无锡市2009届高三上学期期末调研考试(数学)

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ICME－7

图甲 O A1 A2 A3 A4 A5

A6

A7

A8 图

无锡市2009届高三第一学期期末质量调研

数学试题

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：如果事件BA,互斥，那么BPAPBAP．

A．必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 设集合102Mxx，210Nxx，则MNI ▲ ．

2． 已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝ ▲ ．

3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．

说明：本题关注一下：222,().iiiixaxbxaxbSaS

4． 幂函数()yfx的图象经过点1(2,)8，则满足()fx＝27的x的值是 ▲ ．

5． 下列四个命题：

①2nnnR，≥； ②2nnnR，；

③2nmmnRR，，；④nmmnmRR，，．

其中真命题的序号是 ▲ ．

说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R改成Z，真命题的序号是①④，如果R改成复数集C呢？

6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OAAAAAAA，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,nOAOAOA的长度构成数列na，则此数列的通2 项公式为na

＝ ▲ ．

说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识．

7． 以下伪代码：

Read x

If x≤ 0 Then

()fx← 4x

Else

()fx←2x

End If

Print ()fx

根据以上算法，可求得(3)(2)ff的值为 ▲ ．

说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．

8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1，A2，A3，A4，A5，A6六个点．则

122323343445455656616112AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA＝ ▲ ．

说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||iiAA的求法就不一样了，难度会加大．

9． 若()sin()1 (0,||

()cos()1gxAx，则π()3g ▲ ．

说明：注意对称性．

10．已知函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2） ▲ f（a＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）

说明：注意函数y＝f（| x |）是偶函数．比较f（－2）与f（a＋1）的大小只要比较－2、

a＋1与y轴的距离的大小．

11．过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若2CBBFuuruuur，

则直线AB的斜率为 ▲ ．

说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解． 3 12．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm．

说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题．

13．若不等式组0,22,0,xyxyyxya≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是

▲ ．

说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．

14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc≤≤，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m表示）．

说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c＝m再探究．本题也可以用线性规划知识求解．

填空题答案：

1．1122xx 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 6．n 7．－8 8．3 9．－1

10．< 11．3 12．23614π 13．4(0,1][,)3U 14．(1)2mm

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且tan21tanAcBb．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m(0,1)，n2cos,2cos2CB，试求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ）tan2sincos2sin11tansincossinAcABCBbBAB，„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

即sincossincos2sinsincossinBAABCBAB，

∴sin()2sinsincossinABCBAB，∴1cos2A． „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

∵0πA，∴π3A．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

（Ⅱ）mn 2(cos,2cos1)(cos,cos)2CBBC，

|mn|222222π1πcoscoscoscos()1sin(2)326BCBBB．„„„„10分

∵π3A，∴2π3BC，∴2π(0,)3B． 4 A B

C D DC1 BA从而ππ7π2666B．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

∴当πsin(2)6B＝1，即π3B时，|mn|2取得最小值12．„„„„„„„„13分

所以，|mn|min22．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

评讲建议：

本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

16．（本小题满分14分）

直棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，222ABADCD．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与

平面ACB1都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCDABCD中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC． „„„„„„2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，222ABADCD，

∴2AC，∠CAB＝45°，∴2BC， BC⊥AC．„„„„„„„„„„„„5分

又1BBBCB，1,BBBC平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C． „„„„„„7分

（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝12AB．„„„„„„„„„„„„„„9分

又∵DC‖AB，DC＝12AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1，

∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1．„„„„„„„„„„„„13分

同理，DP‖面BCB1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这5 里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

17．（本小题满分15分）

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．„„„„„„„„2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， „„„„„„„„4分

所以51()255PA． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

答：编号的和为6的概率为15．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

（Ⅱ）这种游戏规则不公平．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， „„„„„„„„„„„„„„„„„10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝1325，从而乙胜的概率P（C）＝1－1325＝1225．„„„„14分

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． „„„„„„„„„„„„15分

评讲建议：

本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．）