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高数导数公式

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【导数】 一、 导数的定义 设函数)(x f y =在点x 0的某个邻域内有定义，当x 在x 0处取得增量x ∆（点x 0＋x ∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量())(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，增加量y ∆与x ∆之比的极限x y x ∆∆→∆lim 0＝x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(000lim ＝00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的导数，并称函数)(x f 在x 0处可导， 记作： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(0000lim如果x yx ∆∆→∆lim 0不存在，则称函数)(x f 在x 0处不可导二、 左右导数 1） 左导数若当-→∆0x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限值为函数)(x f 在x 0处的左导数，即：()0x f -'＝x y x ∆∆-→∆lim 0＝()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 2） 右导数若当+→∆0x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限值为函数)(x f 在x 0处的右导数，即：()0x f +'＝x y x ∆∆+→∆lim 0＝()()x x f x x f x ∆-∆++→∆000lim 定理1：函数)(x f 在x 0处的可导的充要条件是，)(x f 在x 0处左右导数均存在，且()0x f -'＝()0x f +'三、 可导与连续的关系 若)(x f y =在x 0处可导，则在x 0处必定连续，可导⇒连续，反之不对。

四、 求导公式1） 基本初等函数的导数公式 ①0='C （C 为常数）② ()1-='n nnx x （n 为任意常数）③()a a a xxln ='（a ＞0，a ≠1）特别的：()xxe e='④ ()a x e x x a a ln 1log 1log =='（a ＞0，a ≠1）特别的：()x x 1ln ='⑤ ()x x cos sin ='⑥()x x sin cos -='⑦ ()x xx 22sec cos 1tan =='⑧ ()x xx 22csc sin 1cot -=-='⑨ ()x x x tan sec sec •='⑩()x x x cot csc csc •-='⑾()211arcsin xx -=' （-1<x<1）⑿()211arccos x x --='（-1<x<1）⒀()211arctan xx +='⒁ ()211cot xx arc +-='2） 导数四则运算公式 ① ()b a b a '±'='±② ()b a b a ab '+'='③()a C Ca '='（C 为常数）④ 2b b a b a b a '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3） 复合函数求导公式 如果)(u f y = ，)(x g u =，且)(u f 和)(x g 均可导，则符合函数[])(x g f y =也可导，其导数为()[]()x g x g f y '•'='五、分段函数的导数设分段函数⎩⎨⎧≥<=)).......(()).......(()(00x x x v x x x u x f ，则求其导数()x f '的步骤：1） 当0x x <时，按导数公式求)(x u 的导数()x u '当0x x >时，按导数公式求()x v 的导数()x v ' 2） 判断函数()x f 在分段点0x x =处的连续性，若在0x x =处()x f 不连续，则()x f 在0x 处不可导3） 函数()x f 在点x x =处的连续，此时计算极限()()00lim 0x x x u x u x x ---→和()()0lim 0x x x v x v x x --+→，若这两个极限存在且相等，则()x f 在0x 处可导，否则()x f 在0x 处不可导4） 若()x f 在0x x =处不可导，则()()()⎩⎨⎧>'<'=')........().......(00x x x v x x x u x f若()x f 在0x x =处可导，则()()()⎩⎨⎧≥'<'=').......()......(00x x x v x x x u x f 六、隐函数的导数（即二元方程）1）若能从方程中解出)(x f y =，则用前面所提方法求导；若不能解出，或解出后表达式复杂，则采用下列方法。

2）将二元方程两边分别对x 求导，表达式中的y 做中间变量，用符合函数求导公式计算，最后解出y '的表达式（在y '的表达式中允许保留y ）七、对数求导法1）函数式两边分别取对数 2）再用隐函数求导法求导y '此法多用于，多个函数的连续乘除求导数，通过取对数可达到简化计算的目的。

或用于幂指函数的求导数 八、高阶函数)(x f y =的导数()x f '在x 处可导，就称()x f '的导数为)(x f y =的二阶导数，记作：y '' 或 ()x f '' 或 22dx y d 或 ()22dx x f d依此类推三阶导数y '''，四阶导数()4y，n 阶导数()n y即：()[]()n n yy ='-1 （n=1,2,3，………）九、导数的应用 1、函数单调性设)(x f y =在(a,b)内可导，则① 若在(a,b)内任意一点x 处恒有()0>'x f 则 ()x f 在(a,b)内严格单调增加 ② 若在(a,b)内任意一点x 处恒有()0<'x f 则 ()x f 在(a,b)内严格单调减少利用)(x f y =的导数()x f '判断函数单调性的步骤： ①确定函数定义域 ②求导()x f '③ 求()0>'x f 时x 的取值范围，此范围就是)(x f y =单调增加的范围，可能是一个区间么也可能是若干区间，求()0<'x f 时x 的取值范围，即)(x f y =单调减少的范围2、函数的极值设)(x f y =在点0x 某个邻域有定义①若对于该邻域内任何一个异于0x 的点x ，恒有()()0x f x f <，则称()0x f 为函数()x f 的一个极大值，称0x 为函数()x f 的一个极大值点②若对于该邻域内任何一个异于0x 的点x ，恒有()()0x f x f >，则称()0x f 为函数()x f 的一个极小值，称0x 为函数()x f 的一个极小值点。

1）极值的必要条件：)(x f y =在0x 处可导，且0x 为函数()x f 的极值点，则必有()00='x f 2）极值的第一充分条件设)(x f y =在点0x 某个邻域内可导（此时()0x f '不存在，或为0）① 若0x x <时，()00>'x f ，当0x x >时，()00<'x f 则 ()0x f 为()x f 的极大值，0x 为()x f 的极大值点 ② 若0x x >时，()00>'x f ，当0x x <时，()00<'x f 则()0x f 为()x f 的极小值，0x 为()x f 的极小值点3）极值的第二充分条件设)(x f y =在点0x 存在二阶导数y ''，且()00='x f ，则 ①若()00<''x f ，则()0x f 为极大值，0x 为极大值点 ②若()00>''x f ，则()0x f 为极小值，0x 为极小值点 ③若()00=''x f ，则用极值第一充分条件判断3、函数的凹凸性①如果在区间(a,b)内，区县弧位于曲线上每一点切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的。

②如果在区间(a,b)内，区县弧位于曲线上每一点切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。

1） 凹凸的充分条件设)(x f y =在(a,b)内二阶可导①若在(a,b)内每一点x ，恒有()00>''x f ，则曲线在(a,b)内是凹的②若在(a,b)内每一点x ，恒有()00<''x f ，则曲线在(a,b)内是凸的4、曲线的拐点（即凹与凸的分界点） 1）拐点的充分条件设)(x f y =在(a,b)内有二阶导数，),(0b a x ∈①若()0x f ''在0x 的左右两侧异号时，点（0x ，()0x f ）是)(x f y =的拐点，此时()00=''x f② 若()0x f ''在0x 的左右两侧异号时，点（0x ，()0x f ）不是拐点2） 求曲线的凹凸区间及拐点的步骤： ①求()x f 的二阶导数()x f ''②求使()0=''x f 的点以及二阶导数不存在的点x ③对上述x 检验各点两侧的二阶导数的符号，若()x f 异号，则（x ，()x f ）为拐点，若符号不同，则不是拐点④使()0>''x f 的x 的取值范围是)(x f y =的凹区间，曲线在此区间内是凹的⑤使()0<''x f 的x 的取值范围是)(x f y =的凸区间，曲线在此区间内是凸的。

5、曲线的渐近线若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时，该点与某条直线的距离趋于0，此直线为曲线渐近线① 水平渐近线 若A x f x =-∞→)(lim 或A x f x =+∞→)(lim 则称A y =为曲线渐近线 ② 铅直渐近线 若∞=-→)(lim x f a x 或∞=+→)(lim x f a x 则称a x =为曲线铅直渐近线6、曲线的最大值与最小值)(x f y =在[a,b]上有定义，[]b a x ,0∈，若对任意[]b a x ,∈恒有()()0x f x f ≤，则()0x f 为函数()x f 在[a,b]上的最大值，0x 为()x f 在[a,b]上的最大值点。

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高数微积分公式大全(总结的比较好)

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高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- （7）()x x e e '= （8）()ln x x a a a '= ⑽ （9）()1ln x x '=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin 62π= （3）sin 3π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2）tan 63π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot6π=（3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在 十二、重要公式 （1）0sin lim 1x x x→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （9）lim 0xx e →-∞= （10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→= （12）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩ （系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 211c o s 2x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ∂+-∂十四、三角函数公式2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：()()dy f x g y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.一阶线性非齐次微分方程：()()dy p x y Q x dx+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。

高数导数和积分大全

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1 2
−1 1 1 2 2 = + ∫ 2(1− x ) d (1− x2 ) 12 2 0
π π
0
−∫
1 2
x 1− x
2
0
dx
=
12
1 1 + (1− x2 )2 2
3 = + −1 12 2
π
0
第三节 广义积分（反常积分）
及 x 轴所围成的开口曲
引例. 引例 曲线
和直线
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx 1 − A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
关键: 关键:
搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3 设
求
解: 函数可以看作由函数 y = ln u 、 u = cos v
与 v = e x 复合而成
dy 1 du dv = = − sin v = ex du u dv dx dy 1 1 x x x (sin e )e = ( − sin v )e = − x dx u cos e
−a a
0
∫−a f (x) dx = ∫−a f (x) dx + ∫0 f (x) dx
= ∫ f (−t) d t + ∫ f (x) dx = ∫ [ f (−x) + f (x) ]dx
0 0 a 0 a a
令 x = −t
=
f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时
a a
性质3 性质 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡k，则 上 ，
∫ ∫
高数微积分公式大全dy

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高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

备考复习高数公式

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高等数学公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。