高中数学解题思想方法技巧：耗子开门 就地打洞

第24计 杠杆开门 以轻拨重●计名释义派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！●典例示范【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB 的重心在其中点M 点.如果A ，B 处各放1个质点，则其点M 会聚了2个质点.正三角形ABC 的重心在它的中线CM 上，C 点放1个质点，中点M 处有2个质点，故重心G 会聚了3个质点，按杠杆原理，CG =2GM .至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？【解答】 设正四面体的顶点为V ，底面中心为G ，四面体中心为O . 由杠杆原理，O 在GV 的第1个四等分点上，即VO =3OG .因此，正四面体的外半径R =43h =3. 故正四面体体积为34πR 3=36π. 【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.【例2】 直线l 左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是 （ ）A.31-B.-3C.31D.3【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O （0，0）左移3个单位，上移1个单位得M （-3，1）.于是k +l=k OM =31-.选A .【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.【例3】 （04·上海卷）若函数f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f (x )= ( )A .10-x -1B .10x -1C .1-10-xD .1-10x【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y =lg(x +1)的图象上取一点A （9，1），将OA 绕原点逆时针旋数学破题36计转90°得B （-1，9），代入各选项，仅A 适合，∴选A .【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A （9，1），（经过旋转则得B （-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）例4题图A.29B.5C.6D.215【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED ⊥平面ABCD ，且使ED=2.连AF 、DF.则EF ⊥面ADE.∵V F —ADE =31·EF ·S △ADE =212331⨯⨯×3×2=23. V F —ABCD =31·DE ·S □ABCD =31·2·32=6.∴V 多面体=23+6=215.选D. 【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？●对应训练1.动点A 在双曲线2222n y m x -=1上，B 、C 为双曲线的左、右焦点，△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则tan 2B cot 2C 的值是 （ ） A.41 B .21 C. 43 D.1 2.已知0<x<y<a<1，则有 （ ）A.log a (xy)<0B.0<log a (xy)<1C.1<log a (xy)<2D.log a (xy)>23.设{a n }是公比为a,首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N +，点（S n ，S n+1） ( )A.在直线y=ax-b 上B.在直线y=bx+a 上C.在直线y=bx-a 上D.在直线y=ax+b 上4.函数y=x+sin |x|,x ∈［-π,π］的大致图像是 （ ）第4题图●参考答案 1.A 取特殊图形.BC=10⇒双曲线焦点为B （-5,0）,C(5,0)c-b=6⇒2m=6,∴m=3,n=4，双曲线方程为：16922y x -=1, 离心率e=35. 取特殊位置AC ⊥BC ，则有A ⎪⎭⎫ ⎝⎛316,5••,∴AC=316,从而AB=334,cos B=1715,sin B=178，而C ＝90°. 第1题解图∴tan 2Bcot 2C =B Bsin cos 1-·cot 45°=4117817151=-.2.D 取特殊值.x=81,y=41,a=21,满足0<x<y<a<1.则log a (xy)=log 21521⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.否定A 、B 、C .3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则S n =2121--n=2n-1.各选项依次为：A.y=2x-1B.y=x+2C.y=x-2D.y=2x+1 取点（S 2，S 3）=(3，7)，代入各选项，仅D 适合.4.C 取图形上的特殊点.令x=-2π，则y=-2π+1，点⎪⎭⎫ ⎝⎛+π-π-12,2••应位于直线y=x 上方，排除A 、B 、D .。

高中数学解题技巧方法总结第1篇(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)＋b(或y＝A cos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．(4)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．高中数学解题技巧方法总结第2篇(1)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项法一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(－1)nf(n)类型，可考虑利用并项法求和．高中数学解题技巧方法总结第3篇先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．推断数列的通项公式解答此类问题的具体步骤：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．高中数学解题技巧方法总结第4篇以退求进，立足特殊发散一般对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。

射影定理 Ａ ＝ Ｃ ＡＢ Ｍ Ａ ｘ 。设ＩＭ［ ，ＮＩＣ： ２，则 Ａ ＝ Ｘ Ａ Ｉ Ｘ－ａ
Ｘ ＝Ｘ．ａｘ ｒ 方程 Ｘ ２Ｘ ４ｒ０的 一 个根 ， （ ２） ２ 是 Ｌ ｒ＋ ａ ＝ 同理 ＩＮＩ Ａ 也 是方 程 Ｘ ．ｒ ＋ ａ ０的一 个 根 ， ２ Ｘ ４ｒ ２ ＝ 由韦达 定理 ｘ ｘ ２，。 ２ ｒ． ＋ ＝ ．
所示， 要使 ｘ ｌｇｘ的解 为 ０ ｘ÷， ２ ｏ ＜ ＜＜ 只须方程 ｘ＝ｏ ：ｌｇｘ的
解 专 所 （）ｌｍ， 而ｍ寺 为 ， 以专 ｏ专 从 ＝ｇ
二 、 数 与 方程 思 想 函
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２ ｌ年 第７ 总 第 １５ Ｏ２ 期（ ７ 期）
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动 点 Ｃ在 优 弧 Ａ Ｂ上 ， Ｃ 为 圆心 ， 一 圆 与 ＡＢ相 切 ， 以 作 设
在 ｙ ｌｇ Ｘ的上 面， 以 ｘ＜ｏ ＝ｏ 所 ２ ｌｇ ｘ的解 是空 集。
（ ） ０ ｍ＜ ， ＝ Ｘ 和 ｙ ｌ 在 同一 坐 标 系 内如 图 ２ 若 ＜ ｌＹ ＝ｏ ｘ ｇ
思想方法， 为分类思想， 它是近代、 现代数学中的一种重要 的思想方法。 在教学 中， 应教给学生分类 思想， 培养辨证思 维，弓 导他们 由形象分类进入本质分类，使所 学知识系统 ｌ 化、 条理化， 形成一个完整的知识 网络。 数学 问题 的论域往
往 表 现 为 一 个 大集 合 一 全 集。 分类 就 是 将 大 集 合分 为 一 些
杂向简单转化， 也可不 同数学问题之间相互转化， 目的就是 将 问题的条件转化为 问题的结论。 转化思想 就是使一种研
究对象在 一定条件转化为另一种研究对象的方法， 她是解 决数学 问题的一种重要思维方法， 要顺利实现转化， 就离不 开对基本技能的熟练掌握。 例 ３ 如图， ０的半径为 ５ 弦 Ａ ： 圆 ， Ｂ所对的圆心角为 ，

高中数学解题常用的几种解题思路和技巧数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动，所以数学的解题思路和技巧非常重要。

下面是小编分享的高中数学解题常用的几种解题思路和技巧，一起来看看吧。

高中数学解题的思路一、数形结合法高中数学题目对我们的逻辑思维、空间思维以及转换思维都有着较高要求，其具有较强的推证性和融合性，所以我们在解决高中数学题目时，必须严谨推导各种数量关系。

很多高中题目都并不是单纯的数量关系题，其还涉及到空间概念和其他概念，所以我们可以利用数形结合法理清题目中的各种数量关系，从而有效解决各种数学问题。

数形结合法主要是指将题目中的数量关系转化为图形，或者将图形转化为数量关系，从而将抽象的结构和形式转化为具体简单的数量关系，帮助我们更好解决数学问题。

例如，题目为“有一圆，圆心为O，其半径为1，圆中有一定点为A，有一动点为P，AP之间夹角为x，过P点做OA垂线，M为其垂足。

假设M到OP之间的距离为函数f(x)，求y=f(x)在[0，?仔]的图像形状。

”这个题目涉及到了空间概念以及函数关系，所以我们在解决这个题目时不能只从一个方面来思考问题，也不能只对题目中的函数关系进行深入挖掘。

从已知条件可知题目要求我们解决几何图形中的函数问题，所以我们可以利用数形结合思想来解决这个问题。

首先我们可以根据已知条件绘出相应图形，如图1，显示的是依据题目中的关系绘制的图形。

根据题目已知条件可知圆的半径为1，所以OP=1，∠POM=x，OM=|cos|，然后我们可以建立关于f(x)的函数方程，可得所以我们可以计算出其周期为，其中最小值为0，最大值为，根据这些数量关系，我们可以绘制出y=f(x)在[0，?仔]的图像形状，如图2，显示的是y=f(x)在[0，?仔]的图像。

二、排除解题法排除解题法一般用于解决数学选择题，当我们应用排除法解决问题时，需掌握各种数学概念及公式，对题目中的答案进行论证，对不符合论证关系的答案进行排除，从而有效解决数学问题。