2015年高二数学学业水平模拟试卷(3)及答案解析

2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一满分150分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}{}1,2,5,7,31,A B xx n n ===-∈N ∣，则A B = （）A ．{2}B ．{1,7}C ．{2,7}D ．{2,5}2．已知数列{}n a 为等差数列，且1233a a +=，2346a a a ++=，则8a =（）A ．4B ．5C ．6D ．73．设,x y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．44．函数()0f x -=）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．“14a =”是直线1l ：()2110a x ay --+=与直线2l ：210x ay +-=平行的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()()4,0,4,0,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若()()11f a f +<，则实数a 的取值范围为（）A ．()6,4-B ．()2,0-C ．[]6,4-D ．[]2,0-7．在ABC V 中，若sin sin 2A CBC AC A +=，则角B =（）A ．π4B ．π6C ．π2D ．π38．已知一批产品中有90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（）A ．0.855B ．0.856C ．0.86D ．0.8659．在ABC V 中，已知a =，4b =，3c =，则cos A =（）A ．12B C D ．2-10．若(2)(1)0x x +-<，则x 的取值范围为（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(2,1)--11．要得到sin 2y x =的图象，只需把πcos 2y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上所有点的（）A ．横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．纵坐标变为原来的12倍，横坐标不变D ．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变12．已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若(1)(6)0x x +-<，则x 的取值范围为.14．已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =.15．已知()3f x x a =+是奇函数，则实数a 的值为．16．若,0x y >，且36xy =，则x y +的最小值是．17．若幂函数()af x x =的图象过点()2,8，则()2f -=．18．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则不等式()()1f x f >的解集是.三、解答题19．已知函数()1sin 2f x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.20．在ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +-=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC V 是锐角三角形，a b c +的取值范围.21．为了了解某校女生视力情况，某中学对女生视力进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率[)0.85,0.9510.02[)0.95,1.0540.08[)1.05,1.15200.40[)1.15,1.25150.30[)1.25,1.3580.16[]1.35,1.45m n 合计MN(1)求出表中m ，n ，M ，N 所表示的数分别是多少？(2)将频率分布直方图补充完整；(3)利用组中值计算女生视力的平均值.22．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1DD ⊥底面ABCD ，点P 为1DD 的中点.求证：BD平面PAC；(1)直线1//BDD 平面PAC.(2)平面1参考答案一．单项选择1．D【分析】根据交集的定义求解.【详解】因为集合{}{}1,2,5,7,31,A B xx n n ===-∈N ∣，所以1,2,5,7B B B B ∉∈∈∉，所以{}2,5A B ⋂=.故选：D.2．D【分析】先利用等差数列的性质可得32,a a ，进而可得公差，再利用2a 和公差求出8a .【详解】由等差数列的下角标性质可知123233a a a a ++==，得21a =，234336a a a a =+=+，得32a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则321d a a =-=，所以826167a a d =+=+=.故选：D.3．B【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出,x y ，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解.【详解】由题可得111101112242x y x y y ⨯+⨯+⨯=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-==⎩⎪-⎩，所以向量()1,1,1a = ，()1,2,1b =- ，所以()2,1,2a b +=-，所以3a b +== .故选：B.4．D【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解.【详解】对于()0f x =，有21020x x -≠⎧⎨->⎩，解得2x <且12x ≠，所以函数()f x 的定义域为11,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．C【分析】先根据12//l l 求出a ，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由1l ：()2110a x ay --+=与2l ：210x ay +-=平行，则()221a a a -=-，解得14a =或0a =，当14a =时，1111:024l x y --+=，即1202x y +-=，21:102l x y +-=，满足12//l l ；当0a =时，10:1l x -+=，即10x -=，2:10-=l x ，两直线重合，不符合题意.所以“14a =”是直线1l ：()2110a x ay --+=与直线2l ：210x ay +-=平行的充要条件.故选：C.6．B【分析】根据分段函数表示()1f a +和()1f ，再求解不等式.【详解】由题可知()15f =，()()()()()15,1113,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨+-<-⎪⎩，因为()()11f a f +<，则当1a ≥-时，()()155a a ++<，解得60a -<<，故10a -≤<；当1a <-时，()()135a a +-<，解得24a -<<，故21a -<<-，综上可知，a 的取值范围为()2,0-．故选：B 7．D【分析】根据正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的内角和即可求得.【详解】由正弦定理可知，sin sin 2A CBC AC A +=可化为sin sin 2A C a b A +=，又πABC ++=，则πsinsin 2B a b A -=，即cos sin 2a A Bb =，再根据正弦定理可知，cos sin sin 2sin BB A A =，又sin 0A ≠，即cos2sin cos 222B B B=，则1sin 22B =，又0πB <<，所以π3B =.故选：D.8．B【分析】记事件:A 抽取的一个产品为合格品，事件:B 抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得()P B 的值.【详解】记事件:A 抽取的一个产品为合格品，事件:B 抽查一个产品被判为合格品，则()0.9P A =，()0.95P B A =，()0.01P B A =，由全概率公式可得()()()()()0.90.950.10.010.856P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为0.856.故选：B.9．A【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】在ABC V 中，已知a =，4b =，3c =，由余弦定理，得224313169131cos 243242A +-+-===⨯⨯.故选：A ．10．A【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由(2)(1)0x x +-<，解得2<<1x -，则x 的取值范围为(2,1)-.故选：A.11．A【分析】根据诱导公式可得πcos sin 2x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，再根据三角函数的伸缩变换求解即可.【详解】因为πcos sin 2y x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以要得到sin 2y x =的图象，只需把sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变.故选：A.12．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C 二．填空题13．16x -<<【分析】由一元二次不等式的解法求出即可；【详解】(1)(6)0x x +-<，解得16x -<<，所以x 的取值范围为16x -<<，故答案为：16x -<<.14．1【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.15．0【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】由()3f x x a =+是奇函数，得()()f x f x -=-，则()33x a x a -+=-+，则0a =.故答案为：0.16．12【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为,0x y >，且36xy =，所以12x y +≥.故答案为：12.17．8-【分析】根据幂函数的图象经过点()2,8，先求a 的值，再求对应的函数值.【详解】由()28f =⇒28a =，所以3a =，即()3f x x =.所以()()3228f -=-=-.故答案为：8-18．()()3,13,-+∞ 【分析】由函数解析式可得()13f =，按0x ≥时()3f x >和0x <时()3f x >讨论，取并集即可.【详解】解：因为函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，所以()11463f =-+=，当0x ≥时，由()()1f x f >可得2463x x -+>，即()()243310x x x x -+=-->，解得3x >或1x <，因为0x ≥，所以3x >或01x ≤<，当0x <时，由()()1f x f >可得63x +>，解得3x >-，所以30x -<<，综上31x -<<或3x >，故答案为：()()3,13,-+∞ 三．解答题19．(1)πT =；(2)π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【详解】（1）因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．(1)12(2)(3,【分析】（1）利用余弦定理可求出cos A 的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据题意求出角B 的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得b c +的取值范围.【详解】（1）因为222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.（2）因为1cos 2A =，()0,πA ∈，则π3A =，由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，所以，()π2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C B A B B B ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6B B B B B B ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭，因为ABC V 为锐角三角形，则π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以，ππ2π363B <+<，则πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故(π3,6b c B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭.即b c +的取值范围是(3,.21．(1)2m =，0.04n =，50M =，1N =(2)直方图见解析(3)1.162【分析】（1）由数据组[)0.85,0.95的频数为1，频率为0.02，求出样本容量M ，进而求出,,m n N 的值；（2）根据样本的频率分布表，计算出[)1.05,1.15，[)1.15,1.25组对应矩形块的纵坐标，画出频率分布直方图；（3）根据用频率分布直方图估算平均数公式计算得解.【详解】（1）由数据组[)0.85,0.95的频数为1，频率为0.02，则10.02M=，得50M =，5014201582m ∴=-----=，所以20.0450n ==，1N =.（2）根据题意，变量落在区间[)1.05,1.15的频率为0.4，则该组[)1.05,1.15对应矩形块的高为0.440.1=，同理，组[)1.15,1.25对应矩形块的高为0.33 0.1=，补全直方图如下：（3）根据题意，女生视力的平均值为0.020.90.0810.4 1.10.3 1.20.16 1.30.04 1.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.162=.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设AC BD O=，连接OP，可证1//PO BD，故由线面平行的判定定理可得1//BD平面PAC.（2）由线面垂直的判定定理可证AC⊥平面1BDD，故可得平面1BDD⊥平面PAC.【详解】（1）设AC BD O=，连接OP，∵底面ABCD是菱形，∴O为BD的中点，又∵P是1DD的中点，∴1//PO BD，又PO⊂平面PAC，1⊄BD平面PAC，∴直线1//BD平面PAC.（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC BD⊥.又1DD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴1AC DD⊥.又1BD DD D=，BD⊂平面1BDD，1DD⊂平面1BDD，∴AC⊥平面1BDD，∵AC⊂平面PAC，∴平面1BDD⊥平面PAC.11。

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15，∴y2＜y1＜y3.
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方法二：解：设点 A、B、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为 d1、d2、d3，∵y= （x 2) 2 1 ∴对称轴为直线 x=2，∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4∵2- 2 ＜2＜4，且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3. 方法三：解：∵y=
（ 2， 1） （ 2， 2） （ 3， 1） （ 3， 2）
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或画树状图如解图：
第一次 第二次 1 2
1 23 12
2 2
2
3
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3 1 2 23 1 2 2 3 第 13 题 解 图 由 列 表 或 树 状 图 可 得 所 有 等 可 能 的 情 况 有 16 种 ， 其 中 两次抽出卡片所标数字不同
[ 中 国 教 育 @ 出 ~ ^ 版 * 网 & ]
的 情 况 有 10 种 ， 则 P=
10 5 ． 16 8
B E
14. 如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90° ，点 C 为 OA 的中点， CE⊥OA 交 AB 于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径 作 CD 交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为
（x 2)
2
1 ，∴对称轴为直线 x=2，∴点 A(4, y1)关于 x=2
的对称点是（0，y1）.∵-2＜0＜ 2 且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.
13. 现有四张分别标有数字 1，2，3，4 的卡片，它们除数字外完

2025广东学业水平考试（春季高考）数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1,2- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤03.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．124.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．206．已知213log =a ，b=B ，c=B ，则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜a D．c＜b＜a7.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.αγ⊥，//βγαβ⊥⇒ B.m α⊥，//n m nα⊥⇒C.//m α，////n m n α⇒D.//m α，////m βαβ⇒8．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，)(x f =log 3（1+x ），则)2(-f =（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．39．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球10．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（）A．y=B．y=C．y=l (a>0，且a≠1)D．y=l a x (a>0且a≠1)11.已知函数()lg ,02,0xx x f x x >⎧=⎨<⎩，若110a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f a 的值是（）A.2- B.1- C.110D.1212.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A ．B ．C ．D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.函数()cos 2f x x =的最小正周期是_____．14．已知向量(,3),(1,1)am b m ==+．若a b ⊥，则m =．15．设一组样本数据x 1，x 2，...，x n 的平均数是3，则数据2x 1+1，2x 2+1，...，2x n +1的平均数为.16.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝______cm 2.18.若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝1，则α＋β＝_________．三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，=2c ，30B =︒（1）求b （2）求sin A 的值20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成绩的0080分位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年．．的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()4011035C x x x =≤≤+，设y 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求y 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用y 达到最小，并求最小值．22.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥P­ABC的体积．一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1B.{}1,0,1,2-C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合M N ⋃.【详解】因为集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，因此，{}1,0,1,2M N ⋃=-.故选：B 2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤0【答案】C【解析】解：命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”是特称命题，特称命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是“∀x＜0，x 2+2x-m≤0”.故答案为：C.3.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】C【分析】先化简求出z ，即可得出答案.【详解】因为()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以z 的虚部为12-.故选：C.4.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-【答案】A【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解.【详解】点()1,2-到原点的距离为22(1)25-+=，所以225sin 55α==，15cos 55α-==-，5sin cos 5αα+=,故选：A.5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．20【答案】D【解析】由题意可得110=160+30+10，所以m=20，选D。

2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.43.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥4.函数()1xf x x =+-的定义域是（）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞5.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.67.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-8.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥ B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β10.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．2711.若一个圆台的高为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.3B.3C. D.12.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >13.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为4的矩形C.面积为D.面积为324的菱形14.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)15.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）A.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -16.要得到函数()1sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 43a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.18.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0ax b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．19.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.20.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率________．21.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．24.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（参考答案）二、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.25.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【解析】C 依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .26.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【解析】D 因为21>，所以()24f =.27.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【解析】C命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<.28.函数()1xf x x =+-）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞【解析】D 由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.29.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A 因为关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根，所以240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，因为{}3mm >∣是集合{2m m ≤-∣或}2m ≥的真子集，所以“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的充分不必要条件.30.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【解析】B 由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====.31.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-【解析】B 因为向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，且a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.32.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<【解析】D 由x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <可得01a b a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故02ax b x +≥-可变形为102x x +≤-，不等式102x x +≤-等价于()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得12x -≤<.33.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β【解析】A 对A ：根据线面垂直的性质：两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，故选项A 正确；对B ：若m ⊥n ，n //α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项B 错误；对C ：若m //β，β⊥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项C 错误；对D ：若m //n ，m //β，则n //β或n β⊂，故选项D 错误.34.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．27【解析】C 由题意知[4.7，0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.35.，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.73π3B.53π3C. D.【解析】A 设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=，又因为圆台的高h 1r r '-==，故有12r r '==，，圆台的体积()()221173πππ124333V h r r r r ''=++=++=圆台．36.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >【解析】A 若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，则141x y+=，144()224444y y y x x x x y x y +=++=+++ ，当且仅当48x y ==时取得等号，不等式234y x m m +>-恒成立，等价为23()4min ym m x -<+，则234m m -<，解得14-<<m ．37.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为324的矩形C.面积为D.面积为4的菱形【解析】C 451D O A O C C D '∠''''''=== ，，所以O D ''=故在原图中，OD =1CD C D ''==3OC ===，所以四边形OABC 为菱形(如图所示)，3OA =，则原图形面积为S OA OD =⨯=38.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】C 因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内.39.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）B.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -【解析】B 在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC = ，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+ .40.要得到函数()13sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【解析】A ()13πsin 2cos 2sin 2223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把函数()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足要求，A 正确，其他选项均不合要求.41.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,sin 43a A B π===，则b =（）A.3B.C.D.【解析】A因为3,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin ab A B =，23=，解得3b =.42.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0a x b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9【解析】C 当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg0a x b x +-⋅≤恒成立，得当10x b +-≥时，2lg a x ≤恒成立，且当10x b +-≤时，2lg 0a x ≥恒成立，即当1x b ≥-时，2x a ≥恒成立，且当1x b ≤-时，02x a <≤恒成立，因此21a b ≤-且21a b ≥-，则21a b =-，即21a b +=，于是12124(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时取等号，所以12a b +的最小值为8.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．43.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.【解析】已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()23f -=，所以()()()230f f f -==．44.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率__________．【解析】记事件A ：“李明成绩不低于90分”，事件B ：“李明成绩不低于60分且低于90分”，事件C ：“李明成绩低于60分”，则()0.1P A =，()0.6P B =，A 与B 互斥，所以()()110.10.60.3P C A B P A B =+=-+=--=.45.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【解析】2a b += ，46.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．【解析】如下图所示，连接1AD 、AE 、DE ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，因为11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，所以，异面直线1BC 和1D E 所成角为1AD E ∠或其补角，因为AE ===，同理可得1AD =，DE =，由勾股定理可得13D E ===，由余弦定理可得222111112cos 22AD D E AE AD E AD D E +-∠==⋅，所以，145AD E ∠=，故异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为45 .三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．47.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【解析】（1）在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，12EF AD =，又由（1）可得BC ∥AD ，且12BC AD =，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB．48.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.【解析】（1）由诱导公式得，原式sin sin 32tan cos 2αααα--===--.（2）原式tan 11tan 211αα+==--.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【解析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x xx x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(1),1,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(1)24006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.。