反比例函数基础题(题型全面)

1 / 5 反比例函数知识点及题型归纳(培优)练习题 4．解析式的确定 （1）若与成反比例,与成正比例,则y是z的（ ）． A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2,m）,则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________．

（3）已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值．

（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0,3）． ①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

（5）为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例（如图所示）,现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________． ②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开 2 / 5

始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室； ③ 研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效？为什么？

5．面积计算 （1）如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则（ ）． A． B． C． D．

第（1）题图 第（2）题图 （2）如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则（ ）． A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2

反比例函数中的面积问题由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|（一）、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）1、（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB ⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．2、（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．（二）、已知反比例函数解析式，求图形的面积3、（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C． D．（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．二、利用点的坐标及面积公式求面积4、（2008四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．5、(2009年达州)如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积.三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题6、（（2009年福州）已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）7、（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .。

初中数学反比例函数题型精讲1.（2018•金华、丽水•10分）如图.四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0.0＜m＜n）的图象上.对角线BD∥y 轴.且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4.n=20时．①若点P的纵坐标为2.求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点.试判断四边形ABCD的形状.并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能.求此时m . n之间的数量关系；若不能.试说明理由．【解析】【分析】（1）①分别求出点A.B的坐标.运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；②由特殊的四边形可知.对角线互相垂直的是菱形和正方形.则可猜测这个四边形是菱形或是正方形.先证明其为菱形先.则需要证明四边形ABCD是平行四边形.运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等.若不相等则不是正方形；（2）要使m.n有具体联系.根据A,B.C.D分别在两个函数图象.且由正方形的性质.可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= .即可得到只关于m和n的等式．2. （2018·黑龙江大庆·8分）如图.A（4.3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点.连接OA.过A作AB∥x轴.截取AB=OA（B在A 右侧）.连接OB.交反比例函数y=的图象于点P．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得AB=OA=5.由AB∥x轴即可得点B的坐标；（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式.从而求得直线与双曲线交点P的坐标.再利用割补法求解可得．【解答】解：（1）将点A（4.3）代入y=.得：k=12.则反比例函数解析式为y=；（2）如图.过点A作AC⊥x轴于点C.则OC=4.AC=3.∴OA==5.∵AB∥x轴.且AB=OA=5.∴点B的坐标为（9.3）；（3）∵点B坐标为（9.3）.∴OB所在直线解析式为y=x.由可得点P坐标为（6.2）.过点P作PD⊥x轴.延长DP交AB于点E.则点E坐标为（6.3）.∴AE=2.PE=1.PD=2.则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．3.（2018·湖北省恩施·8分）如图.直线y=﹣2x+4交x轴于点A.交y轴于点B.与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．（1）求k的值及C点坐标；（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称.且与y轴交于点B'.与双曲线y=交于D.E两点.求△CDE的面积．【分析】（1）令﹣2x+4=.则2x2﹣4x+k=0.依据直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.即可得到k的值.进而得出点C的坐标；（2）依据D（3.2）.可得CD=2.依据直线l与直线y=﹣2x+4关于x 轴对称.即可得到直线l为y=2x﹣4.再根据=2x﹣4.即可得到E（﹣1.﹣6）.进而得出△CDE的面积=×2×（6+2）=8．【解答】解：（1）令﹣2x+4=.则2x2﹣4x+k=0.∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.∴△=16﹣8k=0.解得k=2.∴2x2﹣4x+2=0.解得x=1.∴y=2.即C（1.2）；（2）当y=2时.2=.即x=3.∴D（3.2）.∴CD=3﹣1=2.∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称.∴A（2.0）.B'（0.﹣4）.∴直线l为y=2x﹣4.令=2x﹣4.则x2﹣2x﹣3=0.解得x1=3.x2=﹣1.∴E（﹣1.﹣6）.∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题.主要考查了解一元二次方程.坐标与图形性质以及三角形面积公式的运用.求反比例函数与一次函数的交点坐标.把两个函数关系式联立成方程组求解.若方程组有解则两者有交点.方程组无解.则两者无交点．4.（2018•广西贵港•6分）如图.已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6.n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x.y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上.求当2≤x≤6时.函数值y的取值范围．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值.进而可得出点B的坐标.再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质.即可求出：当2≤x≤6时.1≤y≤3．【解答】解：（1）当x=6时.n=﹣×6+4=1.∴点B的坐标为（6.1）．∵反比例函数y=过点B（6.1）.∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0.∴当x＞0时.y随x值增大而减小.∴当2≤x≤6时.1≤y≤3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质.解题的关键是：（1）利用一次（反比例）函数图象上点的坐标特征.求出n、k的值；（2）利用一次函数的性质找出当x＞0时.y随x值增大而减小．5．（2018湖南长沙10.00分）如图.在平面直角坐标系xOy中.函数y=（m为常数.m＞1.x＞0）的图象经过点P（m.1）和Q（1.m）.直线PQ与x轴.y轴分别交于C.D两点.点M（x.y）是该函数图象上的一个动点.过点M分别作x轴和y轴的垂线.垂足分别为A.B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3.1＜x＜3时.存在点M使得△OPM∽△OCP.求此时点M的坐标；（3）当m=5时.矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；（2）设M（a.）.由△OPM∽△OCP.推出==.由此构建方程求出a.再分类求解即可解决问题；（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时.如图1中；②当x≤1时.如图2中；③当x≥5时.如图3中；【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b.则有.解得.∴y=﹣x+m+!.令x=0.得到y=m+1.∴D（0.m+1）.令y+0.得到x=m+1.∴C（m+1.0）.∴OC=OD.∵∠COD=90°.∴∠OCD=45°．（2）设M（a.）.∵△OPM∽△OCP.∴==.∴OP2=OC•OM.当m=3时.P（3.1）.C（4.0）.OP2=32+12=10.OC=4.OM=.∴=.∴10=4.∴4a4﹣25a2+36=0.（4a2﹣9）（a2﹣4）=0.∴a=±.a=±2.∵1＜a＜3.∴a=或2.当a=时.M（.2）.PM=.CP=.≠（舍弃）.当a=2时.M（2.）.PM=.CP=.∴==.成立.∴M（2.）．（3）不存在．理由如下：当m=5时.P（5.1）.Q（1.5）.设M（x.）. OP的解析式为：y=x.OQ的解析式为y=5x.①当1＜x＜5时.如图1中.∴E（.）.F（x.x）. S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE=5﹣•x•x﹣••=4.1. 化简得到：x4﹣9x2+25=0.△＜O.∴没有实数根．②当x≤1时.如图2中.S=S△OGH＜S△OAM=2.5.∴不存在.③当x≥5时.如图3中.S=S△OTS＜S△OBM=2.5.∴不存在.综上所述.不存在．【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会利用参数构建方程解决问题.学会用分类讨论的思想思考问题．6.（2018湖南湘西州8.00分）反比例函数y=（k为常数.且k≠0）的图象经过点A（1.3）、B（3.m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P.使PA+PB的值最小.求满足条件的点P的坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3.m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴的对称点A′.连接BA′交x轴于P点.则A′（1.﹣3）.利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小.再利用待定系数法求出直线BA′的解析式.然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．【解答】解：（1）把A（1.3）代入y=得k=1×3=3.∴反比例函数解析式为y=；把B（3.m）代入y=得3m=3.解得m=1.∴B点坐标为（3.1）；（2）作A点关于x轴的对称点A′.连接BA′交x轴于P点.则A′（1.﹣3）.∵PA+PB=PA′+PB=BA′.∴此时此时PA+PB的值最小.设直线BA′的解析式为y=mx+n.把A′（1.﹣3）.B（3.1）代入得.解得.∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5.当y=0时.2x﹣5=0.解得x=.∴P点坐标为（.0）．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数.k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式.得到待定系数的方程；接着解方程.求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题．7. （2018•达州•9分）矩形AOBC中.OB=4.OA=3．分别以OB.OA所在直线为x轴.y轴.建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B.C重合）.过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时.求点E的坐标；（2）连接EF.求∠EFC的正切值；（3）如图2.将△CEF沿EF折叠.点C恰好落在边OB上的点G处.求此时反比例函数的解析式．【分析】（1）先确定出点C坐标.进而得出点F坐标.即可得出结论；（2）先确定出点F的横坐标.进而表示出点F的坐标.得出CF.同理表示出CF.即可得出结论；（3）先判断出△EHG∽△GBF.即可求出BG.最后用勾股定理求出k.即可得出结论．【解答】解：（1）∵OA=3.OB=4.∴B（4.0）.C（4.3）.∵F是BC的中点.∴F（4.）.∵F在反比例y=函数图象上.∴k=4×=6.∴反比例函数的解析式为y=.∵E点的坐标为3.∴E（2.3）；（2）∵F点的横坐标为4.∴F（4.）.∴CF=BC﹣BF=3﹣=∵E的纵坐标为3.∴E（.3）.∴CE=AC﹣AE=4﹣=.在Rt△CEF中.tan∠EFC==.（3）如图.由（2）知.CF=.CE=.. 过点E作EH⊥OB于H.∴EH=OA=3.∠EHG=∠GBF=90°.∴∠EGH+∠HEG=90°.由折叠知.EG=CE.FG=CF.∠EGF=∠C=90°.∴∠EGH+∠BGF=90°.∴∠HEG=∠BGF.∵∠EHG=∠GBF=90°.∴△EHG∽△GBF.∴=.∴.∴BG=.在Rt△FBG中.FG2﹣BF2=BG2.∴（）2﹣（）2=.∴k=.∴反比例函数解析式为y=．【点评】此题是反比例函数综合题.主要考查了待定系数法.中点坐标公式.相似三角形的判定和性质.锐角三角函数.求出CE：CF是解本题的关键．8. （2018•遂宁•9分）如图所示.在平面直角坐标系中.一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第二、四象限A.B两点.过点A作AD⊥x轴于D.AD=4.sin∠AOD=.且点B的坐标为（n.﹣2）．（1）求一次函数与反比例函效的解析式；（2）E是y轴上一点.且△AOE是等腰三角形.请直接写出所有符合条件的E点坐标．【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长.利用勾股定理求出OD的长.确定出A坐标.进而求出m的值确定出反比例解析式.把B的坐标代入反比例解析式求出n的值.确定出B坐标.利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时.求出点E坐标即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象交于A 与B.且AD⊥x轴.∴∠ADO=90°.在Rt△ADO中.AD=4.sin∠AOD=.∴=.即AO=5.根据勾股定理得：DO==3.∴A（﹣3.4）.代入反比例解析式得：m=﹣12.即y=﹣.把B坐标代入得：n=6.即B（6.﹣2）.代入一次函数解析式得：.解得：.即y=﹣x+2；（2）当OE3=OE2=AO=5.即E2（0.﹣5）.E3（0.5）；当OA=AE1=5时.得到OE1=2AD=8.即E1（0.8）；当AE4=OE4时.由A（﹣3.4）.O（0.0）.得到直线AO解析式为y=﹣x.中点坐标为（﹣1.5.2）.∴AO垂直平分线方程为y﹣2=（x+）.令x=0.得到y=.即E4（0.）.综上.当点E（0.8）或（0.5）或（0.﹣5）或（0.）时.△AOE是等腰三角形．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.熟练掌握各自的性质是解本题的关键．9. （2018•资阳•8分）如图.在平面直角坐标系中.直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A.C两点.AB⊥OA交x轴于点B.且OA=AB．（1）求双曲线的解析式；（2）求点C的坐标.并直接写出y1＜y2时x的取值范围．【分析】（1）作高线AC.根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=2x﹣2.可得A的坐标.从而得双曲线的解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组.解出可得点C的坐标.根据图象可得结论．【解答】解：（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上.∴设A（x.2x﹣2）.过A作AC⊥OB于C.∵AB⊥OA.且OA=AB.∴OC=BC.∴AC=OB=OC.∴x=2x﹣2.x=2.∴A（2.2）.∴k=2×2=4.∴；（2）∵.解得：..∴C（﹣1.﹣4）.由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象.从交点看起.函数图象在上方的函数值大．10. （2018•乌鲁木齐•10分）小明根据学习函数的经验.对y=x+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程.请补充完整：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是．（2）下表列出y 与x 的几组对应值.请写出m.n 的值：m= .n= ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1﹣ ﹣1 2 3 4 …y … ﹣﹣﹣2﹣﹣m2n…（3）如图．在平面直角坐标系xOy 中.描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点.画出该函数的图象； （4）结合函数的图象．请完成： ①当y=﹣时.x= ．②写出该函数的一条性质 ． ③若方程x+=t 有两个不相等的实数根.则t 的取值范围是 ．【分析】（1）由x在分母上.可得出x≠0；（2）代入x=、3求出m、n的值；（3）连点成线.画出函数图象；（4）①代入y=﹣.求出x值；②观察函数图象.写出一条函数性质；③观察函数图象.找出当x+=t有两个不相等的实数根时t的取值范围（亦可用根的判别式去求解）．【解答】解：（1）∵x在分母上.∴x≠0．故答案为：x≠0．（2）当x=时.y=x+=；当x=3时.y=x+=．故答案为：；．（3）连点成线.画出函数图象．（4）①当y=﹣时.有x+=﹣.解得：x1=﹣4.x2=﹣．故答案为：﹣4或﹣．②观察函数图象.可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．③∵x+=t有两个不相等的实数根.∴t＜﹣2或t＞2．故答案为：t＜﹣2或t＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例函数图象.解题的关键是：（1）由x在分母上找出x≠0；（2）代入x=、3求出m、n的值；（3）连点成线.画出函数图象；（4）①将﹣化成﹣4﹣；②观察函数图象找出函数性质；③观察函数图象找出t的取值范围．。

反比例函数的应用六种题型 1 反比例函数实际应用的六种题型 题型一：在面积中的应用 一：面积不变性（k的几何意义） 如图，设点P（a，b）是反比例函数y=xk上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是k（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k21；面积是正数，所以k要加绝对值） S矩形PBOA=k； S三角形PAO=S三角形PBO=k21 注意： （1）面积与P的位置无关，即(0)kykx的面积不变性 （2）当k符号不确定的情况下须分类讨论

S△ABC=︱K︱； SABCD=2︱K︱ 二、曲直结合（一次函数与反比例函数）

典型例题 例1 如图,点P是反比例函数xy2图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 . 反比例函数的应用六种题型 2 例2 如图，已知，A,B是双曲线)0(kxky上的两点， （1）若A(2,3)，求K的值； （2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。 （3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若6AOCS，求K的值

变式1 在双曲线)0(xxky上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。 变式2 如图，在反比例函数2yx(0x)的图象上，有点1P，2P，3P，4P它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S，2S，3S，求123SSS．

S3

S2

S1

1 2 3 4

y=2x

P4

P3

P2

x

y

OP1 反比例函数的应用六种题型

3 变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1 ， △QMN的面积记为S2 ， 则S1________S2 ． （填“＞”或“＜”或“=”）