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2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)及答案

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绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232c o s -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的 （ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//nB ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （ ）A ．51B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a nn n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．241 B ．81 C ．61 D ．21 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第ji j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中， 是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值.已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.CBC B1如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的 .|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点， ∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a AC AD CD DE =⋅=CBC B 1解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACDC V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ， 又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.图（2）图（1）C 11C18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x（Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -， 其中,500<<x 则,1925202=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为： ),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x=代入②式得,500x y y = 于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(00x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为.146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当 由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==-对任意的]1,1[,-∈v u ， 当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时当0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ①由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。

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2003--2013北京市历年高考数学真题汇编附详细答案

2003--2013北京市历年高考数学真题汇编附详细答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）一、选择题（1）设集合}01|{2>-=x x A ，}0log |{2>=x x B ，则B A 等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）1|{-<x x 或}1>x （2）设9.014=y ，48.028=y ，5.13)21(-=y ，则（A ）213y y y >> （B ）312y y y >> （C ）321y y y >> （D ）231y y y >> （3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 4．已知βα,是平面，n m ,是直线，下列命题中不正确的是（A ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线 6．若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57．如果圆台的母线与底面成︒60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A ）π2 （B ）23π （C ）332π （D ）π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（A ）24种 （B ）18种 （C ）12种 （D ）6种9．若数列}{n a 的通项公式是2)23()1(23n n n n n n a ------++=， ,2,1=n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为k ,,2,1 ．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”．令⎩⎨⎧=号同学当选号同学不同意第第　号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 0 1 其中k i ,,2,1 ＝，且k j ,,2,1 ＝，则同时同意第1、2号同学当选的人数为 （A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++ （C ）2122211211k k a a a a a a +++ （D ）k k a a a a a a 2122122111+++ 二、填空题11．)1lg()(2x x f +=，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=1 21||012)(x x x x x x g ，x tg x h 2)(=，其中 为偶函数．12．已知双曲线方程为191622=-y x ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 ．13．一底面半径为r 的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ．14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ．三、解答题15．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--= （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值16．已知数列}{n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列nn n x a b ⋅=（R x ∈），求数列}{n b 的前n 项和公式17．已知正三棱柱111C B A ABC -，底面边长为3，2331=AA ，D 为CB 延长线上一点，且BC BD =．（1）求证：直线1BC ∥面D AB 1； （2）求二面角B AD B --1的值； （3）求三棱锥11ABB C -的体积．18．已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b （1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（2）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，),(22y x D （02>y ），直线x k y 2=与椭圆次于),(33y x G ，),(44y x H （04>y ）．求证：4343121211x x x x k x x x x k +=+；（3）对于（2）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19．有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且a AC AB ==，b BC 2=，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）．（1）若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？（2）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20．设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件， ①0)1()1(=--f f②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤- （1）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1 （2）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f（3）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f 若存在请举一例，若不存在，请说明理由．2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12． )4(362--=x y 13．)(212b a r +π 14．44+π 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1. 所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nx x x x S x所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x时, )1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

2003年春季高校数学北京文科考试试卷

2003年春季高校数学北京文科考试试卷

绝密★启用前2003年普通高校春季招生数学(文)考试（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是 （ ）A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a > 2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于 （ ）A ．32 B ．32- C ．34- D ．－23．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是（ ）A ．－2B ．2C ．－21 D ．21 4．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是（ ）正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A ．tgC tgA <B ．ctgC ctgA < C ．C A sin sin <D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则（ ）A ．－π125B ．π125 C ．π127 D ． π1213 8．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ） A ．6 B ．12 C ．15 D ．30 11．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 （ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．函数12sin +=x y 的最小正周期为 . 14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR. 15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则 b 2的值是 .三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos1cos5cos6)(24xfxxxxf求+-=19．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）设)0)(0,(),0,(>-ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值)0(>aa，求P点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.。

春季招生(北京数学文)试卷及答案

春季招生(北京数学文)试卷及答案

2003年普通高等学 校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分..共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a > 2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B ．32- C ．34- D ．－23．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 ( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A ．－2B ．2C ．－21 D ．21 4．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( ) A ．tgC tgA < B ．ctgC ctgA <C．CA sin sin < D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．－π125B ．π125 C ．π127 D ． π1213 8．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是( )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )D10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为( )A ．6B ．12C ．15D ．30A BC11．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 ( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数12sin +=x y 的最小正周期为14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水（1）（2）面高度恰好升高r ，则=rR15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则 b 2的值是三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos 1cos 5cos 6)(24x f xx x x f 求+-=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）AC1A1设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A 10.D 11.B 12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π14．33215．（140）（85）16．32.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222>⇔⎩⎨⎧><>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或.故原不等式的解集是}3|{>x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos 5)(cos 6)(24x x x x f -+---=-)(),(2cos 1cos 5cos 624x f x f xx x 所以=+-=是偶函数.又当xx x x f Z k k x 2cos 1cos 5cos 6)(,,4224+-=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）解：3212221311=⋅⋅⋅⋅=-DBC D V . （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE. ∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1.∵BD 1⊄平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE ， ∴BD 1∥平面C 1DE.（Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， C 1C ⊥平面ABCD ，∴∠C 1H ⊥DE ， ∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC=2，CC 1=1，CE=1， ∴52121222=+⨯=⋅=DECE CD CH ，AC 1A 1∴2552111===∠CHC C HC C tg 即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P 的坐标为（x ，y ）. 由a yc x yc x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x .当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac 为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ， 整理得3)41(50132000164501)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f .所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，AC则,633021l tg l r =︒= .2130sin 11=︒=+---n n nn r r r r 所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→。

2003年普通高等学校春季招生全国统一考试数学试卷北京卷文

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2003年普通高等学校春季招生考试（文史类）（北京卷）数学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷参考公式：三角函数的积化和差公式：)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式lc c S )(21+'=台侧其中分别c ˊ，c 表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是（A ）a ＋c ＞b ＋d （B ）a －c ＞b －d （C ）ac ＞bd（D ）c b d a >（2）设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M ＋m 等于（A ）32（B ）32-（C ）34-（D ）－2（3）若x x x f 1)(-=，则方程f （4x ）＝x 的根是（A ）－2 （B ）2（C ）21-（D ）21（4）若集合{}{}1,2-====x y y P y y M x ，则MP ＝（A ）{}1>y y （B ）{}1≥y y（C ）{}0>y y（D ）{}0≥y y（5）若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C )2(π≠C ，则下列结论中正确的是 （A ）t a n A ＜t a n C （B ）c t a n A ＜c t a n C（C ）sin A ＜sin C（D ）c os A ＜c os C（6）在等差数列{}n a 中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（7）设复数iz i z 2321,121+=+-=，则=21arg z z（A ）π125-（B ）π125（C ）π127（D ）π1213（8）函数f （x ）＝∣x ∣和g （x ）＝x （2－x ）的递增区间依次是 （A ）(](]10，，，∞-∞- （B ）(][)∞+∞-，，，10（C ）[)(]10，，，∞-∞+ （D ）[)[)∞+∞+，，，10 （9）在同一坐标系中，方程12222=+b y a x 与ax ＋by 2＝0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（A ）6（B ）12（C ）15（D ）30（11）如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成的角的度数为（A ）90° （B ）60° （C ）45° （D ）0°（12）已知直线ax ＋by ＋c ＝0（abc ≠0）与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为∣a ∣， ∣b ∣，∣c ∣的三角形 （A ）是锐角三角形 （B ）是直角三角形（C ）是钝角三角形（D ）不存在 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. （13）函数y ＝sin2x ＋1的最小正周期为 .（14）如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则r R＝ .（15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.（16）如图，F1，F2分别为椭圆12222=+byax的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）解不等式：log2（x2－x－2）＞log2（2x－2）（18）（本小题满分12分）已知函数x xxxf2cos 1cos5cos6)(24+-，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. （19）（本小题满分12分）如图，ABC D－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1－DBC的体积;（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.（20）（本小题满分12分）设A（－c，0），B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0），求P点的轨迹.（21）（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？（22）（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆O n＋1与O n圆外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆O n的面积为a n（n∈N）（Ⅰ）证明{}na是等比数列.（Ⅱ）求)(21lim nnaaa+++∞→的值.。