第二章 自测题答案

湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
第二章 自测题答案
1. 设 f ( x ) 可微，则求解方程 x f ( x ) 的牛顿迭代格式是_________________. 答案: x n 1 x n
xn f ( xn ) 1 f ( x n )
2. 用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根， 则二分 n 次后的误差限为_______. 答案:
3) 因 ( x ) 1 e x ， ( x ) e x 当 x [1,2] 时， ( x ) [ ( 2), (1)] [1,2] ，且 | ( x ) | e 1 1 所以迭代格式 xk 1 ( x k ) ( k 0,1,2,) 对任意 x0 [1,2] 均收敛. 12. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： cos x sin x ; (2) x 4 2 x . （1） x 4 cos xk sin xk 解： （1）迭代公式 xk 1 4 cos x sin x sin x cos x 2 1 因 ( x) ， ( x ) 1 ，故公式收敛. 4 4 4 2 x （2）设 f ( x) x 4 2 , 则 f (1) 0, f (2) 0, 故有根区间为［1，2］. x x 因 ( x) 4 2 , ( x) 2 ln 2 2 ln 2 1.36829 1 故不能用 xk1 4 2 k 来迭代求解. 若将原方程改写为 x ln(4 x) / ln 2, 此时 ( x) ln(4 x) / ln 2, 1 1 1 1 1 ( x) 1 4 x ln 2 4 2 ln 2 2 ln 2 ln(4 xk ) 故可用迭代公式 xk 1 来求解 ln 2
1 3) x 2 , ( x) x 1 迭代公式xk 1
1 , x 1
3 1 (1.5 1) ( x) ( x 1) 2 2 2

3 2
1.4 1
1 发散。 xk 1
9. 方程 x3 2 x 2 10 x 20 0 在 x 1 附近有根，试建立收敛的简单迭代格式. 解：令 f ( x) x 3 2 x 2 10 x 20 , 则 f (1) 7 0, f (1.5) 2.8750 0 , 又当 x [1,1.5] 时， f ( x) 0, 故方程在[1,1.5]上存在唯一根. 20 x 2 将原方程改为 x 2 x 10 20 ( x) 2 则迭代函数 x 2 x 10 40 x 40 40 1.5 40 ( x) 2 1, x [1,1.5] 因为 2 ( x 2 x 10) (1.52 2 1.5 10) 2 20 故迭代格式 xk 1 2 收敛. xk 2 xk 10 10. 构造求方程 e x 10 x 2 0 的根的迭代格式 x n 1 ( x n ), n 0,1,2, ， 并讨论收敛性. 1 1 x x 解：将方程 f ( x ) 0 变形为 x ( 2 e ) ，得迭代格式 x n 1 ( 2 e n ) 10 10 x 因对 f ( x ) e 10 x 2, 成立 f (0) 1 0, f (1) 8 e 0
15. 应用牛顿法于方程 x n a 0(a 0) ，试导出求 x n a 的迭代公式 解：令 f ( x) x n a ，则 x n a 为方程 f ( x) x n a 0 的根，且 f ' ( x) nx n 1 n xk a a 1 n x k 1 x k (1 ) x k n 1 . 故求 x a 的牛顿迭代格式为 n 1 n nx k nx k 因为 f (0) a 0 ，由 f ( x ) 的连续性知，在 0 点的邻域内存在一点 xL >0，使 f ( x L ) 0 ， 又 取 x R (1 a) ， 则 f ( x R ) 0 . 在 [ x L , x R ] 上 ， f ' ( x) nx n 1 0 ， f " ( x) n(n 1) x n 2 不变号，取初始值 x 0 满足 f ( x 0 ) f " ( x 0 ) 0 ，则牛顿迭代序列收 敛于 f ( x) x n a 的根，即 x n a 16. 建立利用方程 x 3 c 0 求 3 c (c 0) 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性. f ( xk ) x 3 c 2x 3 c xk k 2 k 2 解：牛顿迭代格式为： x k 1 x k f ' ( xk ) 3x k 3x k 因为 f (0) c 0 ，由 f ( x ) 的 连 续 性 知 ， 在 0 点 的 邻 域 内 存 在 一 点 xL >0，使 f ( x L ) 0 ， 又 取 x R 1 c 0 ， 则 f ( x R ) 0 . 在 [ x L , x R ] 上 ， f ' ( x) 3x 2 0 ，
代入牛顿法迭代公式得 2 xn 1 a x n 1 x n ( xn ) 2 xn 2 xn
n 0,1,
f (1.5) 1.5 2 2 0
(2) 设 f ( x) x 2 2 ，因 f (1) 12 2 1 0,
所以 x* 2 1,1.5 在 1, 1.5上 f ( x) 2 x 0 ， f ( x) 2 0 由 f (1.5) f (1.5) 0 ，取 x0 1.5 1 2 17 1.4167 用（1）导出的迭代公式计算得 x1 ( x0 ) 2 x0 12
x
13. 已知 x ( x) 在区间 [a, b] 内只有一根，而当 a x b 时， ( x) k 1, 试问如何将 x ( x) 化为适于迭代的形式？试将 x tgx 化为适于迭代的形式，并求 x 4.5 （弧 度）附近的根.
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) 成立，故 f ( x ) 0 在[0,1]内有唯一实根. 且 f ( x ) e x 10 0 对x ( ， x [ 0,1] ex e 1 x 1 又当 时， ( x ) ( 2 e ) ， | ( x ) | 10 10 10
ba 2 n 1
， 则方程 f(x)=0 在区间[a,b]
3. 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续， 若满足 一定有实根.
答案：f(a)f(b)<0 解答：因为 f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必 存在 c，使得 f(c)=0，故 f(x)=0 一定有根. 4. 用二分法求方程 f ( x ) x 3 x 1 0 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，进行两步后根的所在区间为 . 答案: [0.5,1]， [0.5,0.75]； 5. 用迭代法求方程 f(x)=0 的实根， 把方程 f(x)=0 改写成 x=(x)， 则 f(x)=0 的根是( (A) y=x 与 y=(x)的交点 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标 (C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y=(x)与 x 轴交点的横坐标 )
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解：由反函数微分法则有
( －1 ( x ))
1 ( x ) 1 1. ( x )
故当 ( x ) k 1时，有 ( －1 ( x )) 若将 x ( x )改写为 x 1 ( x )
则迭代格式 xk 1 1 ( xk ) ( k 0,1, )是收敛的. 为求方程 x tgx 在 x 4.5 （弧度）附近的根，改写方程为： x arctgx
1 , 迭代公式 xk 1 1 xk 1. x 1 解：1.43 1.42 1 0.216 0, 1.53 1.52 1 0.125 0 [1.4,1.5]为有根区间。 2 2 1) x 1 1/ x 2 , ( x) 1 1/ x 2 , ( x) 3 3 0.73 1 x 1.4
x 答案: f () , f () ; ( x ) 2 ln 2 2 ln 2 1.3863 >1；不收敛
与 x 轴的交点的横坐标逐步逼近 f(x)＝0 的解, 与 x 轴的交点的横坐标逐步逼近 f(x)＝0 的解.
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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得迭代格式： xk 1 arctgxk 用搜索法知在[4.45, 4.50]内有根，取x0 4.45迭代，x (5) 4.49341.
1 a 14. 证明计算 a (a 0) 的牛顿法迭代公式为： xn 1 ( xn ), n 0,1, ,并用它求 2 2 xn 的近似值（迭代１步求出 x1 即可） 解 （1）因计算 a 等于求 x 2 a 0 的正根，令 f ( x) x 2 a ，则 f ( x) 2 x
故迭代格式 x n 1
1 ( 2 e xn ) 收敛. 10
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11. 给定方程 f ( x ) ( x 1)e x 1 0 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 解：1） 将方程 （1） ( x 1)e x 1 0 改写为 （2） x 1 e x x 作函数 f1 ( x ) x 1 ， f 2 ( x ) e 的图形（略）,知（2）有唯一根 x * (1,2) . 2) 将方程（2）改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下：