π(k∈Z)，故选 B.
金 太 阳
课时 跟踪 训练
热点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
[命题方向]
1．三角函数的最小正周期的求法.2.三角函数的奇偶性、对称性问 山
题.3.三角函数周期性、奇偶性、对称性的应用．
东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第八页，编辑于星期五：十点 五十二分。
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪 训练
x 的变化量，因此由 y＝sin ωx(ω＞0)的图象得到 y＝sin(ωx＋φ)的图象
金 太
阳
时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|ωφ|个单位，而非|φ|
书 业
有
个单位．
限
公
司
菜 单 隐藏
第七页，编辑于星期五：十点 五十二分。
析热点 高考 聚集
高考专题复习 ·数学（理）
研思想 方法 提升
金 太
阳
C.kπ，kπ＋π2(k∈Z)
书 业
有
D.kπ－π2，kπ(k∈Z)
限 公 司
菜 单 隐藏
第十五页，编辑于星期五：十点 五十二分。
析热点 高考 聚集
高考专题复习 ·数学（理）
研思想 方法 提升
课时
跟踪 训练

驶离港口O.一艘给养快艇从港口A沿AB方向以60 n mile/h的速度驶向小岛B，
在B岛装运补给物资后以相同的航速送往科学考察船．已知两船同时出发，
补给物资装船时间为1 h．给养快艇驶离港口A后，能和科学考察船相遇的
最少时间为________h.
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第二十页，编辑于星期五：十点 五十二分。
东 金 太
cos23π＋2α＝2cos2π3＋α－1＝2×91－1＝－79，选 A.
阳 书 业
有
答案：A
限
公
司
菜 单 隐藏
第五页，编辑于星期五：十点 五十二分。
高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时
跟踪
训练
1．求解三角函数中的给值求值问题时，要注意两点：一是分析已知
角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；二是正确地运用
山
1
＝4sin
80°·cos sin 20°
80°
东 金 太 阳
书
1
1
＝8ssiinn 2106°0°＝8ssinin2200°°＝18.
业 有 限 公
答案：A
司
菜 单 隐藏
第三页，编辑于星期五：十点 五十二分。
高考专题复习 ·数学（理）
析热点
高考
聚集
研思想 方法
2．(2014 年新课标卷Ⅰ)设 α∈0，π2，β∈0，π2，且 tan α＝1＋cossinβ β，
有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
2．求解三角函数中的给值求角问题时，还是要通过已知求这个角的