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初中线段相等、比例关系的证明方法

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资料.
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在
有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等
这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角
形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可
考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。
注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），
那么可能要用到旋转全等或相似

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，
且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

注：添加辅助线，构造全等三角形
二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］ 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，
且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。

注：辅助线是中线倍长法
.

资料.
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与
BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC
的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，

求证：EF=FD。（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）
注：构造平行四边形

［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和
AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。
注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化
证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD
.
资料.
∴四边形BACA′是平行四边形
∴BA=A′C
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG

∵HF//AC，∴
又∵，HF=AG，BA=A′C
∴BH=EG
∴四边形BEGH是平行四边形
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。
［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，
且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。

证明：DM=EM。
注：辅助线取斜边中点
.

资料.
［例2］ 如图所示,△ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的
中点.

求证：四边形DEFG为平行四边形.
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中
线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

［例］1已知：在△ABC中，M是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC。
求证：EM＝FM

C
B
A

E
F

M
［例］2如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连
接AG，求证：AG=AD。

六、利用等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

如果所证线段在一条直线上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法
［例］如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，
则DF的长为______．
.

资料.
七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法

［例］
已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，

则△ADE的周长等于 _________ ．

注：1、补充2016年安徽中考解答题第23题第2小问是中垂线的性质
2、三角形三条中垂线交于一点

八、角平分线上任一点到角的两边距离相等
适用于有角平分线和垂直的图形

［例］如图, ∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA垂足
为D,若PC=4,则PD= .
.

资料.
注：1、补充2013年安徽省中考解答题第23题第3小问
2、三角形三条角平分线交于一点

九、圆的性质和定理
同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、
圆周角所对的弦相等，圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等，圆外一点引
圆的两条切线的切线长相等

［例］1如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB=CD.求证：AE=CE.
注：辅助线AC不一定经过O

［例］2如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，
连结ED、BE．试判断DE与BD是否相等，并说明理由；

A
O

B C D
E
.

资料.
十、等积法

面积相等，等底或等高可以转化
［例］如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上一点,F是AD上一点,且CF=AE,AE
交CF于点O.求证：OB平分∠AOC.

十一、长度相等：测量法
适用于选择题或填空题，解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数

十二、等量转化：等于同一线段的两条线段相等以上都可以用
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相
似三角形。
一、 添加平行线
（1） 添加三角形内的平行线段
添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且
.
资料.
和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对
应成比例”的性质证明线段成比例。在几何命题中，如果出现一组（或两组）相
比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。

［例］1、如图，已知AD是△ABC的外角平分线，AD与BC的延长线交于D。
求证：BD:CD=AB:AC

［例］2、如图，点D在△ABC的AC边上，且AD=BE。求证:EFACFDBC.
［例］3、如图，已知BD:DC=5:3,E为AD的中点，求BE:EF的值.

F
D
C
B

A
F

D

C
B

E

A

F
E

D
C
B

A
.

资料.
(2)添加三角形外的平行线
添加的方法是过端点作平行线
［例］1、如图，已知在△ABC中，AD平分BAC，求证：ABBDACDC.

［例］3、已知△ABC中，AD为中线，E、F分别在AB、AC上，且AE=AF,EF
交AD于G，求证：GEACGFAB.（过B、C分别作EF的平行线）

二、利用三角形相似的性质
［例］1、如图，已知△ABC中，090ACB，D是AB的中点，过D作AB的
垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证： DC
²=DE·DF

H
G
F
E

D
C
B

A

F
E
D
C
B

A

D
C
B

A

F
E
C
B
D
A
.
资料.
［例］2、如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，过D作AB
边上的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H.求证：DF ²=GF·HF

三、利用面积比求比例关系
（1）相似三角形性质面积比等于相似比的平方
［例］如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACBCABAC，那么称点C为线段
AB
的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想
到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图
形分成两部分，这两部分的面积分别为1S、2S，如果121SSSS，那么称直线
为该图形的黄金分割线.
（1）如图2，在△ABC中，36A°，ABAC，C的平分线交AB于点D，
请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的
黄金分割线，并证明你的结论；
.
资料.
S
△ACE

（2） 非相似三角形用等底或等高转化
［例］
如图△ABC中D为BC上任一点，E为AD或延长线上一点。
（3） S△ABE

(2)EDADEBCSSABC

四、利用长度关系求比例
A

B C D
E

=
BD
CD
求证:
(1)

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15.比例式、等积式的常见证明方法

15.比例式、等积式的常见证明方法


典例精解

类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC 的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
初中数学知识点精讲课程
比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学 生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人 眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许 多等积式的证明也是有规律可循的。
典例精解
F
∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
变式题
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∴∠D＝∠B＝90°－∠C
∵∠BAC＝90°，
平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

专题14证明线段相等的常用方法

专题14证明线段相等的常用方法

证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

例举线段相等的证明方法

例举线段相等的证明方法

例举线段相等的证明方法作者：黄文军来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决例如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形分析与解（）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AE⊥BC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF（2）如图4，连结AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得△AEB≌△AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形点评此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF分析与解（）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出△ABC≌△CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出△AFD≌△CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出△ABE≌△CDF；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以△AFD≌△CEB （AAS），所以BE=DF点评本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明△ABE≌△CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b（）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由分析与解（）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b（2）因为EF⊥AB，所以EG∥BC，所以EG∶BC=DE∶DC，即EG∶b=a∶（a+b），所以EG=点评一道大题目下，如果有几个小问题，而且这几个小问题都没有增添附加条件，那么前面小问题的结论，就可以作为解决后续小问题的条件本题充分运用平行线成比例线段，设而不求，分别用字母a、b表示所证线段EG、FG，通过计算、比较获得结论在具体写比例式时，用直线BD上的三条线段DG、BG、BD作为桥梁进行过渡，也是成功解决线段相等问题的关键。