绝对值化简PPT课件

第4讲 绝对值化简求值（二）

【学习目标】

1. 熟练掌握零点分段法及其应用

2. 了解绝对值相关构造问题

【专题分类】

（1）无范围的绝对值化简：

（2）绝对值综合应用：

模块一 无范围的绝对值化简（零点分段法）

基础夯实

【回顾】化简下列各式

（1）1a（a＜1） 12a（21＞a）

（2）21xx（21＜＜x） 21x（31＜＜x）

【思考】上述化简题目均给出了字母的取值范围，因此可以知道绝对值里面的正负，容易化简，如果题目不给字母范围，又该如何化简呢？

【例1】花嫁尼下列式子：（1）1a （2）12a

【练1】化简53a

强化挑战

【例2】化简：（1）21xx （2）xx21

【练2】化简（1）322xx

（2）xxxx4131121

【例3】化简：21x

【练3】化简：312x

【例4】化简：351x

【练4】化简：121xx

【例5】化简：xx23

【练5】化简：xx32

模块二 零点分段法的应用

强化挑战

【例6】求23xxy的最小值，并求此时x的值.

【练6】求51xxy的最大值和最小值.

【例7】证明恒等式：112312xxxx

【练7】若aaa31542的值是一个定值，求a的取值范围.

【例8】解方程：（1）321xx （2）231xx （3）321xx

【练8】解方程：（1）121xx （2）531xx （3）431xx

内容 基本要求 略高要求 较高要求

绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值

会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.

求字母a的绝对值：

①(0)0(0)(0)aaaaaa ②(0)(0)aaaaa ③(0)(0)aaaaa

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0abc，则0a，0b，0c

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；

（2）若ab，则ab或ab；

（3）abab；aabb(0)b；

（4）222||||aaa；

（5）ababab，

对于abab，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立；

对于abab，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立．

绝对值几何意义 当xa时，0xa，此时a是xa的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．

例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．

再根据绝对值的概念，得

｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．

于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

例3 已知x＜-3，化简：

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

=｜3+｜3+x｜｜

=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

=｜-x｜=-x．

解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．

(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；

(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；

(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．

(1)当y=2时，x+y=-1；

(2)当y=-2时，x+y=-5．

所以x+y的值为-1或-5．

化简绝对值的方法

化简绝对值的方法有两种：用定义法和用性质法。

1. 定义法：根据绝对值的定义，可以将绝对值表达式拆分成两个不同的情况进行化简。如果x≥0，那么 x = x；如果x<0，那么 x = -x。通过这种方法，可以将绝对值表达式拆分成两种情况，每种情况下可以简化为一个非负数。

2. 性质法：绝对值有一些基本性质，可以通过这些性质化简绝对值表达式。其中一些基本性质包括：

(a) x = -x ；

(b) x · y = x · y ；

(c) x / y = x / y （前提是y不等于0）；

(d) x + y ≤ x + y （三角不等式）。

利用这些性质，可以对绝对值表达式进行一系列的代换和化简操作，使得最终的表达式更简单。这种方法通常更适用于复杂的绝对值表达式。