数学模型第四版姜启源第十三章

12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
基本模型
变量
目标 函数 约束 条件
x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2 利润
Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶 模型 牛奶 或
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
可 加 性
连续性
模型求解
x1 x2 50
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40

人猫鸡米渡河问题的数学模型(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键字：穷举法，Matlab运算求解。

一、问题的提出课本:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。

此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。

转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。

三、问题的假设：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。

：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。

例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。

凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。

A 向量定义为状态变量。

比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。

此外，B 向量定义为运载变量。

把每运载一次也用一个四维向量来表示。

设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex

姜启源版《数学模型》第四章习题第7题一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。

从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。

为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。

此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。

2、假设每次切割都准确无误。

3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。

5、假设钢管余料价值为0。

6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。

四、模型建立根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数:4min M X i 1 0.1ii 1需求量的约束:每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750)极限情况下，根数的范围:D j le n jj 11850 一根原料钢管最多生产5根产品：4r j5,i 1,2,3,4j 1钢管根数和切割方法都为非负整数：r ijZ ,x iZ五、模型求解model :!数学模型132页题7; sets :!定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材；qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求；cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd;!定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ；lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets!目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用；min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少；@for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)：约束条件如下:x-i x 2 x 3x 4(4.1 )D j ，j 1,2,3, 4(4.2 )41750r ij le n j j 11850,i 123,4(4.3)D j1850 len j(4.4)@sum(qiegemoshi(i):r(i,j)*x(i))>=demand(j));! 整数约束;@for (qiegemoshi(i): @gin (x(i)));@for (links(i,j): @gin (r(i,j)));! 每一种切法不能超过限制1850 ，余料不超过100( 即产品加起来不小于@for1750 ) (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))>=1750);@for (qiegemoshi(i): @sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))<=1850);! 极限情况下，最多22 根，最少19 根; @sum(qiegemoshi:x)>=19;@sum(qiegemoshi:x)<=22;! 一根原料钢管小于5 根产品; @for (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j))<=5);data : demand=15 28 21 30; len=290 315 350 455;enddataend在lingo11 中运行，得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value: 21.50000Objective bound: 21.50000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 155Total solver iterations: 20017Variable Value Reduced CostX( M1) 14.00000 -0.1000000X( M2) 4.000000 0.000000X( M3) 1.000000 0.1000000X( M4) 0.000000 0.2000000LEN( CD1) 290.0000 0.000000LEN( CD2) 315.0000 0.000000LEN( CD3) 350.0000 0.000000LEN( CD4) 455.0000 0.000000DEMAND( CD1) 15.00000 0.000000DEMAND( CD2) 28.00000 0.000000DEMAND( CD3) 21.00000 0.000000DEMAND( CD4) 30.00000 0.000000QIEFA( M1, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M1, CD2) 2.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD3) 0.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD1) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD3) 5.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD4) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD1) 2.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD3) 1.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD1) 1.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD3) 3.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD4) 1.000000 0.000000。