20212A版
- 1 - 第2节 空间几何体的表面积和体积
考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知 识 梳 理
1。多面体的表(侧）面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r1＋r2）l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体 表面积 体积
柱 体 S表面积＝S侧＋V＝S底h 20212A版
- 2 - (棱柱和圆柱) 2S底
锥 体
（棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝错误!S底h
台 体
（棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h
球 S＝4πR2 V＝错误!πR3
［常用结论与微点提醒］
1。正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a,球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；
（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊 断 自 测
1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。（ ) 20212A版
- 3 - （2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。（ )
(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ )
(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。( ）
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案 （1）× （2）× （3)√ (4)√
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
3.常用结论
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
(2)几个与球有关的切、接常用结论
a.正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球.( × )
(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
答案 C
解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.12 B.18
高考数学立体几何专题：等体积法
一、引言
在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理
等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用
等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。下面我们将通过几个例子来展示其用法：
1、求几何体的表面积和体积
例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等
例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置
例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论
等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
体积的基本概念及计算方法
体积是一个描述物体容量或占据空间大小的物理量，它在数学和物理学中具有重要的意义。本文将介绍体积的基本概念和常用的计算方法。
一、基本概念
体积是三维空间中一个物体所占据的空间大小，通常用单位立方米（m³）来表示。对于规则的几何体，如立方体、长方体和圆柱体，体积的计算可以通过简单的公式得出。而对于不规则的物体，如球体、锥体和棱柱体，需要使用不同的计算方法。
二、计算方法
1. 立方体和长方体
立方体的体积计算公式为：V = a³，其中a为边长。
长方体的体积计算公式为：V = l × w × h，其中l、w、h分别为长、宽和高。
2. 圆柱体和锥体
圆柱体的体积计算公式为：V = πr²h，其中π取近似值3.14159，r为底面半径，h为高度。
锥体的体积计算公式为：V = (1/3)πr²h，其中π取近似值3.14159，r为底面半径，h为高度。 3. 球体
球体的体积计算公式为：V = (4/3)πr³，其中π取近似值3.14159，r为半径。
4. 其他不规则体
对于其他不规则形状的物体，可以使用浸没法或近似计算法来确定体积。浸没法是指将物体完全浸入水中，通过测量被浸入水中的液体体积的变化来计算物体的体积。而近似计算法可以通过将物体分解成一系列规则几何体的组合，然后计算每个组合体的体积并相加来获得近似值。
三、实际应用
体积的概念和计算方法在现实生活中有广泛的应用。例如，建筑工程中需要计算不同房间的体积，以确定所需材料的数量；工业生产中需要计算容器的体积，以确保能够装满所需物质；甚至在航空航天领域中也需要计算航天器的体积，以最大程度利用空间并确保有效载荷的准确度等。
总结：
体积是描述物体容量或占据空间大小的物理量，可以通过不同的计算方法来计算不同形状的物体。对于规则的几何体，可以使用简单的公式进行计算；对于不规则的物体，可以使用浸没法或近似计算法获得体积的近似值。体积的概念和计算方法在各行各业都有广泛的应用，对于我们了解和解决实际问题有着重要的意义。
