多元函数微分法习题课

第八章 多元函数微分法及其应用一．填空题1。

函数z =的定义域是2、0sin lim x y xyx→→= 3、2222001cos()lim x y x y x y →→-+=+4、设z =那么z x ∂=∂ ,zy∂=∂ 5、已知22ln(1)z x y =++，则(1,2)dz =6、设(,)3ln(1)f x y x xy =++，则(1,2)x f = ，(1,2)xy f =7、设f(x,y)在点（a ，b)处的偏导数存在，则0(,)(,)limx f a x b f a x b x→+--=8、若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2 ，则在D 上， xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

9。

函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

10、函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

11、)()(1y x y xy f xz +ϕ+=，f 、ϕ具有二阶偏导数， 则=∂∂∂yx z 2 。

12．设32) , ,(zxy z y x f =，其中) ,(y x z z =是由方程03222=-++xyz z y x 所确定的隐函数，则=)1 ,1 ,1(x f。

13．若函数),(y x f z =可微,且1),(2=x x f ，x x x f x =),(2，则当x =),(2x x f y 。

14、设2ln ,,32xz u v u v x y y ===-，则z x ∂=∂ ,z y∂=∂15、设3arcsin(),3,4z x y x t y t =-==,则dzdt= 二、选择题1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则（ )（A ）) ,(lim y x f y y x x→→必不存在; （B ）) ,( y x f 必不存在；(C)) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；(D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。

（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2

+
f y ⋅ gz ⋅ hx g y ⋅ hz
⎞ ⎟⎟⎠ dx.
即
du dx
=
fx
−
fy ⋅ gx gy
+
f y ⋅ gz ⋅ hx . g y ⋅ hz
第七章、多元函数微分法 习题课
解法3 隐函数求导法，
⎧u = f ( x, y),
⎪ ⎨
g
(
x,
y,
z)
=
0,
⎪⎩ h ( x , z ) = 0.
求 ∂z , ∂2z , ∂ 2z . ∂y ∂y2 ∂x∂y
解
∂z ∂y
=
x
3
⎛ ⎜⎝
f1′x +
f2′
1 x
⎞ ⎟⎠
f12′
xy y
x y
= x4 f1′+ x2 f2′,
x
∂2z ∂y 2
=
x4 ⋅
⎛ ⎜⎝
f1′1′x +
f1′2′
1 x
⎞ ⎟⎠
+
x2
⋅
⎛ ⎝⎜
f 2′′1 x
+
f2′′2
1 x
dx
dx
− xf ′d y + dz = f + xf ′ dx dx
F1′
+ F2′
d d
y x
+F3′
d d
z x
=
0
F2′
d d
y x
+
F3′
d d
z x
=
−
F1′
∴ dz = dx
−x f′ f +xf′
F2′

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。