第二章 一元函数微分学
一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。
§2-1 导数和微分
本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d()()dfxfxx。因此只要求出()fx的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。
一、重要概念和重要公式
1. 导数概念
000000000000()()()lim.()()()lim()()()lim.xxxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxx导 数：左导数：，右导数：
000()()().fxxfxfx在处可导
2. 导数的几何意义与物理意义
000000000()()(())()()().1()().()fxyfxxfxyfxfxxxyfxxxfx为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等. 3. 微分概念
000000()()()0d()()d()~d(0)d.()()().yfxxfxyyyfxxoxyfxxyyxyyxfxxfxx若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件
4. 幂指函数求导公式
()()[()]()[()ln()].vxvxuxuxvxux
- 1 - 三大微分中值定理
微分学是高等数学中的一个重要分支，其中微分中值定理是微分学中的基本定理之一。微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
首先是拉格朗日中值定理，它是微分学中最基本的中值定理之一。它断言，如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)，其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
其次是柯西中值定理，它是拉格朗日中值定理的推广。如果函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。
最后是罗尔中值定理，它是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特殊情况。如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
这三个中值定理在微分学中有着广泛的应用，它们为我们研究函数的性质提供了重要的工具和方法。
微分中值定理与积分中值定理的内在联系
微分和积分是高等数学中最重要的基本概念，它们之间存在着密切的联系。其中，微分中值定理和积分中值定理是非常重要的定理，它们之间存在着深刻的内在联系。
首先，微分中值定理是指在一定条件的情况下，可以将一定区间上的函数表达为函数在区间上的中点处的值乘以区间的长度，即:$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$其中，f(x)表示函数，a和b表示区间边界，c表示区间中点。
而积分中值定理是指在一定条件下，可以将一定区间上的函数表达为函数在区间上的某个点处的值乘以区间的长度，即:$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$其中，f(x)表示函数，a和b表示区间边界，c表示区间上的某个点。
从上述定理可以看出，微分中值定理和积分中值定理之间的内在联系就是：在满足同样条件的情况下，它们的表达式都是一样的，只是积分中值定理中的点可以是任意的点，而微分中值定理中的点只能是中点。
此外，微分中值定理和积分中值定理还有一个重要的联系，就是它们可以互相推导。例如，将积分中值定理应用于微分中值定理，可以得出：在一定条件下，函数在区间上的某个点处的导数等于函数在区间上的中点处的值，即:$$\frac{d}{dx}\int_a^bf(x)dx=f(c)$$从上述推导可以看出，微分中值定理和积分中值定理之间存在着密切的内在联系，它们可以互相推导。
总之，微分中值定理和积分中值定理之间存在着密切的内在联系，它们可以互相推导，这也是它们最重要的特点。它们的存在使我们能够更好地理解高等数学中的重要概念，从而更好地应用数学到实际生活中。
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第四章 微分中值定理和导数的应用
微分中值定理
费马引理：设函数y=f(x) 在点 的一个邻域 上有定义，并在 可导，假如
（或 ）
则
一、罗尔(Rolle) 定理
罗尔（Rolle）定理
假如函数f(x) 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，
即f(a)=f(b) ，那么在（a,b）内起码有一点 ，使得函数 f(x) 在该点的导数等于零，即
。
几何解说:
在曲线弧AB上起码有一点 C，在该点处的切线是水平的。
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2 例1.判断函数 ，在[-1，3]上能否知足罗尔定理条件， 若知足，求出它的驻点。
【答疑编号 11040101】精选文档
3
解
知足
在[-1
，3]上连续，在（
-1，3）上可导，且
f(-1)=f(3)=0
，
∵
，取
例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)
，判断
有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号 11040102】精选文档
4
二、拉格朗日(Lagrange) 中值定理
1.拉格朗日(Lagrange) 中值定理
假如函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，在开区间（
a，b）内
可导，那么在（
a,b
）内起码有一点
，使等式
成立。
注意：与罗尔定理对比条件中去掉了
f(a)=f(b)
2.
结论亦可写成 。
几何解说: 精选文档
5
在曲线弧AB上起码有一点 C，在该点处的切线平行于弦 AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理
例3（教材162页习题，3题（2）题）、判断 f(x)=sinx 在 上能否知足拉格朗日中
值定理。
【答疑编号 11040103】 精选文档
6
推论1 假如函数 f(x) 在区间I上的导数恒为零，那么 f(x) 在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题，4题）、证明【答疑编号11040104】
