当前位置：文档之家 › 尺规作图资料(完整)

尺规作图资料(完整)

  • 格式：doc
  • 大小：2.88 MB
  • 文档页数：30

1：尺规作出正三角形

2尺规作出正方形

3：尺规作出正六边形

4：尺规作出正十边形

5：尺规作出正十六边形

6：尺规作出正十七边形

7：尺规作出正十五边形

8：尺规作出正五边形

9：单尺作出正八边形

10：单尺作出正方形

11：单尺作出正六边形

12：单尺作出正五边形

13：单规找出两点间的三等分点

14：单规找出两点间的中点

15：单规作出等边三角形

16：单规作出正八边形

17：单规作出正方形

18：单规作出正六边形

19：单规作出正十边形

20：单规作出正十二边形

21：单规作出正十六边形

22：单规作出正十五边形

23单规作出正五边形

24：只有两个刻度的直尺作出正三角形

25：只有两个刻度的直尺作出正方形

初中数学尺规作图专题讲解

张远波

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood

Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.

还有另外两个著名问题：

⑴ 正多边形作法

·只使用直尺和圆规，作正五边形.

·只使用直尺和圆规，作正六边形.

·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.

·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.

⑵ 四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.

尺规作图的相关延伸：

用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

1.只用直尺及生锈圆规作正五边形

2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得ABBCCA.

3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.

4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.

五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为：

1.做一线段等于已知线段

2.做一角等于已知角

3.做一角的角平分线

4.过一点做一已知线段的垂线

5.做一线段的中垂线

下面介绍几种常见的尺规作图方法：

⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

nmBAGFEDOC2C1nmBA

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD或OE；

⑵ 作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点1C，2C就是发射塔的位置.

【例2】 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3yx上求一点P，使AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？

P3P2P1AOyxy=x+3

【解析】 首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在3yx上；二是AOP必须是等腰三角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OAOP时，以O点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点1P、2P；当OAAP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当POPA时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点3P，所以总计这样的P点有3个.

【例3】 设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与O⊙及'O⊙外切.

R'RO'OrrDCM2M1BArOO'RR'r

【分析】 设M⊙是符合条件的圆，即其半径为r，并与O⊙及'O⊙外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以O为圆心以Rr为半径的圆上，又在以'O为圆心以'Rr为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O⊙与'O⊙相距为b，当2rb时，该题无解，当2rb有唯一解；当2rb时，有两解.

【解析】 以当O⊙与'O⊙相距为b，2rb时为例：

⑴ 作线段OARr，''OBRr.

⑵ 分别以O，'O为圆心，以Rr，'Rr为半径作圆，两圆交于12,MM两点.

⑶ 连接1OM，2OM，分别交以R为半径的O⊙于D、C两点.

⑷ 分别以12MM，为圆心，以r为半径作圆.

∴12,MM⊙⊙即为所求.

【思考】若将例3改为：“设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r()rR的圆，使其与O⊙ 内切，与'O⊙外切.”又该怎么作图？

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.

【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为1.可算出其内接正方形边长为2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就出来了.

【解析】 具体做法：

⑴ 随便画一个圆.设半径为1.

⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为3.

⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为3的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是2.）

⑷ 以2的长度等分圆周就可以啦！

【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC的面积.

【分析】 设ABC的底边长为a，高为h，关键是在于求出正方形的边长x，使得212xah，所以x是12a与h的比例中项.

【解析】 已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h，

求作：正方形DEFG，使得：ABCDEFGSS正方形

haDCBAOGFEDNM

作法：

⑴ 作线段12MDa；

⑵ 在MD的延长线上取一点N，使得DNh；

⑶ 取MN中点O，以O为圆心，OM为半径作O⊙；

⑷ 过D作DEMN，交O⊙于E，

⑸ 以DE为一边作正方形DEFG.

正方形DEFG即为所求.

【例6】 在已知直线l上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.

arOlBAM2M1lOr

【分析】 先利用代数方法求出点M与圆心O的距离d，再以O为圆心，d为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.

【解析】 ⑴ 作RtOAB，使得：90A，OAr，ABa.

⑵ 以O为圆心，OB为半径作圆.

若此圆与直线l相交，此时有两个交点1M，2M.

1M，2M即为所求.

若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.

若此圆与直线l相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.

【例7】 已知：直线a、b、c，且abc∥∥.

求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.

合集下载

尺规作图方法大全

尺规作图方法大全

七年级数学期末复习资料（七）

尺规作图

【知识回顾】

1、尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本图, 通常称 基本作图 。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

, 最常用的尺规作

2、五种基本作图：

1 、作一条线段等于已知线段；

2 、作一个角等于已知角；

3 、作已知线段的垂直平分线；

4 、作已知角的角平分线；

5 、过一点作已知直线的垂线；

（ 1）题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a .

求作：线段 AB，使 AB = a .

作法：

（ 1） 作射线 AP；

（ 2） 在射线 AP上截取 AB=a .

则线段 AB就是所求作的图形。

（ 2）题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN.

求作：点 O，使 MO=NO（即 O是 MN的中点） .

作法：

（１）分别以 M、 N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；

（２）连接 PQ交 MN于 O．

则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。

（ 3）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠ AOB，

求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠作法：

（ 1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA， OB于 M， N；

（2）分别以 M、Ｎ为圆心，大于 的线段长

为半径画弧，两弧交∠ AOB内于Ｐ；

（3） 作射线 OP。

则射线 OP就是∠ AOB的角平分线。

a

A

M

AOB）。

M

O

B P

P

O N

Q

A

P

N B

第1页，共 6 页

（ 4）题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，∠ AOB。

资料：第14讲 尺规作图与轴对称

资料：第14讲 尺规作图与轴对称

模板资料 资源共享 第14讲 尺规作图与轴对称

1．用尺规作一个角等于已知∠α．

2．用尺规作一个角的角平分线．

3．用尺规作一条线段的垂直平分线．

4．已知点A在直线a上，过点A用尺规作直线a的垂线．

以下所有作图题所用的角与线段都用第5题的已知角与已知线段.

5．已知∠α，∠β，线段a，b，c，用尺规作△ABC，使它满足：

（1）AB=c，BC=a，AC=b； （2）∠A=∠α，AB=a，AC=b；

（3）∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c； （4）∠A=∠α，∠B=∠β，BC=b；

6．已知点A在直线a外，过点A用尺规作直线a的垂线．

7．已知线段a，用尺规作等边三角形ABC，使得边长为a． αaAcbaβαaA 模板资料 资源共享 baCBA

8．已知直角三角形中，一条直角边等于a，斜边等于c，用尺规作这个三角形．

9．用尺规作等腰三角形．

（1）一条腰等于a，底边等于b； （2）一条腰等于c，底边上的高等于b．

10．角平分线上的点到 距离相等；线段中垂线上的点到 距离相等；

到 距离相等的点在 上；到 距离相等的点在

上．

11．如图，已知△ABC和直线a，作△ABC关于直线a的轴对称图形．（工具不限）

12．如图，一副三角板的斜边BD重合，用尺规在BD上找一点P，使得（1）PA=PC；（2）PC=PD．

13．如图，直线a上有两个定点B,C，线段AB⊥a，过点C

作直线b⊥a，用尺规在直线b上取一点P，使得PA=AB+PC，

P和A 在直线a同侧．

aABCDCBADCBA 模板资料 资源共享

14．用尺规作△ABC，使它满足：∠A=∠α，∠B=∠β，周长为2c．

尺规作图方式大全

尺规作图方式大全

BPAaOQPNMONMBPA七年级数学期末温习资料（七）

尺规作图

【知识回忆】

一、尺规作图的概念：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最大体,最经常使用的尺规作图,通常称大体作图。一些复杂的尺规作图都是由大体作图组成的。

二、五种大体作图：

一、作一条线段等于已知线段；

二、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

五、过一点作已知直线的垂线；

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .

求作：线段AB，使AB = a .

作法：

（1） 作射线AP；

（2） 在射线AP上截取AB=a .

那么线段AB确实是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.

求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）别离以M、N为圆心，大于

的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

那么点O确实是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

别离交OA，OB于M，N；

（2）别离以M、Ｎ为圆心，大于 的线段长

为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3） 作射线OP。

那么射线OP确实是∠AOB的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。NMBOA③②①A'A'N'O'B'M'O'A'N'M'M'O'QNDCPPMBABAPABBAPQNDCM已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：

（1）作射线O’A’；

（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；

北师大版尺规作图的步骤(已知、求作、作法)资料

北师大版尺规作图的步骤(已知、求作、作法)资料

北师大版尺规作图的步骤（已知、求作、作法）资料

1、将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A'BC'，若BC=2，则CC'的长为（;m 答案A 解析

2、如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ 答案B 解析

3、小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是 答案B 解析考点：简单组合体的三视图．分析：细心观察图中生日蛋糕摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定则可．解：生日蛋糕可以看作是三个圆柱，从正面看，它的正视图应该是三个大小不一的矩形．从四个选项中看，只有B选项符合这个条件．故选B．

4、下列图中是太阳光下形成的影子是 答案A 解析

5、在下列各数中： 3.1415926，，0.2，，，， ，无理数的个数是A．2B．3C．4D．5 答案A 解析

6、如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（;） 答案C 解析

7、“五一”旅游期间，几名同学包租一辆面包车前往“响堂寺”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结 答案 解析

8、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D 答案C 解析

9、下列所给的几何体中，主视图是三角形的是（）; 答案B 解析

10、一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20℅，则这件服装进价是A．100元B．105元C．108元D．11 答案A 解析

11、下列关于单项式的说法中，正确的是 答案B 解析

冀教版刻画实际问题中变量之间的关系

在一个晴朗的天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时间是（ ）A．上午 答案A 解析12、解方程的结果是（）A．B．C．D 答案D 解析13、

反比例函数y＝的图象位于 -------------------------------------- (m 答案B 解析14。