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数学建模题（5）

1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A、B、C三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

A B C

甲 9 %

4 3 70

乙 4 6 10 120

360 ！

200 300

试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z是产品售后的总利润，则

max z =70x1+120x2

.

0300103200643604921212121xxxxxxxx，

2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下：

!

甲 乙 可用量

原材料（吨/件）

工时（工时/件）

零件（套/件） 2 2

5

1 3000吨

4000工时

>

500套

产品利润（元/件） 4 3

建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。

解：设甲、乙两种产品的生产数量为x1、x2，

设z为产品售后总利润，则max z = 4x1+3x2

.

0,50040005.253000222112121xxxxxxx

,

3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示： 技术服务 劳动力 行政管理 单位利润

甲 1 10 2 ）

10

乙 1 4 2 6

丙 1 5 6 ·

4

资源储备量 100 600 300

建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：建立线性规划数学模型：

设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x1、x2、x3，则x1、x2、x3≥0，设z是产品售后的总利润，则

max z =10x1+6x2+4x3

…

.

03006226005410100321321321321xxxxxxxxxxxx，，

4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。

序号 1 2 3 4 5 6 @

7

物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备

重量/Kg ，

5 5 2 6 12 2 4

重要性系数 20 15 )

18 14 8 4 10

试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。

解：引入0—1变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品I

7,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321ixxxxxxxxxxxxxxxnaxzi或

5、工厂每月生产A、B、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示：

A B C 资源限量

材料（kg） {

4 2500 :

产 品 资

源 设备（台时） 3 1400

利润（元/件） 10 ！

14 12

根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。

解：设每月生产A、B、C数量为321,,xxx。

321121410xxxMaxZ

250042.15.1321xxx

14002.16.13321xxx

2501501x

3102602x

—

1301203x

0,,321xxx

6、A、B两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要任何费用，产品C一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A、B、C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费用为1元。预测表明，产品C最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。

解：设每月生产A、B数量为,,21xx销毁的产品C为3x。

33221)2(273xxxxxMaxZ

11221xx

173221xx

13232xx

0,,321xxx

7、靠近某河流有两个化工厂（参见附图），流经第一化工厂的河流流量为每天5003m，在两个工厂之间有一条流量为200万3m的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万3m，第二化工厂每天排放该污水万3m。从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中的污水含量不应大于%。这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元/万3m，第二化工厂的为800元/万3m。现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少列出数学模型，不求解。

^

附图： ¤工厂1 ¤工厂2

500万3m 200万3m

解：设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天1x3m和x2万3m，

218001000minxxZ

st0,4.16.18.021212211xxxxxx

8、消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养成分（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这3种营养物，其分别含有各种营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量（单位都略去）见下表。

甲 乙 丙 至少需要的营养成分数量

A 4 6 20 80

：

B 1 1 2 65

C 1 0 3 70

`

D 21 7 35 450

价格 25 20 45

&

问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少只建立模型，不用计算。

解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为321xxx和、， 则根据题意可得如下线性规营养物

! 划模型：

0,,45035721703652802064..452025min32132131321321321xxxxxxxxxxxxxxtsxxxz

9、某公司生产的产品A，B，C和D都要经过下列工序：刨、立铣、钻孔和装配。已知每单位产品所需工时及本月四道工序可用生产时间如下表所示：

刨 立铣 钻孔 装配

A ·

B . .

C 】

D

可用生产时间（小时） 《

1800 2800 3000 6000

又知四种产品对利润贡献及本月最少销售需要单位如下：

产品 最少销售需要单位 元/单位

A —

100 2

B 600 3

C 500 1

D 400 :

4

问该公司该如何安排生产使利润收入为最大（只需建立模型）

解：设生产四种产品分别x1,x2,x3,x4单位

则应满足的目标函数为：max z=2 x1+3 x2+ x3+ x4

满足的约束条件为：

123412341234123412340.50.51800228000.50.530003236000100600500400xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 10、某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机和2架小型客机，现要安排从一机场到4城市的航行计划，有关数据如表1-5，要求每天到D城有2个航次（往返），到A,B,C城市各4个航次（往返），每架飞机每天只能完成一个航次，且飞行时间最多为18小时，求利润最大的航班计划。

客机类型 到达城市 %

飞行费用（元/次） 飞行收入（元/次） 飞行时间（h/d）

大型 A 6000

7000

8000

10000 )

5000

7000

10000

18000 1

2

5

10 B

C

D

中型 A 1000

2000

4000

---- % 3000

4000

6000

---- 2

4

8

20 B

C

D

小型 A 2000

3500

6000

---- <

4000

5500

8000

---- 1

2

6

19 B

C

D

解：设大型客机飞往A城的架次为x1A，中型客机飞往A城的架次为x2A，小型客机飞往A城的架次为x3A，其余依此类推。

资源限制 派出的大型客机架次不能超过10架，表示为

111110ABCDxxxx

同理 222333152ABCABCxxxxxx

班次约束 飞往各城的班次要满足

1231231231234442AAABBBCCCDDDxxxxxxxxxxxx

非负性约束 0ijx 且为整数；（i=1,2,3;j=A,B,C,D）

？

目标函数为 111222333max100002000200020002000200020002000ABCABCABCzxxxxxxxxx1D－8000x+

11、 CRISP公司制造四种类型的小型飞机：AR1型（具有一个座位的飞机）、AR2型（具有两个座位的飞机）、AR4型（具有四个座位的飞机）以及AR6型（具有六个座位的飞机）。AR1和AR2一般由私人飞行员购买，而AR4和AR6一般由公司购买，以便加强公司的飞行编队。为了提高安全性，联邦航空局（）对小型飞机的制造做出了许多规定。一般的联邦航