天津南开中学2020届高三第三次统一考试数学试题及答案详解(21页)

天津南开中学2020届高三第三次统一考试数学试题

数学试题

一、选择题

1.设命题2:,2nPnNn，则P（ ）

A. 2,2nnNn B. 2,2nnNn

C. 2,2nnNn D. 2,2nnNn

【答案】C

【解析】

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nnNn≤，即本题的正确选项为C.

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2.设x、y、z为正数，且235xyz，则

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

【答案】D

【解析】

令235(1)xyzkk，则2logxk，3logyk，5logzk

∴22lglg3lg913lg23lglg8xkyk，则23xy，

22lglg5lg2515lg25lglg32xkzk，则25xz，故选D.

点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,xyz，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）

A. axbycz B. azbycx C. aybzcx D. aybxcz

【答案】B

【解析】

由xyz，abc，所以()()()axbyczazbycxaxzczx

()()0xzac，故axbyczazbycx；同理，()aybzcxaybxcz

()()()()0bzxcxzxzcb，故aybzcxaybxcz.因为()azbycxaybzcx()()()()0azybyzabzy，故azbycxaybzcx.故最低费用为azbycx.故选B.

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4.已知函数32()1fxxaxbx，函数(1)1yfx为奇函数，则函数()fx的零点个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

试题分析：32(1)1(3)(32)1fxxaxabxabQ为奇函数，3a，2b，32()321fxxxx，2()362fxxx，则()0fx的两根为1313x，2313x，所以，()fx的极小值为2()0fx．又(0)10fQ，(1)50f，存在0(1,0)x，使0()0fx．综上，函数()fx的零点个数为1,故应选B．

考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1yfx是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得2()0fx和，(1)50f，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．

5.设函数(21)xfxexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是（ ）

A. 3,12e B. 33,2e4 C. 33,2e4 D. 3,12e

【答案】D

【解析】

【分析】

设21xgxex，1yax，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足01gxax，求导可得出函数ygx的极值，数形结合可得01ag且312gae，由此可得出实数a的取值范围.

【详解】设21xgxex，1yax，

由题意知，函数ygx在直线yaxa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

21xgxex，当21x时，0gx；当12x时，0gx.

所以，函数ygx的最小值为11222ge.

又01g，10ge.

直线yaxa恒过定点1,0且斜率为a，

故01ag且31gaae，解得312ae，故选D.

【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.

6.设函数fx满足222,2,8xeexfxxfxfx则0x时，fx( )

A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值

【答案】D

【解析】

【详解】Q函数()fx满足2'()2()xexfxxfxx，

2'xexfxx，令2Fxxfx，

则2',24?22xeeFxFfx， 由2'2xexfxxfxx，得32'xeFxfxx，令2xxeFx，

则2'2',xxexxeFxx

x在0,2上单调递减，在2,上单调递增，

x的最小值为22220,0eFx.

又0,'0,xfxfx在0,单调递增，

fx既无极大值也无极小值，故选D.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.

【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数2Fxxfx，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.

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7.若函数22log2axfxxx为奇函数，则使不等式21log60fm成立的m的取值范围是（ ）

A. ,1 B. （0,1）

C. ,00,1U D. 1, 【答案】B

【解析】

【分析】

利用22log2axfxxx为奇函数，求出a，不等式21log60fm，即1(1)ffm，由22log2xfxxx在区间(2,2)递减，可得m的取值范围.

【详解】解：由函数22log2axfxxx为奇函数，可得fxfx；

即：2222loglog22axaxxxxx，可得1a，22log2xfxxx，

不等式21log60fm，即1(1)ffm，易得22log2xfxxx区间(2,2)递减，可得1m＞1，01m＜＜，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.

8.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km≤，12,,,,kaaaL中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

A. 18个 B. 16个

C. 14个 D. 12个

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下： ,01010011;010101011,共14个

【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．

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9.已知f(x)为偶函数，且在,0上为增函数，20f，满足不等式10fx的x取值范围是（ ）

A. 1,3 B. 3,1

C. ,13,U D. ,31,

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式10fx转化为1(2)fxf，即可得到结论.

【详解】解：由题意：f(x)偶函数，且在,0上为增函数，20f，可得f(x)

在(0,)上为减函数，且20f，10fx等价于10fx，即1(2)fxf， 则12x＞，解得：3x＞或1x，

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.

二、填空题（共6小题：共30分）

10.对于复数i,zababR，若2ii12iz，则b__________，

【答案】2

【解析】

2i12i2iii12i5z，2i=z abi，2b故答案为2.

11.在二项式51()2xx的展开式中，2x的系数为__________．

【答案】52.

【解析】

【分析】

由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解2x的系数即可.

【详解】结合二项式定理的通项公式有：35521551122rrrrrrrTCxCxx，

令3522r可得：2r=，则2x的系数为：22511510242C.

【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n、r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．