第一章-矢量和张量(1)

22 矢量与张量

为什么学习张量

1. 物理量： 标量 矢量 张量

2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关

第一章：矢量

矢量：1.方向性

2.合成结果与顺序无关

不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向

但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。

基本运算：

1. 点积 abcosab

a与b在a上的投影之积。

分配律：abcabac

证明：

bc的投影等于b的投影与c的投影之和

推论：

① abcdacadbcbd

② 111223311bbbbbeeeee

③ 333iijjiii1i1i1abababee

2.叉积 absinabn b+c

a c

b

22 有方向的平行四边形面积

3混合积 ()uvw

六面体体积

改变六面体底、高顺序 可证：

()()()uvwvwuwuv

推论：

① 叉积分配律：abcabac

证明：

vabcbcvabvacvavabac

上式对任何矢量v都成立，所以

abcabac

② abcdacadbcbd

③ 112233112233aaabbbabeeeeee

123231312123123231312123aaaaaaaaabbbbbbbbbeeeeee

④ abc231312123231312aaaaaacccbbbbbb

123123123cccaaabbb

⑤ 21232123123uuuvvvwwwuvw w u v

22 T123123123123123123uuuuuuvvvvvvwwwwwwuuuvuwvuvvvwwuwvww

线性相关：一组矢量i (i=1,2,k)a中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：jiiijaa

线性无关：kiii1a0等效于i0(i=1,2,k)

三维空间中三个线性无关的矢量,,abc,如果其线性组合

111111112223222223323323abc0abc0a+b+c=0abc0abc0abc0

则i0，说明系数矩阵满秩。对任何非零矢量d

111112222233233abcdabcdabcd

一定可以求得非零的系数i，说明矢量d为矢量,,abc的线性组合。

即：三维空间中，任何一个矢量都可以表示为三个线性无关矢量的线性组合。

3. ()()()abcacbbca

证明：

a为,ab组成的面内垂直于a的单位向量，它与ab垂直；

b为,ab组成的面内垂直于b的单位向量；它与ab垂直；

因此：

22 ()(absin)/a(bsin)()(absin)/b(asin)aabaababbb

令 ()cabab

则 ()bcbabbbabba

()acaaabaabab

从而

bcos(/2)bsinacos(/2)asinbcbcbcabacacacba

()()()()()bsinasin()()abcaabbababababacbbca

斜角直线坐标系

1. 力的分解

1212PPPgg

11121122122212PPPPPvgvgvPvgvgv

如果1121 ; 1vgvg 则 11PPv

如果2212 ; 1vgvg 则 22PPv

12,vv具有重要意义:

如果12,gg为相互垂直的单位向量,则P在12,gg上的分量:

1212P= ; P=PgPg

但在一般情况下, 1122P= ; P=PvPv

2.斜角直线坐标系：不要求基底矢量单位正交,只要求基底矢量在空间中为常矢量 a b a

b ab



2g P 1g

22 矢径 123123xxxrggg

iixrg 协变基矢量 ig（自然基矢量）

iijjgg 逆变基矢量ig

逆变基矢量组是线性无关的：

如果 123ggg0则有：

12310gggg

12320gggg

12330gggg

两种坐标基矢量的作用

矢量33iiiii1i1vvvgg

其中33jjijijiij1j1vvv;vggg协变分量

33ijijiijjj1j1vvv;vggg逆变分量

① 上下指标的不同意义：协变 逆变

② 哑指标及其求和约定

33ijiji1j1vvvgg

协变指标（下标），逆变指标（上标），哑指标（上下指标相同）

3iiiii13jjjjj1vvvvvgggg （哑指标求和约定）

举例：矩阵乘法ABC 的分量表示：iikikjkjkjkcabab X1 X2 X3

1g 2g 3g

r

22 ③ 自由指标 （表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标）

取值范围内全部成立 可同时换为其它字母而不影响意义

（说明逆变基矢量定义表达式的指标记法）

逆变基矢量的求解

1.根据定义

123ggg

11231().1ggggg

123232312313131231212123()g()g()ggggggggggggggggggggggggg

其中231g()ggg

2. 根据iijjggg jiijggg

ijijijijg ; ggggg

由于

jjkjkjiiikikggggggg

因此

1ijijgg

已知协变基底，可求出以ijg为元素的矩阵ijg，其逆矩阵为ijg，由iijjggg可求得逆变基。

（可用于求解高于3维的坐标系的逆变基矢量） 1

2 3

22 ijg和ijg的作用

① 1112132ij212223123313233gdet(g)()ggggggggggggggggggggg

231()gggg

② 升降指标

iijiijjjjjiijiijpppgpppgPgggPggg

ijiijiijiiijiijijijijiiijijiijijuvuvvuvuuvguuuvuvuvguvuvgggggggg

（单位直角坐标系下iigg）

曲线坐标系

1. 曲线坐标：确定空间中一点所用的参数

① 矢径 112321233123123x(,,)x(,,)x(,,)reee

其中123,,eee为笛卡尔坐标系基矢量（单位正交）

ix为直角坐标,

i称为曲线指标

作用：从空间点到矢量的变换

② 典型的曲线坐标系

柱坐标系：xrcos;yrsin;zz



 x

y z x θ r

y z

22

球坐标系：xrsincos;yrsinsin;zrcos

③曲线坐标的必要条件: ikxdet0

来源：111123112222212333333123xxxdxdxxxdxddxdxxx

给定idx必须唯一地求出id（点到曲线坐标的一一对应）

④ 坐标线 (只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线)

⑤ 协变基矢量：坐标线沿增加方向的切矢量）

定义：123ki123kiiiiixxxxrgeeee

极坐标系下：

12rcosrsinree r坐标线 θ坐标线

r0

θ0

r坐标线 θ坐标线

r0

θ0 rg g

22 所以

r12r12cossin ; 1rsinrcos ; rgeeggeeg

可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（是曲线坐标的函数），模也不一定是1。

在曲线坐标系中

123123rggg

但 ii123i123iddddddrrgggg （曲线坐标的局部性）

⑥ 逆变基矢量

由于：

iijkjkikimkmkjkjxxxxxeeeg

所以 iikkxge

111112312322221231233333123123xxxxxxxxxgeeegeeegeee

2 .坐标转换

两个（新旧）坐标系的基矢量'i'(i1,2,3)g以及ii1,2,3g之间的转换关系可表示为：