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2018年数学一轮复习专题7.2一元二次不等式及其解法(练)

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1 专题7.2 一元二次不等式及其解法

【基础巩固】

一、填空题

1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

【答案】9

2．对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．

【答案】{x|x<1或x>3}

【解析】x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，

即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，

在k∈[－1,1]时恒成立．

只需g(－1)>0且g(1)>0，即 x2－5x＋6>0，x2－3x＋2>0，

解之得x<1或x>3.

3．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________． 2 【答案】{x|－1

【解析】∵2x2－x<4＝22，

∴x2－x<2，即x2－x－2<0，

解得－1

4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．

【答案】[0,4]

【解析】由题意知a＝0时，满足条件．

a≠0时，由 a＞0，Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.

5．已知函数f(x)＝ x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f(x)＞3的解集为________．

【答案】{x|x＞1}

【解析】由题意知 x≥0，x2＋2x＞3或 x＜0，－x2＋2x＞3，解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．

6．(2017·盐城期中)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】[－1,4]

7．(2017·扬州期末)若关于x的不等式ax＞b的解集为－∞，15，则关于x的不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为________．

【答案】－1，45

【解析】由已知ax＞b的解集为－∞，15，可知a＜0，且ba＝15，将不等式ax2＋bx－45a＞0两边同除以a，得x2＋bax－45＜0，即x2＋15x－45＜0，解得－1＜x＜45，故不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为－1，45.

8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】－22，0

【解析】二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，

都有f(x)＜0成立， 3 则 fm＝m2＋m2－1＜0，fm＋＝m＋2＋mm＋－1＜0，

解得－22＜m＜0.

二、解答题

9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.

(1)解关于a的不等式f(1)＞0；

(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．

10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

解 (1)由题意得，y＝1001－x10·1001＋850x.

因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.

所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，

定义域为x∈[0,2]．

(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，

化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.

所以x的取值范围是12，2.

【能力提升】

11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则 4 不等式f(－2x)＜0的解集是________．

【答案】x|x>12或x<－32

12．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为x|x<12或x>3，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是________．

【答案】{x|－ln 2

【解析】法一 依题意可得f(x)＝ax－12(x－3)(a<0)，则f(ex)＝aex－12(ex－3)(a<0)，由f(ex)＝aex－12(ex－3)>0，可得12

法二 由题知，f(x)>0的解集为x12

13．(2017·无锡模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．

【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，

则有a2＝1，故a＝2.

由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．

∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， 5 令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.

14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．

解 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.

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2018届二轮 一元二次不等式及其解法 专题卷(江苏专用)

2018届二轮 一元二次不等式及其解法 专题卷(江苏专用)

1 专题7.2 一元二次不等式及其解法

一、填空题

1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝1x－1的定义域，则A∩B等于________

【解析】A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1

2. 不等式组 x2－4x＋3<0，2x2－7x＋6>0的解集是________

【解析】 ∵x2－4x＋3<0，∴10，∴(x－2)(2x－3)>0，∴x<32或x>2，∴原不等式组的解集为1，32∪(2,3)．

3.已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为－13，12，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．

【答案】(－2,3)

【解析】依题意知， －13＋12＝－2a，－13×12＝ca，∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2

4．若不等式组 x2－2x－3≤0，x2＋4x－1＋a≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________

5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________

【解析】 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－235，故a的取值范围为－235，＋∞.

6．在R上定义运算：ac bd＝ad－bc，若不等式x－1a＋1 a－2x≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________ 2 【解析】由定义知，不等式x－1a＋1 a－2x≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴a2－a≤34，解得－12≤a≤32，则实数a的最大值为32.

高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等

高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等

1 §7.2 一元二次不等式及其解法

最新考纲

考情考向分析

1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.

1．“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2

(x1

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2}

x x≠－b2a {x|x∈R}

一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x

2.常用结论

(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab 2 (x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}

(x－a)·(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间．

知识拓展

(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．

(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )

高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法教师用书文苏教版

高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法教师用书文苏教版

1 7.2 一元二次不等式及其解法

1.“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根 有两个相异实根

x1，x2(x1

x1＝x2＝－b2a 没有实数根

一元二次不等式

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，－b2a)∪

(－b2a，＋∞) R

一元二次不等式

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅

2.常用结论

(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab

(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}

(x－a)·(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间.

【知识拓展】

(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.

( √

)

1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是______________.

高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法教师用书理新人教版

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1 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法教师用书 理 新人教版

1．“三个二次”的关系

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1

＝－b2a 没有实数根

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－b2a} {x|x∈R}

一元二次不等式ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集 {x|x1< x

2.常用结论

(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab

(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}

(x－a)·(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间．

【知识拓展】 2 (1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．

(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √

)

1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是( )

A．(－2,5) B．(5，＋∞)