从一题多解思考数学教学的有效性
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从一题多解思考数学教学的有效性
孙娟
江苏泰兴中学225400
摘要院对于椭圆的基本问题袁学生比较容易掌握袁但是教学中如何将基本的解析几何问题讲透尧分析深刻袁却是我们提高教学有效性的一种比较好的手段援本文从一道基本的解析几何问题出发袁以多解的视角分析探讨袁进而帮助教师思考教学的有效性援关键词院椭圆曰解析几何曰变式曰有效性
众所周知袁解题教学要讲求野精冶和野钻冶袁不易野多冶和野散冶援如何在复习教
学中以精来渗透呢钥笔者认为袁多解性
的分析是教学中不错的选择.教师要在
引导学生分析发散思考问题的基础上袁
进行多角度解题的指导袁进而提高解题
教学的有效性援北师大张英伯教授专门
就一题多解教学给出过这样的指导院野我认为中学数学教学中的一题多解是
非常具有思维的尧开发性的袁如今的大
学生非常了得袁常常在一些基本问题中
提出不同的思维见解尧角度分析袁我想
这和他们在中学阶段进行的多解尝试
是分不开的袁因此我建议数学教育要坚
持一题多解的培养袁不要纠结于做题的
数量袁更要关注题的质量和思维发散性
的培养援冶正是鉴于张教授的话袁我们来
分析一道解析几何试题袁来看看如何提
高教学有效性援
问题：椭圆E经过点A渊2袁3冤袁对称轴
为坐标轴袁焦点F1袁F2在x轴上袁离心率e=12援
渊1冤求椭圆E的方程曰
渊2冤求蚁F1AF2的角平分线所在直线
的方程援
分析院此题从条件上看是完备的援因
为椭圆的对称轴为坐标轴袁坐标轴包括了x轴和y轴袁所以椭圆的中心为原点袁椭
圆的离心率确定且过定点袁焦点在x轴
上袁这样的椭圆一定是唯一确定的袁可
求出其方程援由于椭圆是固定的袁焦点
位置可确定袁点A也是定点袁在平面直角
坐标系中袁吟AF1F2是固定的袁所以其内
角的平分线位置在坐标系中也必然是
确定的袁故此题条件完整尧合理袁问题答
案唯一袁题目是完备严密的援本题第1小
题考查椭圆的标准方程尧离心率的定
义尧方程的思想等援第2小题由于解法很
多袁所以考查的内容也比较多袁主要考
查三角形角平分线的定义尧平面几何尧
三角函数尧求点的轨迹方程等知识援
解析院渊1冤e=ca=14袁e2=1原b2a2=14袁
所以b2a2=34.设椭圆E的标准方程为院
x2a2+4y23a2=1渊a>b>0冤袁将点A渊2袁3冤代入椭
圆袁得a2=16袁b2=12袁所以椭圆E的方程为
x216+y212=1援
下面重点对第2小题进行教学有效性分析.
教师院如果从概念角度进行分析袁
请同学们思考如何解决呢钥
学生1院设蚁F1AF2=2兹袁因为AF2彝x
轴袁AF1=5袁AF2=3袁F1F2=4袁所以tan2兹=43袁即2tan兹1原tan2兹=43袁解得tan兹=
12袁所以直线l的倾斜角琢与兹互余袁则有
tan琢=1tan兹=2袁所以直线l的斜率为2袁所
以直线l的方程为2x原y原1=0援（概念当优
先，朴实加自然）
说明院解法1的核心是利用好角平
分线的定义袁最基本的想法是此直线
平分该角袁如上述解法1援此解法入口
较低袁仅利用角平分线定义即可袁但计
算过程对三角恒等变换的知识有一定
要求援
教师院很好袁能不能从距离角度分
析呢钥
学生2院设角平分线l上任意一点P的
坐标为渊x袁y冤袁所以点P到角的两边距离
相等袁即点P到直线AF1的距离与点P到
直线AF2的距离相等袁利用点到直线的距
离公式可求得动点P的轨迹方程袁所以
直线l的方程为2x原y原1=0援（两距离相
等，计算要本领）
说明院解法2角平分线上的点到角
的两边距离相等袁利用此结论袁可以求
出直线的斜率袁解法不难袁但计算中容
易产生增根袁即外角的平分线袁所以还
要根据图形判定舍去哪一个根援此解法中等教育谊教学研究>教学反思
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也是想法比较简单袁思维要求不高袁但
计算量较大袁且对结果需要检验袁所以也不是最佳解法援学生3院老师袁我是构造图形的院延长AF2至Q渊2袁原2冤袁则AQ=AF1=5袁故吟AF1Q是等腰三角形袁从而顶角平分线
所在直线过底F1Q的中点M渊0袁原1冤袁所以
直线l的方程为2x原y原1=0援（构造三角形，直线自现形）说明院解法3是在观察图形后想到
利用等腰三角形的性质和一些平面几何中的性质来解决问题袁计算量很小袁但对思维和技巧的要求都非常高袁不太容易想到这样的解法援教师院很好袁有没有同学想到使用初中数学角平分线的相关性质呢钥学生4院设直线l与x轴的交点为P渊x0袁0冤袁则由三角形内角平分线定理袁
得F1PPF2=AF1AF2.又因为AF1=5袁
AF2=3袁所以x0+22-x0=53袁解得x0=12袁所
以直线l的方程为2x原y原1=0援（角分线上点，发挥其特点）说明院解法4利用角平分线定理来
解决问题袁但现在的新教材对此定理已经不作要求了援学生5院老师袁我想到利用内切圆处理院点A和F2的横坐标相等袁所以AF2彝x
轴.又因为AF1=5袁AF2=3袁F1F2=4袁
故Rt吟AF1F2的内切圆半径r=1袁从而Rt吟AF1F2的内心坐标为渊1袁1冤袁而角平分线通过内心袁所以直线l的方程为2x原y原1=0援（巧用内切圆，直线就呈现）
说明院解法5利用直角三角形的内
切圆的特殊性袁若求出该三角形内切圆的半径袁则可以得到内心的坐标袁而角平分线又是通过三角形的内心的袁这样就得出角平分线的方程援此解法的计算量较小袁有一定思维含量袁但要求不是特别高袁是一种比较可取的解法援学生6院老师袁我发现利用角平分线的本质也能解决院F1关于直线l的对称点P必在直线AF2上袁且AP=5袁又因为AF2彝x轴袁AF2=3袁所以点P坐标为渊2袁
原2冤袁所以kF1P=原2原02原渊原2冤=原12袁所以直线l的斜率k=2袁所以直线l的方程为2x原y原1=0援
说明院解法6是利用点的对称性袁其
本质还是在利用角平分线的性质袁此解
法容易想到袁求一个定点关于一条定直
线的对称点的计算量也不大袁是一种不
错的解法援
教师院同学们袁做得真不错袁还有
吗钥（教师再提醒下）我们光学物理中常
常用到什么钥
学生7院利用椭圆光学的物理性质袁
可以得到院根据椭圆的光学性质袁若光
线从焦点F1出发袁经过椭圆上的点A反射
后袁反射光线一定经过该椭圆的另一个
焦点F2袁并且椭圆在点A处的切线l忆相当
于平面镜袁蚁F1AF2的平分线l是反射光
线的法线袁所以只要求出椭圆在点A处
的切线方程即可援因为点A渊2袁3冤在椭圆x216+y212上袁所以椭圆在A处的切线l忆方程
为2x16+3y12=1袁即x+2y原8=0袁法线l与该切
线互相垂直袁所以直线l的斜率为2袁所以
直线l的方程为2x原y原1=0援（光学来帮
忙，解法当更强）
说明院解法7是利用椭圆的光学性
质袁解法是比较简洁的袁但除了椭圆的
光学性质外袁还需要掌握过椭圆上任
意一点的切线方程袁如果不利用已知
结论袁计算量是很大的袁虽然不是最佳
解法袁但其变式和推广具有很好的探
究价值援
本题考查的知识比较基础袁对于求
椭圆的标准方程袁学生比较容易解决袁
求角平分线的方程难度也不大袁可以通
过上述的七种方法得到袁所以有很好的
教学功能援从一题多解的教学中袁我们思
考多解性教学可以这么做院1.调动学生积极性
该多解性教学注定是积极尧主动尧
向上的袁通过对问题的集中性展示袁在
学习过程中将这类知识点要求的通性
通法在问题中进行游刃有余的挖掘尧
发散袁教师既集中力量进行了基本问
题的攻克袁又使得学生主动参与尧认知
了数学知识中的重点和难点袁是高效和有效的.2.关注问题的整合性
教师要注重可选问题的整合性袁本
案例以及多解将问题的多方面知识进
行了整合袁纵观上述问题袁从基本解法
到光学性质袁大大突出了一题多解在复
习教学尧教学有效性上的尝试袁这正是
复习教学最终所体现的要要要注重典型
和整合性袁将基本知识多样地运用于单
一问题的教学中袁是典型问题整合较好
的体现.3.加强交流合作性
通过这样的多解性讨论教学模式
在课堂教学和解题教学中的尝试袁有利
于激发学生对数学的浓厚兴趣袁使他们
感受到数学知识是自己亲自发现尧数学
问题是自己亲自解决的袁懂得数学学习
必须注重数学的基本知识和概念尧注重
解题中的相互合作交流尧关注计算等等.
只有做到学习为了用袁才真正能感受到
数学学习的无穷乐趣援通过多解性教学
的师生共同合作探讨袁加深知识的主动
运用和实施袁因而这样的教学是充满活
力的袁值得下一阶段教师继续去研究和
深化援4.改变思维定式性
每位学生给出的解答是其思维定
式下的习惯性解法袁但对于学生来说袁
多解性的教学课正是为了提高学生解
决问题的全面性和基础知识的深刻性
而设定袁这样的尝试值得教师向学生推
广袁在解决问题中教师正确向学生传递
了一种意识院努力去改变思维的定式
性袁将他人优秀的方式引导进自己的知
识体系中袁培养其运用知识灵活处理问
题的能力援
新课程标准中强调要突出学生的
主体地位袁实践表明袁一题多解正是解
决学生主体地位和提高教学有效性的
好方式.野学生边做边思考袁教师引导袁
学生再深入思考冶的教学方法袁极大地
提高了教学的效率袁促进了学生的深度
参与援当发现学生思维受阻时袁教师应
及时点拨袁及时评价尧鼓励袁不断增加学
生的积极性和自信心援教学研究>教学反思
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