高三数学上学期开学考试试题 理.doc

吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题理一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A＝错误!未找到引用源。

，B＝错误!未找到引用源。

，则A错误!未找到引用源。

B＝（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

2.已知数列错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则数列错误!未找到引用源。

的前6项和为（）A．63 B．127 C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

3.若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是第三象限的角，则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

( )A．错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

4.已知错误!未找到引用源。

是两个不同的平面，错误!未找到引用源。

是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A．若错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

B．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

C．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

D．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

5.已知正项数列错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

等于（）A．错误!未找到引用源。

B．4 C．8 D．166.已知两定点错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，点P在椭圆错误!未找到引用源。

上，且满足错误!未找到引用源。

＝2，则错误!未找到引用源。

为（）A．－12 B.12 C．一9 D．9俯视图侧视图正视图7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．2B．错误!未找到引用源。

高三数学上学期阶段性考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N =（ ）（A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝ （C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 2. 已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 (A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 3. 设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则 （ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >> 4. 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为 (A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 5. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 （ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>6. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．127. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （ ）A.充要条件 B 充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8. 已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为 ( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<9. 如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）10. 函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是 （ ）（A ）0a >，0b >，0c <（B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c <（D ）0a <，0b <，0c <11. 设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12. 已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12) (D) (20,24)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若209,T x dx T =⎰则常数的值为 . 14.若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是____ 15. 已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .16. 已知函数，若对任意实数 都有，则实数 的取值范围是________.三、解答题：共70分。

四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}2|1B y y x ==+，则A B ⋃等于（）A ．(1,)+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,3]D ．(1,)-+∞2．在复平面内，复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A S 和B S ，样本极差分别为A y 和B y ，则（）A ．>AB x x ，A B S S >，A B y y <B ．<A B x x ，A B S S >，A B y y >C ．>A B x x ，A B S S <，A B y y >D ．<A B x x ，A B S S <，A B y y <4．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．若直线():430R l mx y m m --+=∈与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭6．如图，C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为BE的中点，设AB a=，AC b = ，则AF = （）A ．5182a b+ B ．5142a b+C ．5184a b+D ．5144a b+7．下列命题中，不正确的是（）A ．“若11a b<，则a b >”的否命题为假命题B ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形D ．在ABC 中，若2π,3B b ac ==，则ABC 必是等边三角形8．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<，其部分图像如图所示，下列说法正确的有（）①2ω=；②56π=-ϕ；③3x π=是函数()f x 的极值点；④函数()f x 在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；⑤函数()f x 的振幅为1．A ．①②④B ．②③④C ．①②⑤D ．③④⑤9．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*1121,2n n S a n N a +=+∈=，则下列式子正确的是（）A ．20212022202032a =B ．20212022202232a =C ．202120212019342S =-+D ．202020212020312S =+10．设1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（a >0，b >0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得12PF PF +=，且12PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．2BCD11．已知函数()2,1x f x x e =++若正实数,m n 满足(9)(2)2f m f n -+=，则21m n+的最小值为（）A ．8B ．4C ．83D ．8912．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H P 、、、、均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（）①棱AB 上一定存在点Q ，使得1QC D Q ⊥②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π③过点E F G ，，作正方体的截面，则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内，且1//A M 平面AGH ，则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大值为3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知实数x ，y 满足01,0,2,x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则32x y +的最大值为_______．14．已知平面向量()2,0a = ，()1,2b =-r ，若向量()c a a b b =+⋅ ，则c = ______．（其中c用坐标形式表示）15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．若3A π=，4c =，△ABC的面积为ABC 的外接圆的半径为________．16．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =；②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠；③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为C 方程为28y x =．其中所有正确的命题序号是________．三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222(2)n n a a a n -=+-≥．(1)证明：{}1n a +为等比数列；(2)求{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列？18．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．19．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE ．(1)设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14AM AB =．求证：MF ∥平面1D AE ；(2)求点B 到平面1CD E 的距离．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且122B B =，过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1k =时，求OMN 的面积；(3)求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．21．已知函数()ln f x x kx =-（R k ∈），()()2xg x x e =-.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=-∈.(1)求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；(2)曲线3C 的参数方程为cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）.若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ，N 两点，求线段MN 的长度.23．设函数()45f x x x =-+-的最小值为m .（1）求m ；（2）设123,,x x x R +∈，且123x x x m ++=，求证：22231212311114x x x x x x ++≥+++.参考答案：1．B【分析】根据集合的运算的定义求解.【详解】由(3)(1)0x x -+≤解得13x -≤≤,所以13{|}A x x =-≤≤,又因为211y x =+≥,所以{}|1B y y =≥,所以[1,)A B =-+∞ .故选:B.2．D【分析】先求出复数z ，即可求出答案.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，复数z 对应的点为()1,1-则复数z 对应的点位于第四象限故选：D.3．B【分析】观察图形可知，样本A 的数据均在[]2.5,10之间，样本B 的数据均在[]10,15之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.【详解】观察图形可知，样本A 的数据均在[]2.5,10之间，样本B 的数据均在[]10,15之间，由平均数的计算可知<A B x x ，样本极差A B y y >样本B 的数据波动较小，故A B S S >，故选：B 4．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．C【分析】根据直线与圆相交，结合点到直线的距离公式可得出关于实数m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，由题意可知，圆心()2,3到直线l 的距离应小于等于半径1，1=≤，解得m ≤≤故选：C.6．A【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.【详解】因为C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点则AB //CD ，且2AB CD=又E 为线段CD 的中点，F 为BE 的中点()()1111111122222242AF AE AB AE AB AC CE AB AC CD AB=+=+=++=∴++25111152828182AC AB AB AC AB a b =++==++故选：A.7．C【分析】根据不等式的性质和正弦定理，余弦定理即可判断求解.【详解】对于A ，原命题的否命题为“若11a b≥，则a b ≤”，由11a b ≥得，110b a a b ab--=≥，得0b a ≥>或0a b ≤<或0b a <<，所以该否命题为假命题，故A 正确；对于B ，在锐角ABC 中，因为ππ()2C A B =-+<,所以π2A B >-,因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以π2sin sin A B >-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故B 正确；对于C ，在ABC 中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B∴=,(0,π),22A B A B ∈∴= 或2π2A B =-，得A B =或π2A B +=，ABC ∴ 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误;对于D ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222b a c ac =+-，又因为2b ac =，所以22220,()0a c ac a c +-=-=，所以a c =，又因为π3B =，所以ABC 是等边三角形，故D 正确，故选:C.8．C【分析】根据函数()f x 的部分图像求出函数的解析式，即可判断①②⑤是否正确；若=3x π是函数()f x 的极值点则=03f π⎛⎫⎪⎭'⎝，可判断③是否正确；求出()f x 的单调增、减区间，即可验证④是否正确；【详解】设()f x 的最小正周期为T ，根据函数()f x 的部分图像可知，512π，1112π是函数()f x 的两个相邻的零点，115212122T πππ∴=-=，T π∴=，222T ππωπ∴===，故①正确；根据函数()f x 的部分图像可知，1A =,故⑤正确；1A = ，2ω=，()()sin f x A x =+ωϕ，()()sin 2f x x ϕ∴=+，将5012π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()()sin 2f x x ϕ=+中，5sin 2=012πϕ⎛⎫∴⨯+ ⎪⎝⎭，5=26k πϕπ∴+，56=2k πϕπ∴-，0πϕ-<< ，∴当0k =时，56π=-ϕ，故②正确；()5sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()562cos 2f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭'，若=3x π是函数()f x 的极值点则必有=03f π⎛⎫ ⎪⎭'⎝，而52cos 2=2cos 03636f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎝⎭，3x π∴=不是函数()f x 的极值点，故③错误；由5222262k x k πππππ-≤-≤+，得263k x k ππππ+≤≤+，()f x \的单调递增区间为2[]63k k ππππ++，，由53222262k x k πππππ+≤-≤+得，2736k x k ππππ+≤≤+，()f x \的单调递减区间为27[]36k k ππππ++，()f x \在126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在7612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，()f x \在71212ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，故④错误.故选：C 9．D【分析】由已知得()*121n n S a n N +=+∈，+1221n n S a +=+，两式作差得+2132n n a a +=，再求得212a =，2132a a ≠，得数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列，求得2n ≥时，n a ，n S ，代入判断可得选项.【详解】解：因为()*121n n S a n N +=+∈，所以+1221n n S a +=+，两式作差得()()+1+212+121n n n n S S a a +-=-+，即+1+2122n n n a a a +=-，所以+2132n n a a +=，又12a =，1221a a =+，解得212a =，211132242aa ==≠，所以数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列，所以12a =，()22113,32222n n n n n a ---⎛⎫⨯=≥ ⎪⎝⎭=，()2111221333132+1++++2+22312++++1,23122222n n n n n a n S a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⨯⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=≥ ⎪⎭-⎦⎝ ，所以20222202020222022120213322a --==，故A 不正确，B 不正确；2021120012022+1+13322S -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭=，所以202020212020312S =+，故C 不正确，D 正确，故选：D.10．B【分析】由双曲线的定义得到122PF PF a -=，再由题意知12PF PF +=，12PF PF ab ⋅=，三个式子组合即可得到22484ab b a =-，解出ba的值，在由双曲线的离心率为c e a =.【详解】()221212=8PF PF PF PF b+=∴+ ，，即222121228PF PF PF PF b ++⋅=①.根据双曲线的定义可得()2212122=4PF PF a PF PF a-=∴-，，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=②，①减去②得2212484PF PF b a ⋅=-.12PF PF ab ⋅= ，故222222484221210bb b b ab b a ab b a aa a a ⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒-⇒--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1b a =或12b a -=（舍）.双曲线的离心率为c e a ==故选：B.11．D【分析】构造函数()()1g x f x =-，由导数结合奇偶性得出()g x 在R 上单调递增，进而得出29m n +=，最后由基本不等式得出答案.【详解】函数()f x 定义域为R ，令()()2111xg x f x x e =-=+-+21()111x x x e h x e e -=-=++，111()()1x x x x e e h x h x e e -----===-++易知y x =和2()11xh x e =-+均奇函数，所以()g x 为奇函数()()22101+xx e g x e +'=>，所以()g x 在R 上单调递增由()()922f m f n -+=得()()91210f m f n --+-=即()()()922g m g n g n -=-=-，所以920m n -+=，即29m n +=则()()211211418222449999m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当33,2m n ==时，取等号故选：D【点睛】关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出29m n +=，进而由基本不等式得出最值.12．C【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设出Q 点坐标，求出满足题意的位置即可，经计算可知Q 点不存在，故①错误；根据三棱锥F EPH -的几何特征，可计算出其外接球半径，所以②正确；由图可知，过点E F G ，，的截面为边长是的正六边形，即可计算其面积，所以③正确；利用空间向量写出1A M 与AB 所成角的余弦值的表达式求其最值即可，所以④正确.【详解】建立如图空间直角坐标系，设(2,,0)Q a ，其中102,(0,2,0),(0,0,2)a C D ≤≤，所以1(2,2,0),(2,,2)QC a D Q a =--=-，若棱AB 上存在点Q ，使得1QC D Q ⊥，则10QC D Q =，整理得2(1)30a -+=，此方程无解，①不正确;设AB 的中点为K ，则四边形PHKE 其外接圆的半径为1r =，又FK ⊥底面ABCD ，所以三棱锥F EPH -的外接球的半径为R ==所以其表面积为8π，②正确;过点E F G ，，作正方体的截面，截面如图中六边形所示，因为边长均为，且对边平行，所以截面六边形为正六边形，其面积为16sin 602S =⨯=③正确;点M 在平面11BB C C 内，设(,2,)M m n ，则1(2,0,2),(2,0,0),(0,2,1),(1,2,0),(2,2,0)A A G H B ，1(2,2,2),(2,2,1),(1,0,1),(0,2,0)A M m n AG GH AB =--=-=-=设()n x y z = ，，是平面AGH 的一个法向量，则·0·0n AG n GH ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，令1z =可得112x y ==，，即1(1,,1)2n = ，因为1//A M 平面AGH ，所以10A M n =，即3m n +=，设1A M 与AB 所成角为θ，则11cos A M ABA M ABθ==，当32m =时，2269y m m =-+取最小值92，所以1A M 与AB所成角的余弦值的最大值为3，故④正确;故选：C.13．5【分析】本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，观察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.【详解】解：根据方程组画出可行域如图所示，可以求得B (1,1),当直线32x y z +=经过点B 时取得最大值为5，故答案为：5.14．()4,4-【分析】根据向量的线性坐标运算，以及向量数量积的坐标运算可求得答案.【详解】解：因为平面向量()2,0a = ，()1,2b =-r ，所以()21+022a b ⋅=⨯-⨯=-，所以()()()()()22021244c a a b b a b =+⋅=+-=--=- ，，，，故答案为：()4,4-.15．2【分析】利用三角形面积公式求解2b =,再利用余弦定理求得a =,进而得到外接圆半径.【详解】由14sin 23b π⨯⋅=，解得2b =．22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=．解得a =．24sin3R π∴==，解得2R =．故答案为:2．16．①②③④【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次判断即可.【详解】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确；②若AM l ⊥于M ，设()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =Q ，()200tp y ∴-=，y t p =，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =,故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==，由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则14,2A p ⎛- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，O M BM MA A M B A =+≥==+1402p ->Q ,解得4p =，故④正确.故答案为:①②③④17．(1)证明见解析(2)21nn a =-，n ，n a ，n S 成等差数列【分析】（1）由已知可得：37a =，3232a a =-，解得23a =，可得1121,21n n n n a a a a -+=+=+，可得()111212n n a n a ++=+ ，即可证明；（2）由（1）知，12nn a +=，可得n S ，n a ．只要计算20n n n S a +-=即可．【详解】（1）证明：37a = ，3232a a =-，23a ∴=，1121,21n n n n a a a a -+∴=+=+，11a ∴=，()111121222n n n n a a n a a +++==++ ，112a +=，{1}n a ∴+是首项为2公比为2的等比数列．（2）由（1）知，12n n a +=，∴21nn a =-，∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴12222(21)0n n n n n S a n n ++-=+----=，2n n n S a ∴+=，即n ，n a ，n S 成等差数列．18．（1）男30人，女45人（2）710【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个．所以()710P C =．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．19．(1)证明见解析(2)d =【分析】（1）取1D E 的中点N ，证明AMFN 是平行四边形，得到AN MF ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ，由平面1D AE ⊥平面AECB ，得到1D O ⊥平面AECB ，设点B 到平面1CD E 的距离为d ，由11D BCE B CED V V --=求解.【详解】（1）证明：如图所示：取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12NF EC =，//NF EC ，∵122EC AB ==，当114AM AB ==时，12AM EC =，//AM EC ，是NF AM =且//NF AM ，所以AMFN 是平行四边形，则//AN MF ．又MF ⊄平面1D AE ，AN ⊂平面1D AE ，所以//MF 平面1D AE ；（2）如图所示：取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ．易知1EF D C ⊥，OQ CB ⊥．因为11D A D E =，AO EO =，所以1D O AE ⊥，平面1D AE 平面AECB AE =，平面1D AE ⊥平面AECB ，1D O ⊂平面1AD E ，所以1D O ⊥平面AECB ．设点B 到平面1CD E 的距离为d ．在1Rt D OC △中，OC 1D O =，所以1D C ==．在1D EC △中，因为12EC D E ==，1D C =所以1EF ==．由11D BCE B CED V V --=，得1111113232CB CE D O CD EF d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．即11112213232d ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅解得d =20．(1)2212x y +=；(2)面积不存在；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意求出1b =，再由离心率为2和222c a b =-，求出a =1c =，即可得到椭圆方程.（2）把直线与椭圆进行联立，得到Δ0<，直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）设直线l 的方程并和椭圆进行联立，由直线和椭圆有两个交点，232k >，再由1B ，T ，M 在同一条直线上，得111111313y kx n k m x x x +++===+；2B ，T ，N 在同一条直线上，222221111y kx n k m x x x -+-===+.化简得12n =，故交点T 的纵坐标为定值12.【详解】（1）因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，所以2c a =，设c m =，则a =，0m >，又222c a b =-，即2222m m b =-，解得1m =或1-（舍去），所以a =1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=，284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210∆=-+>k k ，则232k >，设(),T m n ，因为1B ，T ，M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，则交点T 恒在一条直线12y =上，故交点T 的纵坐标为定值12.21．（1）当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）[1,)+∞【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；（2）将不等式恒成立转化为1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，构造函数1ln ()2xx m x e x+=-+，利用导数研究函数()m x 的性质，求解()m x 的最值，即可得到k 的取值范围【详解】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，由()ln f x x kx =-，得'11()kx f x k x x-=-=，当0k ≤时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数无极值点，当0k >时，由'()0f x =，得1x k=，当10x k <<时，'()0f x >，当1x k >时，'()0f x <，所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 有极大值点1k，无极小值点，综上，当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）因为()()1g x f x -≥恒成立，即(2)(ln )1x x e x kx ---≥恒成立，所以1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，令1ln ()2x x m x e x+=-+，则2'221(1ln )ln ()x x x x x x e x m x e x x ⋅-+--=-=，令2()ln x n x x x e =--，则'22l l ()(2)(2)0(0)x x x n x xe x e e x x x x x=--+=--+<>，所以()n x 在(0,)+∞上单调递减，因为12110,(1)0e n e n e e -⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00n x =，即0200ln xx x e -=，两边取对数可得000ln(ln )2ln x x x -=+，即0000ln(ln )(ln )ln x x x x -+-=+，因为函数ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0n x >，当0x x >时，()0n x <，所以()m x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以00000001ln 11()()221x x x m x m x e x x x +-≤=-+=-+=，所以0()1k m x ≥=，所以k 的取值范围为[1,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是()()1g x f x -≥恒成立，转化为1ln 2x x k e x +≥-+对0x >恒成立，然后构造函数1ln ()2x x m x e x+=-+，利用导数求出()m x 的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π，极径为85(2)2【分析】（1）先求出曲线1C 的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线1C 的极坐标方程；联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程，消去θ可得结果；（2）将曲线3C 的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线3C 和曲线2C 的极坐标方程，消去θ得到,M N 两点的极径后相加即可得解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π.由2cos 1sin ρθρθ=⎧⎨=-⎩消去θ，并整理得2580ρρ-=，∴10ρ=或285ρ=.∴所求异于极点的交点的极径为85ρ=.（2）由cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得曲线3C的普通方程为y =，∴曲线3C 的极坐标方程为()03πθρ=≥和()403πθρ=≥由31sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩和431sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得曲线3C 与曲线2C两交点的极坐标为1,23M π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，413N π⎛⎫ ⎝⎭，∴112MN OM ON ⎛⎛=+=+= ⎝⎭⎝⎭(O 为极点).23．（1）1m =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；（2）由（1）易构造出1231114x x x +++++=，利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）∵()29,41,4529,5x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，∴4x <时，()1f x >，且5x >时，()1f x >，∴()min 1f x =，∴1m =；（2）由（1）知1231x x x ++=，∴1231114x x x +++++=，∵()()()2222223312121231231234111111111x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⨯=+++++++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()21231x x x ++=，∴22231212311114x x x x x x ++≥+++，当且仅当12313x x x ===取等号.【点睛】关键点点睛：得出1231114x x x +++++=，构造柯西不等式的形式.。

某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。