2003北京高考数学真题与答案

2003年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=23．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．25．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．612．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是（用数字作答）14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．2003年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】11 ：计算题．【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】11 ：计算题．【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】GS：二倍角的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选：A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．【考点】7F：基本不等式及其应用．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选：B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【考点】83：等差数列的性质；73：一元二次不等式及其应用．【专题】11 ：计算题．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q的性质．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【考点】HV：反三角函数；4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选：D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】16 ：压轴题．【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选：C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．6【考点】6F：极限及其运算；D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．【解答】解：∵C22+C32+C42+…+C n2=C33+C32+C42++C n2=C43+C42+…+C n2═C n+13，，∴．故选：B．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方=4πR2，体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，有T r+1令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【考点】4H：对数的运算性质；7E：其他不等式的解法．【专题】13 ：作图题；44 ：数形结合法．【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72种．（以数字作答）【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】能得出l⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【考点】A1：虚数单位i、复数；87：等比数列的性质；A8：复数的模．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【考点】MI：直线与平面所成的角；L2：棱柱的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】函数y=c x在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c 的取值范围．【解答】解：函数y=c x在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．【考点】8B：数列的应用．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．（2）利用上面的结论可以快速找到{b n}的规律，再结合组合数对其求解即可．【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为3（0，1）5（0，2）6（1，2）9（0，3）10（1，3）12（2，3）①第四行17（0，4）18（1，4）20（2，4）24（3，4）第五行33（0，5）34（1，5）36（2，5）40（3，5）48（4，5）②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．数列{a n}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，∴a100=214+28=16640．（2）解：b k=1160=210+27+23，令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r&+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210&+2s+2r|0≤r＜s＜7}．某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），b k=1160=210+27+23=（3，7，10）则b1=20+21+22=（0，1，2）C22依次为（0，1，3）（0，2，3）（1，2，3）C32（0，1，4）（0，2，4）（1，2，4）（0，3，4）（1，3，4）（2，3，4）C42（0，1，9）（0，2，9）（6，8，9）（7，8，9）C92（0，1，10）（0，2，10）（0，7，10）（1，7，10）（2，7，10）（3，7，10）C72+4k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．考点卡片1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．2．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y=a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．3．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a N=N（a＞0且a≠1）．log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N；log a M n=nlog a M；log a=log a M．4．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．5．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n=0，当|a|=1时，若a=1，则a n=1；若a=﹣1，则a n=（﹣1）n不存在当|a|＞1时，a n=不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么。

2003 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 ．（ 5 分）已知，，，则等于A ．B ．C ．D ．2 ．（ 5 分）圆锥曲线的准线方程是A ．B ．C ．D ．3 ．（ 5 分）设函数若，则的取值范围是A ．B ．C ．，，D ．，，4 ．（5 分）函数的最大值为A ．B ．C ．D ． 25 ．（ 5 分）已知圆及直线，当直线被截得的弦长为时，则等于A ．B ．C ．D ．6 ．（ 5 分）已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A ．B ．C ．D ．7 ．（ 5 分）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于A ． 1B ．C ．D ．8 ．（ 5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A ．B ．C ．D ．9 ．（ 5 分）函数，的反函数A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，10 ．（ 5 分）已知长方形的四个项点，，和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到．和上的点．和（入射角等于反射角），设坐标为，，若，则的取值范围是A ．，B ．，C ．，D ．，11 ．（ 5 分）等于A ． 3B ．C ．D ． 612 ．（ 5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满 16 分）13 ．（ 4 分）在的展开式中，的系数是（用数字作答）14 ．（ 4 分）使成立的的取值范围是．15 ．（ 4 分）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）16 ．（ 4 分）下列五个正方体图形中，是正方形的一条对角线，点、、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 ．（ 12 分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项．求．18 ．（ 12 分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心．（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离．19 ．（ 12 分）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为．如果和有且仅有一个正确，求的取值范围．20 ．（ 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21 ．（ 12 分）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22 ．（ 14 分）（ 1 ）设是集合且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12① 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；② 求（ 2 ）设是集合，且，，中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求．2003 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 ．（ 5 分）已知，，，则等于A ．B ．C ．D ．【解答】解：，，，．．．故选：．2 ．（ 5 分）圆锥曲线的准线方程是A ．B ．C ．D ．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线，则准线方程为，再转化为极坐标方程为．故选：．3 ．（ 5 分）设函数若，则的取值范围是A ．B ．C ．，，D ．，，【解答】解：当时，，则，当时，则，故的取值范围是，，，故选：．4 ．（5 分）函数的最大值为A ．B ．C ．D ． 2【解答】解：当时，，的最大值为，故选：．5 ．（ 5 分）已知圆及直线，当直线被截得的弦长为时，则等于A ．B ．C ．D ．【解答】解：圆的圆心，半径是 2 ，半弦长是，则弦心距是 1 ，圆心到直线的距离：故选：．6 ．（ 5 分）已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A ．B ．C ．D ．【解答】解：设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，则有当时，取的最大值．故选：．7 ．（ 5 分）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于A ． 1B ．C ．D ．【解答】解：设 4 个根分别为、、、，则，，由等差数列的性质，当时，．设为第一项，必为第 4 项，可得数列为，，，，，．．故选：．8 ．（ 5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A ．B ．C ．D ．【解答】解：设双曲线方程为．将代入，整理得．由韦达定理得，则．又，解得，，所以双曲线的方程是．故选：．9 ．（ 5 分）函数，的反函数A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，【解答】解：函数，所以：函数，可得，，，故选：．10 ．（ 5 分）已知长方形的四个项点，，和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到．和上的点．和（入射角等于反射角），设坐标为，，若，则的取值范围是A ．，B ．，C ．，D ．，【解答】解：考虑由射到的中点上，这样依次反射最终回到，此时容易求出，由题设条件知，，则，排除．．，故选：．11 ．（ 5 分）等于A ． 3B ．C ．D ． 6【解答】解：，，．故选：．12 ．（ 5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（ 1 ）一个正方体可以内接一个正四面体；（ 2 ）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径，球的表面积为，故选：．二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满 16 分）13 ．（ 4 分）在的展开式中，的系数是（用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有，令，可得，当时，有，故答案．14 ．（ 4 分）使成立的的取值范围是．【解答】解：利用作图法可以判断和，相交于前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有时，成立故答案为：．15 ．（ 4 分）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用 3 种颜色时：涂色方法种4 色全用时涂色方法：种所以不同的着色方法共有 72 种．故答案为： 7216 ．（ 4 分）下列五个正方体图形中，是正方形的一条对角线，点、、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是①④⑤ （写出所有符合要求的图形序号）．【解答】解：如图，设正方体为．在题图① 中，连结，则，又是在面内的射影，．同理，．平面．故① 符合．在题图② 中，延长交的延长线于，连结，若面，则．又是在平面内的射影，，．平面，矛盾．② 不符合．在题图③ 中，平面与题图① 中的平面不是同一平面，它们又过同一点，题图③ 不符合．在题图④ 中，，，平面．延长交于，取的中点，则，平面．连结交于，则平面，可证是的中点．题图④ 与题图⑤ 中的平面实为同一平面．⑤ 也符合．答案：①④⑤三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 ．（ 12 分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项．求．【解答】解：设，则复数的实部为．由题设，即：，整理得．解得，（舍去）．即．18 ．（ 12 分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心．（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离．【解答】解：（Ⅰ）连接，则是在面的射影，即是与平面所成的角．设为中点，连接、，，分别是，的中点，又平面，为矩形，连接，是的重心，，在直角三角形中，，，．于是，，，，，与平面所成的角是；（Ⅱ）连接，有，，又，平面，设到平面的距离为，则，，．，即到平面的距离为．19 ．（ 12 分）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为．如果和有且仅有一个正确，求的取值范围．【解答】解：函数在上单调递减．不等式的解集为函数在上恒大于 1 ．函数在上的最小值为．不等式的解集为．如果正确，且不正确，则．如果不正确，且正确，则．的取值范围为，，．20 ．（ 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以为原点，正东方向为轴正向．在时刻：台风中心的坐标为令是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是，其中，若在时，该城市受到台风的侵袭，则有，即，即，解得．答： 12 小时后该城市开始受到台风侵袭．21 ．（ 12 分）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：根据题设条件，首先求出点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点到定点距离的和为定值．按题意有，，，设，由此有，，．直线的方程为：，①直线的方程为：．②从① ，② 消去参数，得点坐标满足方程，整理得．当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值．22 ．（ 14 分）（ 1 ）设是集合且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12① 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；② 求（ 2 ）设是集合，且，，中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求．【解答】（ 1 ）解：用表示，下表的规律为，，，，，① 第四行，，，，第五行，，，，，② 解法一：因为，所以解法二：设，只须确定正整数，．数列中小于的项构成的子集为，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数为 14 ，所以取．因为，由此解得，．（ 2 ）解：，令（其中，因．现在求的元素个数：，其元素个数为．某元素个数为某元素个数为．另法：规定，，，， 7 ，则， 1 ，依次为， 1 ，， 2 ，， 2 ，， 1 ，， 2 ，， 2 ，， 3 ，， 3 ，， 3 ，， 1 ，， 2 ，， 8 ，， 8 ，， 1 ，， 2 ，， 7 ，， 7 ，， 7 ，， 7 ，．。

32003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。

第I 卷 至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共60 分）.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1.已知x（2,0), cosx —，则 tg 2x5 ()(A ) L(B )—(C ) 24(D )矽2424772•圆锥曲线8sin 一的准线方程是()2 cos(A ) cos 2(B ) cos2 (C )sin 2 (D )sin23•设函数 f (x)2 x11 x 0牡，右 f (x °)1 ,则x °的取值范围是( )x 2x 0(A )( 1, 1)(B )(1 , )(C )(2)(0, )(D )(,1)(1,) 4.函数y2sin x(sin x cosx)的最大值为()(A ) 1 2(B ) 2 1(0 2(D ) 25.已知圆 C: (x a)2 (y 2)24 (a0) 及直线l : x y 30 , 当直线 l 被C 截得的弦长为2 . 3时，则am n |(A ) 1(B ) 3(C )丄 (D ) 3428一 2MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是1至2页，第n 卷36. (A ) 2(B )已知圆锥的底面半径为R, 高为 (C ) 2 1(A ) 2 R 2已知方程（X 2942x m)(x 2 (B ) 2x 3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（（D - R 22(C) £ £n ） 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则 4&已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ( 7 , 0)，直线 yx 1与其相交于 M N 两点,x [1] 1]P 3和P 4 （入射角等于反射角），设P 4的坐标为（X 4 , 0），若1 X 4 2，贝U tg 的取(A ) y- 149.函数 f(x)sin x ,2 2 2 (B )二 1 ( C) \43x r的反函数f2 ' 22 y- 1 2(D )2y_ 1 5(A ) arcsinx x [ 1, 1] (B ) (C )arcsinx x[1, 1](D )10•已知长方形的四个顶点A (0, 0), 中点P 0沿与AB 的夹角的方向射到 1(x)arcs in x arcs inxB (2, 0),C ( 2, 1 )和D （0, 1）, 一质点从AB 的 BC 上的点R 后，依次反射到CD DA 和 AB 上的点F 2、值范围是 (B ) ( 1,3) 3(C )(A ) ( 1, 31)2 22 211. limC 21C 3 1C 41C n1nn(C 2 C 3C 4C n )(A ) 3(B ) 1(C ) 136(),丄）(D ) (2,)553()(D ) 62，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（(A ) 3(B ) 4(C ) 3 3(D ) 612. 一个四面体的所有棱长都为x [1]1]二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数xc y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………D E KBC 1A 1B 1AFCG 东O⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ， （Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又 19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22ts+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +4。