结构动力学理论及其在地震工程中的应用
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2 2
2 k 1 x ( x 2 B Ak 1 ) gk k 1 s
其中 s 为：
三、总结
本文阐述了结构动力学的相关理论和地震相关概念，并以单自由度系统为例， 将结构动力学理论应用于地震工程中，进行建模分析，以期对工程实践有所指导， 而多自由度系统和连续系统是单自由度系统的扩展，掌握了上述基础，相信会对结 构动力学的深入研究打下基础。当然结构动力学随着计算技术的飞速发展和理论研 究的深入始终处在快速发展过程之中，也必将对工程实践起到越来越重要的作用。
设：
AK 1
则：
k xk Ak 1 x
将（2）、（3）代入运动方程：
t 2 6
（3）
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
得：
整理得：
t k ( gk 2Bk 1 2 Ak 1 ) (1 t 6 ) x x
结构动力学理论及其在地震工程中的应用
一、结构动力学理论
结构动力学，也称机械振动，作为固体力学的一个重要分支，被广泛应用于工 程领域的各个学科，如航天、机械、能源、动力、交通、土木和工程力学等。结构 动力学起源于经典牛顿力学，即牛顿质点力学，质点力学的基础是用牛顿第二定律 来阐述的。在牛顿《自然哲学的数学原理》问世百年后，拉格朗日在总结发展成果 后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格 朗日力学。随后哈密尔顿用正则方程来表达质点力学中的基本问题，形成了经典力 学分析中的又一个分支哈密尔顿力学。综上可见，牛顿质点力学，拉格朗日力学和 哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系的三大支柱。 虽然结构动力学的理论体系在 19 世纪中叶就已建立，但与弹性力学类似，由 于数学求解异常困难，能够用来解析求解的实际问题少之又少，而通过手算可完成 的也仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求 解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静 力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车、飞机等新型交通工具的出现，各种大型机械的创造发明以及越来越 多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越 高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和方法显然已跟不上时代的要求了。 需求驱动有了，技术储备是否完备呢？1946 年第一台电子计算机 ENIAC 的出 现使工程师们燃起了希望，的确之后的几十年中，结构动力学取得了长足的进展， 大型结构动力体系数值求解成为可能，尤其是快速傅立叶变换（FFT）的引入，使 得结构动力学分析与试验得以相互验证。 结构动力学的基本体系和内容主要包括单自由度系统、多自由度系统和连续系 统结构动力学。其中单自由度系统较为简单，我们也将以其为例，对其在地震工程 中的应用加以阐述，其它两种系统则可看作是单自由度系统的扩展。
t
t k 1
(t t k 1 )dt
2
( t t k 1 ) (t ) x (t k 1 ) (t k 1 )(t t k 1 ) 1 x x [ x ( t ) x ( t )] k k 1 2 t k t k 1
可知：
k x k 1 k 1 t 1 x x 2 ( xk xk 1 ) t
则：
2 2 1 k 1 t 1 xk xk 1 x 2 x k 1 t 6 ( x k x k 1 ) t
2 2 1 k 1 t 1 x k 1 x x t x t 3 k 1 6 k
设：
1 k 1 1 x x t 2 k 1 2 xk t
k 1 1 x 2 x k 1 t Bk 1
则：
t k Bk 1 k x x 2
在区间 [ ]对其进行积分,得：
（2）
2 1 x ( t k ) x ( t k 1 ) (t k 1 )(t t k 1 ) 1 x(t ) x(t k 1 ) x (t t k 1 ) 2 x(t k 1 )(t t k 1 ) 6 t k t k 1
地震波中比较值得关注的是纵波和横波，质点振动方向与波的传递方向一致 的波是纵波（压缩波），质点振动方向与波的传递方向垂直的波是横波（剪切 V 波），纵波和横波波速之比为 p 2(1 ) ，即纵波先于横波到达地面，但真正 Vs 1 2 造成损害的是横波。
而所谓地震震级，表征了地震的强弱，通常 5 级以上地震才会造成破坏。针对 地震灾害，我们需要进行结构抗震设防，做到：小震不坏、中震可修、大震不倒， 从概念设计和构造措施上加以保证。例如，对于软土地基，由于固结度和稳定性较 差，易发生沉降，可采用弹塑性变形验算加以保证；而硬土地基可采用隔震结构提 高抗震性能。 下面我们将结构动力学理论应用于单自由度系统，进行建模分析。
单自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动：
建模：假定将一单层房屋集中为一个质点，将竖向构件质量集中至上下两 端，忽略质量的扭转效应，按单自由度考虑。 目标：计算地震作用下结构的内力，进行结构抗震设计。
dx(t ) e
步骤：我们知道，一般动力荷载作用下的动力反应为： ( t ) P ( ) m ' 采用杜哈梅积分： t ( t ) P ( m ' 0
二、结构动力学在地震工程中的应用
地球由地核、地幔和地壳组成，最外层的地壳薄弱处通常也是地震多发区。地 球内部由于某种原因而产生的振动，以波的形式传递至地表并引起地面振动。其 中，内部发生振动的地方称之为震源，震源在地表的投影称为震中，震源至地表的 垂直距离称为震源深度。震源深度小于 60KM 的浅源地震危害最大。
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
将[0,t]划分为 n 个时间段:
t o , t1 ,, t k 1 , t k t n 1, t n 当 t t 时： k (t k ) 2x (t k ) 2 x(t k ) g (t k ) x x
sin ' (t )d
x(t )
而地面运动作用情况下， P (
1 t
e
sin ' (t )d
（1）
g ( )，将其代入（1）式，得： ) m x
0 我们知道运动方程为：
g ( )e (t ) sin ' (t )d x(t ) ' x
采用线性加速度法，假定[ ] 内的加速度满足下式：
(t k 1 ) ttkttkk11 [ (t k ) (t k 1 )] x x x x
在区间 [ ]内对上式进行积分，得：
则：
t
t k 1
(t )dt x
t
t k 1
( t k 1 ) x (t k 1 )dt x(tktk) x t k 1
2 k 1 x ( x 2 B Ak 1 ) gk k 1 s
其中 s 为：
三、总结
本文阐述了结构动力学的相关理论和地震相关概念，并以单自由度系统为例， 将结构动力学理论应用于地震工程中，进行建模分析，以期对工程实践有所指导， 而多自由度系统和连续系统是单自由度系统的扩展，掌握了上述基础，相信会对结 构动力学的深入研究打下基础。当然结构动力学随着计算技术的飞速发展和理论研 究的深入始终处在快速发展过程之中，也必将对工程实践起到越来越重要的作用。
设：
AK 1
则：
k xk Ak 1 x
将（2）、（3）代入运动方程：
t 2 6
（3）
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
得：
整理得：
t k ( gk 2Bk 1 2 Ak 1 ) (1 t 6 ) x x
结构动力学理论及其在地震工程中的应用
一、结构动力学理论
结构动力学，也称机械振动，作为固体力学的一个重要分支，被广泛应用于工 程领域的各个学科，如航天、机械、能源、动力、交通、土木和工程力学等。结构 动力学起源于经典牛顿力学，即牛顿质点力学，质点力学的基础是用牛顿第二定律 来阐述的。在牛顿《自然哲学的数学原理》问世百年后，拉格朗日在总结发展成果 后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格 朗日力学。随后哈密尔顿用正则方程来表达质点力学中的基本问题，形成了经典力 学分析中的又一个分支哈密尔顿力学。综上可见，牛顿质点力学，拉格朗日力学和 哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系的三大支柱。 虽然结构动力学的理论体系在 19 世纪中叶就已建立，但与弹性力学类似，由 于数学求解异常困难，能够用来解析求解的实际问题少之又少，而通过手算可完成 的也仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求 解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静 力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车、飞机等新型交通工具的出现，各种大型机械的创造发明以及越来越 多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越 高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和方法显然已跟不上时代的要求了。 需求驱动有了，技术储备是否完备呢？1946 年第一台电子计算机 ENIAC 的出 现使工程师们燃起了希望，的确之后的几十年中，结构动力学取得了长足的进展， 大型结构动力体系数值求解成为可能，尤其是快速傅立叶变换（FFT）的引入，使 得结构动力学分析与试验得以相互验证。 结构动力学的基本体系和内容主要包括单自由度系统、多自由度系统和连续系 统结构动力学。其中单自由度系统较为简单，我们也将以其为例，对其在地震工程 中的应用加以阐述，其它两种系统则可看作是单自由度系统的扩展。
t
t k 1
(t t k 1 )dt
2
( t t k 1 ) (t ) x (t k 1 ) (t k 1 )(t t k 1 ) 1 x x [ x ( t ) x ( t )] k k 1 2 t k t k 1
可知：
k x k 1 k 1 t 1 x x 2 ( xk xk 1 ) t
则：
2 2 1 k 1 t 1 xk xk 1 x 2 x k 1 t 6 ( x k x k 1 ) t
2 2 1 k 1 t 1 x k 1 x x t x t 3 k 1 6 k
设：
1 k 1 1 x x t 2 k 1 2 xk t
k 1 1 x 2 x k 1 t Bk 1
则：
t k Bk 1 k x x 2
在区间 [ ]对其进行积分,得：
（2）
2 1 x ( t k ) x ( t k 1 ) (t k 1 )(t t k 1 ) 1 x(t ) x(t k 1 ) x (t t k 1 ) 2 x(t k 1 )(t t k 1 ) 6 t k t k 1
地震波中比较值得关注的是纵波和横波，质点振动方向与波的传递方向一致 的波是纵波（压缩波），质点振动方向与波的传递方向垂直的波是横波（剪切 V 波），纵波和横波波速之比为 p 2(1 ) ，即纵波先于横波到达地面，但真正 Vs 1 2 造成损害的是横波。
而所谓地震震级，表征了地震的强弱，通常 5 级以上地震才会造成破坏。针对 地震灾害，我们需要进行结构抗震设防，做到：小震不坏、中震可修、大震不倒， 从概念设计和构造措施上加以保证。例如，对于软土地基，由于固结度和稳定性较 差，易发生沉降，可采用弹塑性变形验算加以保证；而硬土地基可采用隔震结构提 高抗震性能。 下面我们将结构动力学理论应用于单自由度系统，进行建模分析。
单自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动：
建模：假定将一单层房屋集中为一个质点，将竖向构件质量集中至上下两 端，忽略质量的扭转效应，按单自由度考虑。 目标：计算地震作用下结构的内力，进行结构抗震设计。
dx(t ) e
步骤：我们知道，一般动力荷载作用下的动力反应为： ( t ) P ( ) m ' 采用杜哈梅积分： t ( t ) P ( m ' 0
二、结构动力学在地震工程中的应用
地球由地核、地幔和地壳组成，最外层的地壳薄弱处通常也是地震多发区。地 球内部由于某种原因而产生的振动，以波的形式传递至地表并引起地面振动。其 中，内部发生振动的地方称之为震源，震源在地表的投影称为震中，震源至地表的 垂直距离称为震源深度。震源深度小于 60KM 的浅源地震危害最大。
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
将[0,t]划分为 n 个时间段:
t o , t1 ,, t k 1 , t k t n 1, t n 当 t t 时： k (t k ) 2x (t k ) 2 x(t k ) g (t k ) x x
sin ' (t )d
x(t )
而地面运动作用情况下， P (
1 t
e
sin ' (t )d
（1）
g ( )，将其代入（1）式，得： ) m x
0 我们知道运动方程为：
g ( )e (t ) sin ' (t )d x(t ) ' x
采用线性加速度法，假定[ ] 内的加速度满足下式：
(t k 1 ) ttkttkk11 [ (t k ) (t k 1 )] x x x x
在区间 [ ]内对上式进行积分，得：
则：
t
t k 1
(t )dt x
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( t k 1 ) x (t k 1 )dt x(tktk) x t k 1
