单调性与最大(小)值-人教版必修一课件

第一章 集合和函数的概念 1.3.1单调性与最大（小）值 知识清单·课堂脉络 1、单调函数的定义 设函数)(xf的定义域为，对于定义域内某一给定区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当1x<2x时，

都有)()(21xfxf（或)()(21xfxf），那么就说函数)(xf在这个区间上是增函数（减函数），这个区间叫做)(xf的单调区间. 增函数或减函数叫做在这个区间上的单调函数，或者说)(xf在这个区间上具有（严格的）单调性.

注意： （1）、任意性：增减函数中，“任意两个自变量的值1x，2x”中“任意”两字绝不能丢掉；

（2）、有大小：1x，2x由大小，通常规定1x<2x，若在给定区间内存在21xx，且)()(21xfxf，那么函数)(xf在此区间上不单调； （3）、若函数的定义域由多个区间组成，那么1x，2x必须属于同一区间，例如函数xxf1)(在)0,(上是减函

数，在),0(上也是减函数，但是在)0,(),0(内不是减函数； （4）、自变量取值之间的不等式关系和函数值的不等式关系正逆互推，即)(xf是增（减）函数，则)()()(122121xxxxxfxf.

2、单调性和单调区间 如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做)(xfy的单调区间. 其中“定义域内某个区间D”即说明函数的单调区间是其定义域的子集.

3、单调区间的写法 （1）、一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”来连接，如函数xxf1)(

在)0,(和),0(上均是减函数，但不能说它在定义域)0,(),0(上是减函数. （2）、书写函数的单调区间时，区间端点的开闭没有严格的规定，若区间端点有意义，开闭都可以，若区间端点没有意义，则必须写出开区间.

例如：对于函数2xy，其单调减区间可以写出)0,(，也可以写成]0,(，而对于函数xy1，它的单调减区

间只能写成)0,(和),0(.

4、函数的最值 （1）、最大值：一般地，设函数)(xfy的定义域为，如果存在实数M满足：

①对于任意的x，都有Mxf)(； ②存在0x，使得Mxf)(0，那么称M是函数)(xfy的最大值.

（2）、最小值：一般地，设函数)(xfy的定义域为，如果存在实数m满足： ①对于任意的x，都有mxf)(； ②存在0x，使得mxf)(0，那么称m是函数)(xfy的最大值.

注意：最大（小）值的定义中，两个条件缺一不可，若只有第一个条件，M(m)不一定是最值，如2xy，对于

任意Rx，都有1)(xf成立，但1不是此函数的最大值.

5、函数的最值与值域、单调性之间的关系 （1）、对于一个函数来说，其值域是确定的，但不一定有最值，若存在最值，则最值一定是值域中的一个数值，

如函数xy1的值域确定，但没有最值.

（2）、若函数)(xf在闭区间ba,上是增函数，则)(xf在ba,上的最小值为)(af，最大值为)(bf；若函数)(xf在闭区间ba,上是减函数，则)(xf在ba,上的最小值为)(bf，最大值为)(af. 基础练习·夯实基础 1、下列命题正确的是（ ）. A、定义在),(ba上的函数)(xf，若存在),(21baxx、，当1x<2x时，有)()(21xfxf，那么)(xf在),(ba上为增函数 B、定义在),(ba的函数)(xf，若有无穷多对),(21baxx、，当1x<2x时，有)()(21xfxf，那么)(xf在),(ba上为增函数 C、若函数)(xf在区间1上为减函数，在区间2上也是减函数，那么)(xf在区间12上就一定是减函数

D、若函数)(xf在区间上的增函数，且))(()(2121xxxfxf、，则1x<2x

【解析】A、B中都没有强调对任意的),(21baxx、都成立，C中以函数xy1为例，虽然在)0,(及),0(上均为减函数，但在整个定义域上却不具有单调性，D中为自变量取值之间的不等式关系和函数值的不等式关系正逆互推. 答案：D

2、如下图所示，分别为函数)(1xfy和)(2xgy的图像，试写出函数)(1xfy和)(2xgy的单调增区间.

（1） （2） 【解析】根据函数图像的上升和下降趋势，确定增减区间： （1）、由图像上可知，(1,4]和(4,6]内)(1xfy呈上升趋势，所以增区间为(1,4]和(4,6]；

（2）、由图像上可知，023，和2523，内)(2xgy呈上升趋势，所以增区间为023，和2523，. 注意：多个单调性相同的区间的写法，和区间端点是否有意义，确定区间端点的开闭. 3、下图为函数)(xfy，]7,4[x的图像，指出它的最大值、最小值. 【解析】观察图像可知，图像的最高点事(3,3)，最低点是(-1.5,-2)，因此函数在x=3时取得最大值，即maxy=3；在x=-1.5时取得最小值，即miny=-2.

难点透析·加深思考 一、定义法判断或证明函数的单调性 步骤：①取值，在指定区间任取1x，2x，令1x<2x（或2x<1x）；

②作差变形，将)()(21xfxf（或)()(12xfxf）进行化简变形，使之容易判断其符号； ③定号，对变形后的差进行判断，确定)()(21xfxf（或)()(12xfxf）的符号，若不能直接定号，则需要进一步讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止； ④判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论.

例题1、证明：xxf)(在其定义域上是增函数.

【证明】用函数的单调性定义证明，严格按照以上四个步骤进行. 由题意可知xxf)(得定义域为),0[.

设1x，2x是定义域),0[上任意两个实数，且1x<2x，则)()(21xfxf=21xx

=212121xxxxxx=2121-xxxx. ∵10x<2x，∴1x-2x<0，021xx， ∴)()(21xfxf<0，即)()(21xfxf，∴xxf)(在其定义域),0[上是增函数. 例题2、证明函数xxxf1)(在[0,1]上是减函数.

【证明】由题意可知xxxf1)(得定义域为)0,(),0(. 设1x，2x是]1,0(上任意两个实数，且1x<2x，则)()(21xfxf=212111xxxx

=211221-xxxxxx=2121211xxxxxx. ∵0<1x<12x，∴021xx，1021xx，0121xx，∴)()(21xfxf>0， ∴函数xxxf1)(在[0,1]上是减函数. 二、求函数单调区间的基本方法 （1）、定义法，即“取值——作差变形——定号——判断”（最基本方法）. （2）、图像法：直接根据函数图像的升、降趋势进行判断. （3）、直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性.

例题3、已知axxxf3)(在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围.

【解析】在没有学导数之前，第一要想到的是用定义证明单调性. 设1021xx时，21313223213121)()(xxaxxaxxaxxxfxf

=axxxxxx21212212 ∵1021xx，012xx，由axxxf3)(在(0,1)上是增函数可知，0212122axxxx， ∵3212122xxxx，∴a≥3.

例题4、画出下列函数图像并写出函数的单调区间.

（1）、122xxy； （2）、322xxy；

【解析】（1）、)0(12)0(1222xxxxxxy，即)0(21)0(21-22xxxxy 据图可知，函数122xxy的单调增区间为]1,(和]1,0[，单调减区间为]0,1[和),1[. 函数122xxy可以看做122xxy，为偶函数，相当于将y轴右侧对折到y轴左侧. （2）、当0322xx时，有-1≤x≤3，函数322xxy=4)1(2x. 当0322xx时，有x<-1或x>3，函数322xxy=4)1(2x，

即)31(4)1()31(4)1(22xxxxxy或

据图可知单调增区间为1,1和),3[，单调减区间为1，和3,1. 函数322xxy相当于函数322xxy将x轴下方的图像对折到x轴上方.

例题5、求函数1)(xxxf的单调区间.

【解析】可以用分离常量的方法，1111)(xxxxf，可知定义域为1，和，1，因为 x为增函数，11x为减函数，11x为增函数，111x为增函数，所以f(x)在1，和，1上为增函数.

注意：基本初等函数的单调性

（1）、正比例函数y=kx(k≠0) 当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数. （2）、一次函数y=kx+b(k≠0) 当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.

（3）、反比例函数)0(kxky

当k>0时，函数xky的单调递减区间是)0,(，),0(，不存在单调递增区间；当k<0时，函数xky的单