2020年秋人教版八年级数学上册第13章《轴对称作图及实际应用》(讲义、随堂测试、习题及答案)
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人教版八年级数学上册第13章
轴对称作图及实际应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 尺规作图书写作法时注意：
点线取__________，作弧说__________．
应用作图：
①______________________，设计作图方案；
②调用__________________完成图形．
2. 如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？
街道居民区B居民区A
➢ 知识点睛
1. 五种基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；
③作已知角的角平分线；
④作已知线段的垂直平分线；
⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．
2. 轴对称最值问题：
（1）特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．
（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．
例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．
BAl
➢ 精讲精练 1. 作已知线段的垂直平分线．
已知：线段MN．
求作：直线AB，使AB垂直平分MN．
NM
作法：
（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作
弧，两弧相交于点A和点B；
（2）_______________________________________．
_______________________________________．
2. （1）过直线上一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN上一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
NMA
作法：
① ________________________________________________
________________________________________________；
② ________________________________________________
________________________________________________；
③ ________________________________________________．
_________________________________________________．
（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN外一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
AMN
作法：
① ________________________________________________；
② ________________________________________________
________________________________________________；
③ ________________________________________________
________________________________________________；
④ ________________________________________________．
_________________________________________________．
3. 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）
nmBA
4. 为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（不写作法，保留作图
痕迹）． CBA
5. 已知：如图，点P，Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
QPCBAFEDCBA
第5题图第6题图
6. 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为____________．
7. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的最小
周长为_________．
8. 已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值． MFEDCBAPCBA
9. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数．
ABCDMNDCBA
10. 已知：如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时，四边形PMNQ的周长最小． PQBAO
【参考答案】
➢ 课前预习
1. 名称、心径
画出草图，基本作图
2.图略 ➢ 知识点睛
2. （1）定直线，（2）将折线转直
图略
➢ 精讲精练
1. 图略
（1）点M，点N，大于12MN长
（2）作直线AB
直线AB即为所求
2. （1）图略
①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；
②分别以点C，点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；
③作直线AB．
直线AB即为所求．
（2）图略
①在MN下方任取一点P；
②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，点D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；
④作直线AB．
直线AB即为所求．
3. 略（提示：AB的垂直平分线和m，n所成角的平分线的交点即为所求）
4. 略（提示：先作出AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以12AB长为半径作弧，交AB的垂直平分线于点M）
5. 略（作点P关于BC的对称点P，连接PQ交BC于点R）
6. 30°
7. 8cm
8. 作图略，△PMN周长的最小值为4．
9. 140°
10. 如图所示：点M，N即为所求． NMQ'P'OABQP
轴对称作图及实际应用（随堂测试）
1. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
2. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为_________．
特征：定点：_________
动点：_________
动点在定直线：__________上
目标：△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数．
操作：具体操作在图上进行．
李张DABMNCCBAD
【参考答案】
1. 图略
2. 100°
定点：A
动点：M，N
动点在定直线：BC，CD上
轴对称作图及实际应用（习题）
➢ 例题示范
例1：如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是________．
【思路分析】
此题求解应分为两步：
① 找出△PEF的周长最小时E，F的位置；
② 求出点P到EF的距离．
结合题目条件：
特征：有定点（点P），有动点（点E，F），动点在定直线OA，OB上运动，满足△PEF的周长最小，判断这是轴对称最值问题．
操作方法：作定点关于定直线的对称点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P′和P′′，折转直，利用两点之间，线段最短，找到当△PEF的周长最小时E，F的位置，进而求解．
如图1：
图1 图2 P''P'CNMAOBEFPPFEBOAMNCP'P''PFEBOA
