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天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高三下学期第三次月考数学试题

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天津市南开中学滨海生态城学校19-20（下）高三年级第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共45分）1.已知集合{}35M x x =-<≤，{5N x x =<-或}5x >，则M N ⋃=（ ）A. {5x x <-或}3x >- B. {}55x x -<< C. {}35x x -<< D. {3x x <-或}5x >【答案】A【详解】由并集的定义可得{5M N x x ⋃=<-或}3x >-. 故选A. 2.若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D. 3.数列{}n a 满足：()*11,0,n n a a n N R λλλ+=-∈≠∈，若数列{}1n a -是等比数列，则λ的值是（ ）A. 1B.2C.12D.1-【答案】B 分析】根据等比数列的定义，可知11211n n n n a a q a a λ+--==--，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列{}1n a -为等比数列 11211n n n n a a q a a λ+--⇒==--即：2nn a qa q λ-=-上式恒成立，可知：2qq λ=⎧⎨-=-⎩2λ⇒= 本题正确选项：B【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果. 4.偶函数()f x 在[0,2]上递增，则1221(1),log ,log 42a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭大小为( ) A.c a b >>B.a cb >>C.b ac >>D.c b a >>【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】()112211log 2log 242b f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 为偶函数，则122211log log 2222c f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 在[]0,2上递增，1122<<，所以b a c >>. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查对数函数的性质，属于基础题. 5.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是A. 函数()f x 区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D. 将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6.圆22:(1)1C x y -+=的圆心到直线:0(0)l x y a a -+=>，则a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意0a >， 圆的圆心为()1,0，到直线l1a ===⇒=. 故选：B【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查根据圆的标准方程求圆心，属于基础题.7.过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】C由题意可得双曲线的渐近线的方程为b y x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOFBOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 603ba=︒=，即223b a =. ∴双曲线的离心率为2222c a b ae aa+==== 故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．8.在平行四边形ABCD 中，2,4,60AD CD ABC ︒==∠=u u u v u u u v ，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 与AF 交于H ，则AH DE ⋅u u u v u u u v的值A. 16B. 12C.165D.125【答案】D 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出1463,55H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而可计算AH DE u u u r u u u rg . 【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，(2,23A，()2,0C ，(4,23D ， 故(1,0)E ，(3F ，所以:343AF y x =+2323:DE y x =，由343232333y x y y x ⎧=-+⎪⎨==-⎪⎩可得1463,5H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，443,5AH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,23DE =--u u u r，故122412555AH DE =-+=u u u r u u u r g ，故选D . 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量． 9.已知函数()||f x lnx =，20,01,()|42,1x g x x x <⎧=⎨--⎩…若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是( ) A. []0,ln2B. (]2ln2,0--C.()2ln2,0--D.[]0,2ln2+【答案】B 【分析】设()()h x f x m =+，则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，分析函数()h x 与()g x 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【详解】设()()h x f x m =+，则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到， 当x=1时，h （1）f =（1）1m ln m m +=+=， 所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m ）, 当x=1时，g(1)=0,当x=2时，g （2）2=-，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2）， 当x=2时，h （2）2ln m =+，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m ）, 要使方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解， 则等价为()h x 与()g x 的图象有三个不同的交点，则满足(1)(1)(2)(2)h g h g ⎧⎨>⎩„，即022m m ln ⎧⎨+>-⎩„得022m m ln ⎧⎨>--⎩„，即220ln m --<„，即实数m 的取值范围是(22ln --，0]， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每小题5分，共30分） 10.已知复数32i 1iz -=-，i 为虚数单位，则2z =__________. 【答案】132【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.【详解】()()()()32i 1i 32i 1i 1i 1i z -+-==--+Q 5i2+=, 225113442z ∴=+=，故答案为132. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11.曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________. 【答案】12 【分析】求出原函数的导函数，求得x=1时的导数值得答案． 【详解】由题意可得：()2f'39x x x =+,∴()f'13912=+=∴曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为12， 故答案为12【点睛】本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．12.二项式53x x（-）的展开式中常数项为__________． 【答案】10-．试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr TC xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-． 考点：二项式定理．13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 . 【答案】24 试题分析：设正方体外接球的半径为R ,由：34433R ππ=，解得：3R ,设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以答案为24.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.14.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21mn+的最小值为__________． 【答案】1【分析】将224m n a a a =写成等比数列基本量1a 和q的形式，由1a q =可得28m n +=；从而利用()2112128m n m n m n ⎛⎫+=⋅++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈Q 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：1【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到,m n 满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. 15.已知函数()f x 满足，(),0ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，其中0k ≥，若函数()()1y f f x =+有4个零点，则实数k的取值范围是___. 【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数()()1y f f x =+有4个零点所需满足的条件. 【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中1211,=m m e<-，因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y ff x =+有4个零点，需2()f x m =有两根,即21k m k e≥∴≥，【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题. 三、解答题16.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 【答案】（1）12；（2）1 试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =， ∴2BD =设AC x =，则2AB x =， 在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅， ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，∴223342222xx --=-，解得1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 17.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）105【详解】试题分析：（1） 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-u r ，()0,0,1n =r ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为10． 试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD = 所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BFPAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB u u u v 的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =u u u r ，，,()100AB u u u v ，，=则 ()(1,13BM x y z PM x y z =-=--u u u u v u u u u v ，，，， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =r ，，是底面ABCD 的法向量，所以0,cos sin45BM n =r u u u u v ()222z 21x y z =-++即（x-1）²+y²-z²=0 又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=u u u u v u u u v 则x ,1,33y z λλ=== 由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 261-,1，⎛ ⎝⎭，从而26AM 1-22⎛= ⎝⎭u u u u v ， 设()000x ,y ,z m =u r 是平面ABM 的法向量，则(00002-2x 2y 6z 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩u u u u v u u u v 即所以可取(0,2)m =u r .于是·,5m n cos m n m n==u r r u r r u r r 因此二面角M-AB-D的余弦值为5点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m ，n >|=·m n m nu r r u r r ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 18.已知椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b经过点(2,3P -离心率=3e . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0k k k k ≠（）.则是否存在常数λ，使得向量m =v 123(,),(,1)k k n k λ+=v 共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点2,3P ⎛- ⎝⎭，离心率e ，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）直线AB 的方程为()2y k x =+， 代入椭圆方程整理得()222231121260k x k x k +++-=，求得M 的坐标为()3,k --，求出()1212121242324x x k k k x x x x +++=-⨯+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k +=，从而可得结果. 【详解】（1）由2,3P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，∴224213a b +=.①由已知e =得3c a =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴223a b =.②②代入①解得226,2a b ==. ∴椭圆C 的方程为22162x y +=. （2）假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k nk λ=+=v v 共线， ∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()2y k x =+，③代入椭圆方程22360xy +-=并整理，得()222231121260k x k x k +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则有21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.从而11132y k x -=+，22232y k x =+，331k k k -==+-∴()()12121212112233332222y y k x k x k k x x x x +++=+=+++++()1212124224x x k x x x x ++=+++ , ⑤④代入⑤得22122222124312221262443131k k k k k k k k k k k -+⎛++===+ -⎝⎭-+++，又303k k =+≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，1nn i i S b ==∑.求n S 及使12500n n S n ++⋅->成立的最小正整数n 的值. 【答案】（1）2n n a =（2）见解析试题分析： 1? \*?GB2?=⑴由已知条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{}n a 的通项公式；⑵求出n b 和n S 的表达式，对题目中的不等式进行变形即可解答；解析：（1）设此等比数列首项为1a ，公比为q ，其中10a ≠，0q ≠，由题意知：2311128a q a q a q ++=，()3211122a q a qa q +=+， 得3211161560a q a q a q -+=，即225202q q q -+=⇒=，12q =， ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，22n n q a =⇒=.（2）①2n n b n =-⋅，∴123n n S b b b b =++++=L ()231222322n n -⨯+⨯+⨯++⋅L ， 设231222322n n T n L =⨯+⨯+⨯++⋅，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ， 得231121212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯L ()1122n n +=---， ∴()1122n n S n +=---，②要使12500n n S n ++⋅->成立， 即()111222500n n n n ++---+⋅->，即226n >，∵421626><，523226>>，且2x y =是单调递增函数，∴满足条件的n 的最小值为5.20.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->Q ， ∴()11'ax f x a x x -=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立， ()f x ∴在()0,∞+是单减函数. 当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数. 综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭. 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈， 0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

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天津市滨海新区2019-2020学年中考第三次适应性考试数学试题含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考第三次适应性考试数学试题含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考第三次适应性考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2B．12cm2C．24cm2D．48cm23．下列解方程去分母正确的是( )A．由，得2x﹣1＝3﹣3xB．由，得2x﹣2﹣x＝﹣4C．由，得2y-15=3yD．由，得3(y+1)＝2y+64．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )A．12B．13C．14D．165．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )A．AD DEDB BC=B．BF EFBC AD=C．AE BFEC FC=D．EF DEAB BC=6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2D．y＝2(x﹣3)27．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．已知二次函数y=3（x ﹣1）2+k 的图象上有三点A （2，y 1），B （2，y 2），C （﹣5，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 19．某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理，化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是( ) A ．19B ．14C ．16D ．1310．（2011•雅安）点P 关于x 轴对称点为P 1（3，4），则点P 的坐标为（ ） A ．（3，﹣4） B ．（﹣3，﹣4） C ．（﹣4，﹣3） D ．（﹣3，4）11．下列各式中的变形，错误的是（（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．函数23x +x 的取值范围是_____． 148x -有意义，则x 的取值范围是 ． 15．方程1223x x =+的解为__________. 16．如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．17．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，已知点E 、点F 分别为ABD ∆和ADC ∆的重心，如果12BC =，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于________．18．已知ab=﹣2，a﹣b=3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为_______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．20．（6分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：本次一共调查了多少名购买者？请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AB＝25，DE＝10，弧DC的长为a，求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S．（用含字母a的式子表示）．22．（8分）如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．23．（8分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？24．（10分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．（1）求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（2）当运载火箭继续直线上升到D处，雷达站测得其仰角为56°，求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.1．）25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C （3，3）．（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1； （2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2； （3）判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）26．（12分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已经成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间1y (单位：分钟)是关于x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站 A B C D E X(千米)8 9 10 11.5 13 1y (分钟)1820222528(1)求1y 关于x 的函数表达式；李华骑单车的时间2y (单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用221y x 11x 782=-+来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.27．（12分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故正确；D、是轴对称图形，故错误．故选C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．C【解析】【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6cm×8cm=14cm1．故选：C．【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.3．D【解析】【分析】根据等式的性质2，A方程的两边都乘以6，B方程的两边都乘以4，C方程的两边都乘以15，D方程的两边都乘以6，去分母后判断即可．【详解】A．由，得：2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；B．由，得：2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；C．由，得：5y﹣15＝3y，此选项错误；D．由，得：3（y+1）＝2y+6，此选项正确．故选D．【点睛】本题考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．4．D【解析】【分析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是212＝16；故选D．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵DE∥BC，∴DEBC＝ADAB，BD≠BC，∴ADBD≠DEBC，选项A不正确；∵DE∥BC，EF∥AB，∴BFBC＝AEAC，EF=BD，EFAD＝BDAD，∵AEAC≠BDAD，∴BFBC≠EFAD，选项B不正确；∵EF∥AB，∴AEEC＝BFCF，选项C正确；∵DE∥BC，EF∥AB，∴EFAB＝CEAC，DEBC=AEAC，CE≠AE，∴EFAB≠DEBC，选项D不正确；故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关健．6．C【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.7．B【解析】试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根.8．D【解析】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.故选D点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.作出树状图即可解题. 【详解】解：如下图所示一共有9中可能,符合题意的有1种,故小华和小强都抽到物理学科的概率是1 9 ,故选A.【点睛】本题考查了用树状图求概率,属于简单题,会画树状图是解题关键.10．A【解析】∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P的坐标为（3，﹣4）．故选A．11．D【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．【详解】A、，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．【详解】选项A，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项B，新图形是中心对称图形，故此选项正确；选项C，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项D，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x≥﹣32且x≠1．【解析】【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．【详解】由题意得，2x+3≥0，x-1≠0，解得，x≥-32且x≠1，故答案为：x≥-32且x≠1．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．14．x≥８【解析】略15．1x=【解析】【分析】两边同时乘2(3)x x+，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.【详解】解：两边同时乘2(3)x x +，得34x x +=，解得1x =，检验：当1x =时，2(3)x x +≠0，所以x=1是原分式方程的根，故答案为：x=1.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.16．1【解析】析：本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为117．4【解析】【分析】连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，根据三角形的重心的概念可得12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，即可求出GH 的长，根据对应边成比例，夹角相等可得EAF GAH ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，∵点E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心， ∴12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =， ∵12BC =， ∴111()126222GH DG DH BD CD BC =+=+==⨯=， ∵2AE GE =，2AF HF =， ∴23AE AF AG AH ==，∵EAF GAH ∠=∠，∴EAF GAH ∆∆∽， ∴23EF AE GH AG ==， ∴4EF =，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18．﹣18【解析】【分析】要求代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3的值，而代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3恰好可以分解为两个已知条件ab ，（a ﹣b ）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．【详解】a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3=ab （a 2﹣2ab+b 2）=ab （a ﹣b ）2，当a ﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18， 故答案为：﹣18.【点睛】本题考查了因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握因式分解的方法以及运用整体的数学思想是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）254y x x =-+-；（2）（0174）或（0，4）．【解析】试题分析：（1）将A 点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式；（2）本题要分两种情况进行讨论：①PB=AB ，先根据抛物线的解析式求出B 点的坐标，即可得出OB 的长，进而可求出AB 的长，也就知道了PB 的长，由此可求出P 点的坐标；②PA=AB ，此时P 与B 关于x 轴对称，由此可求出P 点的坐标．试题解析：（1）∵抛物线25y x x n =-++经过点A （1，0），∴4n =-，∴254y x x =-+-；（2）∵抛物线的解析式为254y x x =-+-，∴令0x =，则4y =-，∴B 点坐标（0，﹣4），AB=17， ①当PB=AB 时，PB=AB=17，∴OP=PB ﹣OB=174-．∴P （0，174-），②当PA=AB 时，P 、B 关于x 轴对称，∴P （0，4），因此P 点的坐标为（0，174-）或（0，4）． 考点：二次函数综合题．20．（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A 种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A 和B 两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A 和D 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A 种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A 和B 两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200， 即本次一共调查了200名购买者；（2）D 方式支付的有：200×20%=40（人），A 方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A 种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°， （3）1600×60+56200=928（名）， 答：使用A 和B 两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（1）见解析；（2）75﹣154a. 【解析】【分析】（1）连接CD ，求出∠ADC=90°，根据切线长定理求出DE=EC ，即可求出答案；（2）连接CD 、OD 、OE ，求出扇形DOC 的面积，分别求出△ODE 和△OCE 的面积，即可求出答案【详解】（1）证明：连接DC，∵BC是⊙O直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∵∠C=90°，BC为直径，∴AC切⊙O于C，∵过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠A=∠ADE；（2）解：连接CD、OD、OE，∵DE=10，DE=CE，∴CE=10，∵∠A=∠ADE，∴AE=DE=10，∴AC=20，∵∠ACB=90°，AB=25，∴由勾股定理得：BC===15，∴CO=OD=， ∵的长度是a ，∴扇形DOC 的面积是×a×=a ，∴DE 、EC 和弧DC 围成的部分的面积S=××10+×10﹣a=75﹣a ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．22．（1）214y x x =-；（2）（2+221）（ 2-22，1）；（3）存在，145t =，245t =36t =，4132t = 【解析】试题分析：（1）将x=-2代入y=-2x-1即可求得点B 的坐标，根据抛物线过点A 、O 、B 即可求出抛物线的方程.（2）根据题意，可知△ADP 和△ADC 的高相等，即点P 纵坐标的绝对值为1，所以点P 的纵坐标为1± ，分别代入214y x x =-中求解，即可得到所有符合题意的点P 的坐标． （3）由抛物线的解析式为214y x x =- ，得顶点E （2，﹣1），对称轴为x=2； 点F 是直线y=﹣2x ﹣1与对称轴x=2的交点，求出F （2，﹣1），DF=1．又由A （4，0），根据勾股定理得5AE = ．然后分4种情况求解.点睛：（1）首先求出点B 的坐标和m 的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△ADP 与△ADC 有共同的底边AD ，因为面积相等，所以AD 边上的高相等，即为1；从而得到点P 的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P 的纵坐标；（3）如解答图所示，在点M 的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF 的长度，从而得到运动时间t 的值．23．（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【解析】【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x 元，乙种羽毛球每筒的售价为y 元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）①设购进甲种羽毛球m 筒，则乙种羽毛球为（200﹣m ）筒，由条件可得到关于m 的不等式组，则可求得m 的取值范围，且m 为整数，则可求得m 的值，即可求得进货方案；②用m 可表示出W ，可得到关于m 的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．【详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据题意可得1523255x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得6045xy=⎧⎨=⎩，答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得()()504020878032005m mm m⎧+-≤⎪⎨>-⎪⎩，解得75＜m≤78，∵m为整数，∴m的值为76、77、78，∴进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，∵5＞0，∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.24．（1）1.7km；（2）8.9km；【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可以表示出OA和OB的长，从而可以求得AB的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出CD，从而可以求得此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离．【详解】解：（1）由题意可得，∠BOC=∠AOC=90°，∠ACO=34°，∠BCO=45°，OC=5km，∴AO=OC•tan34°，BO=OC•tan45°，∴AB=OB﹣OA=OC•tan45°﹣OC•tan34°=OC（tan45°﹣tan34°）=5×（1﹣0.1）≈1.7km，即A，B两点间的距离是1.7km；（2）由已知可得，∠DOC=90°，OC=5km ，∠DCO=56°，∴cos ∠DCO=,OC CD即5cos56,CD =o ∵sin34°=cos56°，∴50.56CD=， 解得，CD≈8.9答：此时雷达站C 和运载火箭D 两点间的距离是8.9km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答． 25．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．【解析】【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可．【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA 1224117+=A 12253+34即OB 2+OA 12=A 1B 2，所以三角形的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．26． (1) y 1＝2x ＋2；(2) 选择在B 站出地铁，最短时间为39.5分钟．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=12x2-9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．【详解】(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入y1=kx+b,得：818, 920. k bk b+=⎧⎨+=⎩解得2,2. kb=⎧⎨=⎩所以y1关于x的函数解析式为y1=2x+2. (2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则y=y1+y2=2x+2+12x2-11x+78=12x2-9x+80=12(x-9)2+39.5.所以当x=9时,y取得最小值,最小值为39.5,答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．27．1【解析】【分析】原式第一项利用乘方法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【详解】解：原式=1﹣1×+1+=1﹣+1+=1．【点睛】此题考查了含有特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.。

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模试卷含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模试卷含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若分式11x - 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞1 B ．x ＜1C ．x≠1D ．x≠0 2．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A ．当k 0=时，方程无解B ．当k 1=时，方程有一个实数解C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解3．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．4．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处5．平面直角坐标系中的点P （2﹣m ，12m ）在第一象限，则m 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx+n （m≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a+b=0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤7．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．38．平面上直线a、c与b相交(数据如图)，当直线c绕点O旋转某一角度时与a平行，则旋转的最小度数是( )A．60°B．50°C．40°D．30°9．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜010．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为()A2R B．32R C2D3R11．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A 下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A ．3B ．4﹣3C ．4D ．6﹣2312．计算：()()223311a a a ---的结果是( ) A ．()21a x - B ．31a -． C ．11a - D ．31a + 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．正八边形的中心角为______度．14．计算2211x x x ---的结果为_____． 15．如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为()3,2，90AOB ∠=o ，30OAB ∠=o ，AB 与x 轴交于点C ，那么AC ：BC 的值为______．16．若一个棱柱有7个面，则它是______棱柱．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F 在x 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数k y x=（k≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ．若AB=2，则k 的值为________．18．分解因式：3x 2-6x+3=__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：-2-2 - 12+2 1sin60π3⎛⎫-︒+-⎪⎝⎭20．（6分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？21．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线；（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．22．（8分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．(1)试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．(2)求至少有一辆汽车向左转的概率．23．（8分）某校航模小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒，A在地面C的北偏东12°方向，B在地面C的北偏东57°方向．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）24．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．请画出平移后的△DEF．连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是________．25．（10分）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．26．（12分）某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．27．（12分）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，1．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】【详解】分式分母不为0，所以10x -≠，解得1x ≠.故选：C.2．C【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解．当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+，∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ．3．C【解析】 试题分析：观察可得，只有选项C 的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.4．D【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【详解】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．如图所示，故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．5．B【解析】【分析】【详解】根据第二象限中点的特征可得：2-m0 1m0 2>⎧⎪⎨>⎪⎩，解得：m2 m0<⎧⎨>⎩.在数轴上表示为：故选B.考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征6．C试题解析：∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1， ∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；∵抛物线y 1=ax 2+bx+c 与直线y 2=mx+n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以⑤正确．故选C ．考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x 轴的交点．7．B【解析】 ∵摸到红球的概率为15， ∴2125n =+， 解得n=8，故选B ．8．C【解析】【分析】先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a ∥c ，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．9．A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选A．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10．D【解析】【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得3解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=3R，故选D.【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.11．B【解析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin∠3∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A的坐标为（0，6）。

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则M N ⋂=（ ） A ．{|14}x x ≤≤ B ．{|1}x x ≥ C ．{|14}x x -≤≤ D ．{|1}x x ≥- 【答案】A【解析】{|14},{|1}M x x N x x =-≤≤=≥,所以{|14}M N x x ⋂=≤≤,故选A.2．已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】做出可行域，根据图像，即可求解. 【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A 由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时， 取得最小值为3. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 3．如图是一个算法流程图，则输出k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出k ，即可求出结论. 【详解】38,2S k ==；34,3S k ==；26,4S k ==； 10,5S k ==；22,6S k =-=，输出6.故选:D 【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可． 【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2019＞0成立， 若q ≠1，则S 2019()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2019符号相同， ∴a 1与S 2019的符号相同， 则“a 1＞0”⇔“S 2019＞0”， 即“a 1＞0”是“S 2019＞0”充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n 项和公式是解决本题的关键．5．要得到函数y =的图象,只需将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动6π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动6π个单位长度 【答案】C【解析】将y =化为)2y x π=+根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解. 【详解】将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数4y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像，再向左平移4π个长度单位，得到函数)2y x y x π=+==. 故选:C. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【解析】试题分析：函数()f x 是偶函数，在上是增函数，所以在(]0,+∞上是减函数，0.6420.2log 7log 3<<Q ()()()0.6420.2log 7log 3f f f b a c ∴>>∴<<【考点】函数奇偶性单调性7．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若(),0,P m PA PB =，则双曲线的离心率等于( )A ．32B 5C 5D ．2【答案】B【解析】将直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线的渐近线方程22220x y a b-=联立，结合韦达定理，求出AB 中点M 坐标，由(),0,P m PA PB =，得出直线PM 斜率为-3，求出,a b 关系，即可求解. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为22220x y a b-=，联立2222030x y a b x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去x 得222222(9)60b a y mb b m --+=，当2222290,0,40b a m m a b -≠≠∆=>，设AB 中点为00(,)M x y ，则202239mb y b a =-， 2002239ma x y m b a =-=-，2222223(,)99ma mb M b a b a∴--， (),0,P m PA PB =，2222222223393299MPmb b b a k ma a b mb a -===----，解得2222222154,,144b b a b e a a =∴==+=，e ∴=. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的渐近线的位置关系，合理设出渐近线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.8．()()21,02,41,0x x f x x x g x xx x ⎧+>⎪=--=⎨⎪+≤⎩，若方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，则a 的取值范围是( )A ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,2【答案】A【解析】设2()(1)11t f x x ==-++≤，方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，根据已知条件，()g t a =有两不大于1的解，结合()y g t =图像与直线y a =关系，即可求出a 的范围. 【详解】设2()(1)11t f x x ==-++≤，()g t a = 方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，()g t a =有两不大于1的解，由已知得，当0t ≤，()1g t ≤ 当0t >，1()14g t t t =+≥，当且仅当12t =时，等号成立， 做出()y g t =的图像如下图所示：5(1)4g =，所以54a ≤ 当54a =时，5()4g t =，则0t >，有1544t t +=解得1t =或14t =此时()t f x =只有三个解，不合题意， 根据图像可得514a ≤<. 故选:A.【点睛】本题考查复合函数根的个数求参数，换元结合函数图像是解题的关键，属于中档题.二、填空题9．已知i 为虚数单位，则13ii+=-__________. 【答案】1255i + 【解析】由复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i i i i i ++++===+--+. 故答案为:1255i + 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.10．123x x ⎛⎝展开式中的常数项为__________. 【答案】220-【解析】写出123x x ⎛⎝展开式的通项，令x 的指数为零，即得常数项. 【详解】12x ⎛ ⎝展开式中第1k +项为 41212311212((1),0,1,2,12k k k k k kk T C xC x k --+==-=L ，令4120,93k k -==，所以常数项为931212220C C -=-=-. 故答案为:-220 【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,4，则其外接球的表面积为__________. 【答案】32π【解析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解. 【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，则长方体相邻的三边长为2,4，且长方体的外接球即为所求，=所以所求的外接球的表面积为2432ππ⨯=. 故答案为:32π. 【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于基础题.12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M ()14cos πθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数).若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于__________. 【答案】8()14cos πθ+=化为直角坐标方程，244x t y t ⎧=⎨=⎩消去参数化为普通方程，联立方程，由韦达定理结合弦长公式，即可得出结论.【详解】()214cos πρθ+=展开得sin 1cos ρθρθ-=，得到10x y --=为曲线M 的直角坐标方程，244x t y t⎧=⎨=⎩消去参数得24y x =， 联立2104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y y --=， 1616320∆=+=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12124,4y y y y +==-，2121212||11||2()48AB y y y y y y =+-=+-=.故答案为:8. 【点睛】本题考查极坐标方程与直线坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，属于基础题.13．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.【答案】22【解析】根据基底,AB AD u u u r u u u r 表示,,AP BP u u u v u u u v 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=u u u r u u u r，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2231162AD AB AB AD=--⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 14．已知()2f x x bx c =++，且()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，则b c +的值为__________. 【答案】152【解析】()12f x ≤等价于()1122f x -≤≤，在[]3,5x ∈恒成立，只需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，根据()2f x x bx c =++的对称轴分类讨论，求出()f x 在[]3,5x ∈的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】()222()24b b f x x bxc x c =++=+-+，对称轴方程为2b x =-，()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，当3,62b b -≤≥-时，()max min1=(5)52521()(3)392f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩①②，(1)-⨯①+②得152b ≤-，不合题意舍去； 当5,102b b -≥≤-时，()max min1=(3)3921()(5)5252f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩③④，(1)-⨯③+④得172b ≥-，不合题意舍去； 当max max 35,106,(){(3),(5)}2bb f x f f <-<-<<-=2min1(3)3921(5)52521()()242f b c f b c b b f x f c ⎧=++≤⎪⎪⎪=++≤⎨⎪⎪=-=-+≥-⎪⎩⑤⑥⑦⑤+⑥(2)+-⨯⑦得228320,(8)02b b b ++≤+≤，2(8)0,8b b ∴+==-，代入⑤⑦得312312c c ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，3115,22c b c ∴=+=. 故答案为:152.【点睛】本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.三、解答题15．已知函数()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()2a c cosB bcosC -=，求2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. 【答案】(1)π;(2)2⎛⎝ 【解析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简()fx 2(6)x π=+，即可求出周期；（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出3B π=，求出A的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】(1)由()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-22266cos xcossin xsinsin x ππ=++32222sin x x =+2(6)x π=+，则()f x 的最小正周期2T ππω==;(2)由正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== 则2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===， 由()2a c cosB bcosC -=，则()2sinA sinC cosB sinBcosC -=，则()2sinAcosB sin B C =+， 由()() 0sin B C sin A sinA π+=-=>， 所以12cosB =， 由0B π<<，则3B π=22266A A f A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由203A π<<，则5666A πππ<+<，所以1126sin A π⎛⎫ ⎪⎝⎭<+≤(6)A π<+≤所以2A f ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭⎝. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.16．甲､乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人.随机播放一首歌曲， 参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分， 假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为211,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望; (3)求两队得分之和大于4的概率. 【答案】(1)25;(2)分布列见解析，()2E ξ=;(3)48243【解析】（1）用求组合数的方法，求出从6人中抽取2人的抽法个数，再求出2人来自同一组的抽法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解； （2）甲队中每人答对的概率均为23，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分ξ服从二项分布，23,3~B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出分布列和期望； （3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5分包括甲队2分乙队3分和甲队3分乙队2分，总分和为6分甲乙各3分.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果. 【详解】(1)6个选手中抽取两名选手共有2615C =种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:2326C =种结果用A 表示事件:“从两队的6个选手中抽取两名选手， 求抽到的两名选手在同一个队.”()62155P A == 故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范， 抽到的两名选手在同一个队的概率为25(2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭()303110327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()21321613327P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()223211223327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()333283327P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ξ∴的分布列为:ξ123P1272949827ξ的数学期望12480123227992)7(E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)用B 表示事件:“两队得分之和大于4”， 包括:两队得分之和为5，两队得分之和为6， 用1A 表示事件:“两队得分之和为5”， 包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.()3121212121113332323323P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4211409323243⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭用2A 表示事件:“两队得分之和为6”，甲队3分乙队3分，()32221183332243P A ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ ()()()1240848243243243P P A P A B =+=+=【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.17．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为3π？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）4π（3）见解析 【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴建立平面直角坐标系，由11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()0,2,0DC =u u u v ，GF DC ⊥u u u v u u u v证得//FG 平面PED2?\*?GB2?=⑵建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；⑶假设存在点M ，由共线向量基本定理得到M 点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM 与直线PA 所成角为3π转化为两向量所成的角为3π，由两向量的夹角公式求出M 点的坐标，得到的M 点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论． 解析：（1）∵EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，∴PD ⊥平面ABCD ， ∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，又四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD ⊥，故PD ，AD ，CD 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，∵22AD PD EA ===， ∴()0,0,0D ，()0,0,2P ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,1E ，∵F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点， ∴()1,1,1F ，12,1,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1H ， 11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，平面PED 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u v ，又∵11002002GF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u v u u u v ，∴GF DC ⊥u u u v u u u v，又∵FG ⊄平面PED ，∴//FG 平面PED .（2）11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，12,0,2GH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，设()1111,,n x y z =u v为平面FGH 的一个法向量，则1100n GF n GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取11y =，得()10,1,0n =u v ，()2,2,2PB =-u u u v ，()0,2,2PC =-u u u v，设()2222,,n x y z u u v =为平面PBC 的一个法向量，则220n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ， 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取21z =得()20,1,1n u u v =，∴12cos ,n n = 12122n n n n ⋅=⋅u v u u v u v u u v ，∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. （3）假设在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π， 设PM PC λ=u u u u v u u u v，其中01λ≤≤，由()0,2,2PC =-u u u v ，则()0,2,2PM λλ=-u u u u v ， 又∵FM FP PM =+u u u u v u u u v u u u u v ，()1,1,1FP =--u u uv ，∴()1,21,12FM λλ=---u u u u v ， ∵直线FM 与直线PA 所成角为3π，()2,0,2PA u uu v =-，∴1cos ,2FM PA =u u u u v u u u v ，即()222412221221λλ--+=⋅+-，解得58λ=， ∴550,,44PM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u v ，524PM =u u u u v ，∴在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π，此时4PM =. 18．已知数列{}n a 中，11a =，且()2212121,3kk k k k k a a a a -+=+-=+，其中*k N ∈. (1)求234,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 通项公式; (3)求数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】(1)20a =，33a =，44a =;(2)()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数）;(3)+1233222n n S n =-- 【解析】（1）用1k =代入递推公式分别求出23,a a ，再将2k =，代入前一个递推公式，求出4a ；（2）由递推公式可得()212113kk k k a a +-=+-+，用累加法求出奇数项的通项公式，再由递推关系，求出偶数项的通项公式，即可求解；（3）根据通项公式将前2n 项和分成奇数项和与偶数项分别求和，转化为求等比数列和常数列的和. 【详解】(1)211110a a =-=-=,323033,a a =+=+=431314;a a =+=+= (2)()21221313,kk k k k k a a a +-=+=+-+ 所以()212113kk k k a a +--=-+， 所以()131113a a -=-+，()225313a a -=-+，·······()212113kk k k a a +--=-+累加，得()()()121221111...1)33.(..3k kk a a +=+-+-++-+++⎦+⎡⎤⎣()()()()11131311113kk ⎡⎤-⋅--⋅-⎣⎦=++---()11133122kk +---=++()13112kk ++-=-令21k n +=，则12n k -=，112n k ++=所以()212113112(n n n a n -+⎡⎤⎢-⎥⎦=-⎣+为奇数)()()12213131313122k kk k k kk k a a +++-+-=-=--=-令2k n =，则2n k =所以()22(13121,nn n a n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+-为偶数);所以()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数） (3)1321n a a a -++⋅⋅⋅+()()()113121111312112222221133311122n n n ++-+----⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()021111133112231n n n -⎡⎤=+++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-+-⎣⋅+-⎦⋅⋅ ()()()()12121133112312nn n ⎡⎤=++--+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()2422422222222421133311122n n n a a a n⎛⎫⎡⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()12121133311122n nn ⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦ 所以()+11223133333 (322213)22n n nnSn n n ⋅-=+++-=-=---【点睛】本题考查求数列的通项公式，关键要寻找项之间的关系，考查用分组求和等价转化为求等比数列的和，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在平面直角坐标系0x y 中，已知椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的离心率3e =，12,A A分别是椭圆E 的左､右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q .(1)求直线OP 的方程; (2)求1PQ QA 的值;(3)设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记三角形OBC 和三角OMN 的面积分别为12,S S .求12S S ⋅的最大值.【答案】(1)3y x =;(2)34;(3)45a 【解析】（1）连接2A P ，根据已知条件由21A P A P ⊥，212|||||A P OA OA a ===，可得||OP a =，从而有2OA P ∆为等边三角形，可得出直线OP 倾斜角为3π，即可求解； （2）由32e =，椭圆方程化为222241x y a a +=，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，求出P 点坐标，进而求出直线1A P 方程，与椭圆方程联立，求出点Q 坐标，即可求解； （3）设OM 的方程为()0y kx k =>，与椭圆方程联立求出B 点坐标，进而求出||OB ，同理求出||,||,||OC OM ON ，求出12S S ⋅以k 为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值. 【详解】(1)连接2A P ，则21A P A P ⊥，且2||A P a =，又12||2A A a =，所以1260A A P ∠=o.又22||||A P A O =，所以2OPA V 为正三角形，所以260POA ∠=o，所以直线OP的方程为y =.(2)由(1)知，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，P点坐标为(,)22a ，1(,0)A a -， 1A P的方程为)3y x a =+，因为e =c a =所以222231,44c a b a ==， 故椭圆E 的方程为222241x y a a+=由()2222341y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22780x ax a ++=， x a =-或7a x =-，7Q ax ∴=- 所以()1||327||47a a PQ a QA a⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--- (3)不妨设OM 的方程为()0y kx k =>，联立方程组222241y kx x y aa =⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(14),k x a x +==0,k B >在第一象限，得B ⎛⎫所以||OB =用1k -代替上面的k，得||OC =圆2A 方程为2220x y ax +-=，联立2220y kx x y ax =⎧⎨+-=⎩整理得22(1)20k x ax +-=， 0x =或221a k +，得2222(,)11a ak M k k ++，所以||OM = 用1k -代替上面的k，得||ON = 所以4121||||||||4S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=15=≤当且仅当1k =时等号成立，所以12,S S 的最大值为45a . 【点睛】本题考椭圆的性质应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的性质，考查计算能力和综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于较难题.20．已知函数f （x ）＝（x ＋b ）（x e －a ），（b ＞0），在（－1，f （－1））处的切线方程为（e －1）x ＋ey ＋e －1＝0． （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程f （x ）＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 2－x 1≤1＋(12)1m e e－－．【答案】（Ⅰ）1a =，1b =（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a ,b 的方程组，求解方程组并检验可得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-，则()f x 在(-1，0)处的切线方程为()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()()F x f x h x =-，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.【详解】 （Ⅰ）由题意()10f -=，所以()()1110f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以()111b f a e e-=-=-+'， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾， 故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， ()()00,10f f =-=， 设在(-1，0)处的切线方程为，易得，()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令()()()F x f x h x =-即()()()()11111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()()12x F x x e e'=+-， 当2x ≤-时，()()1120xF x x e e e=+-<-<'， 当2x >-时，设()()()12x G x F x x e e =+'=-， ()()30x G x x e =+>'， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故.()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为'1x ，则'111me x e =-+-又函数()h x 单调递减， 故()()()'111h x f x h x =≥，故'11x x ≤， 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e =+-'， 当2x ≤-时，()()2220xT x x e =+-<-<'，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，，()()22f x t x ≥设()t x m =的根为'2x ，则'2x m =又函数()t x 单调递增，故()()()'222t x f x t x =≥，故'22x x ≥， 又'11x x ≤，()''2121121111m e me x x x x m e e -⎛⎫-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．2．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象交于A（2，2）、B（﹣2，﹣2）两点，当y=x的函数值大于的函数值时，x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞24．如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）A．4 B．23C．12 D．435．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9米B．5×10﹣8米C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米6．计算(ab2)3的结果是()A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b67．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（）A．B．C．D．8．已知a＜1，点A（x1，﹣2）、B（x2，4）、C（x3，5）为反比例函数a1yx-=图象上的三点，则下列结论正确的是（）A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x1＞x2D．x2＞x3＞x19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=1．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或6 C．﹣4或7 D．﹣3或610．若分式11x-有意义，则x的取值范围是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1D．x≠011．如图，CE，BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．312．如图1，点E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若点P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ 是等腰三角形；②S △ABE =48cm 2；③14＜t ＜22时，y=110﹣1t ；④在运动过程中，使得△ABP 是等腰三角形的P 点一共有3个；⑤当△BPQ 与△BEA 相似时，t=14.1．其中正确结论的序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．①③④D ．①③⑤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.14．小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________．15．某物流仓储公司用如图A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20kg ，A 型机器人搬运1000kg 所用时间与B 型机器人搬运800kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_____．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，tan ∠ACB=2，D 在△ABC 内部，且AD=CD ，∠ADC=90°，连接BD ，若△BCD 的面积为10，则AD 的长为_____．17．如图，在菱形ABCD 中，AB=3，∠B=120°，点E 是AD 边上的一个动点（不与A ，D 重合），EF ∥AB 交BC 于点F ，点G 在CD 上，DG=DE ．若△EFG 是等腰三角形，则DE 的长为_____．18．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2﹣2ax 与x 轴相交于O 、A 两点，OA=4，点D 为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b 与该抛物线相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，B 点的横坐标是﹣1． （1）求k ，a ，b 的值；（2）若P 是直线AB 上方抛物线上的一点，设P 点的横坐标是t ，△PAB 的面积是S ，求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当PB ∥CD 时，点Q 是直线AB 上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q 点坐标．20．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 交AB 于点F ，⊙O 的切线BC 与AD 的延长线交于点C ，连接AE ．（1）试判断∠AED 与∠C 的数量关系，并说明理由；（2）若AD=3，∠C=60°，点E 是半圆AB 的中点，则线段AE 的长为 ．21．（6分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴直线x ＝32交x 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，交x 轴于点G ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段FG 绕点G 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段FG 与抛物线交于点N ，在线段GB 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（8分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？23．（8分）如图，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，3BC=求O e 的半径.24．（10分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC ．求证：BG=FG ；若AD=DC=2，求AB 的长．25．（10分）Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ，OD ．（1）如图①，求∠ODE 的大小；（2）如图②，连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求∠A 的大小．26．（12分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数． 27．（12分）已知，抛物线2:23L y x bx =--（b 为常数）．（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含b 的代数式表示）；（2）若抛物线L 经过点()2,1M --且与ky x=图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L 的简图，并求ky x=的函数表达式； （3）如图2，规矩ABCD 的四条边分别平行于坐标轴，1AD =，若抛物线L 经过,A C 两点，且矩形ABCD 在其对称轴的左侧，则对角线AC 的最小值是 ．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k 的取值范围，再逐项判断即可． 【详解】解：A 、由一次函数图象可知，k ＞0，∴﹣k ＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A 选项不合题意； B 、由一次函数图象可知，k ＞0，∴﹣k ＜0，-22k -=1k>0，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x 轴的正半轴，故B 选项不合题意； C 、由一次函数图象可知，k ＜0，∴﹣k ＞0，-22k -=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x 轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x ＝2时，二次函数值y ＝﹣4k ＞0，故C 选项符合题意； D 、由一次函数图象可知，k ＜0，∴﹣k ＞0，-22k -=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x 轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x ＝2时，二次函数值y ＝﹣4k ＞0，故D 选项不合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等． 2．B 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形．故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．D【解析】试题分析：观察函数图象得到当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y=x的函数值大于的函数值．故选D．考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2. 数形结合思想的应用．4．D【解析】分析：由图1、图2结合题意可知，当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小3，这样如图3，过点P 作PD⊥AB于点P，连接AD，结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.详解：由题意可知：当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小33，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，∵△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，∴∠ABC=60°，AD⊥BC，∵DP⊥AB于点P，此时3，∴BD=332 sin60PD==o，∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin∠B=4×sin60°=23∴S△ABC=12AD·BC=1234432⨯=故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP ⊥AB 于点P 时，DP 最短=3”是解答本题的关键. 5．D 【解析】解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10﹣10米． 故选D ．点睛:在负指数科学计数法10n a -⨯ 中，其中110a ≤< ，n 等于第一个非0数字前所有0的个数（包括下数点前面的0）. 6．D 【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可． 试题解析：（ab 2）3=a 3•（b 2）3=a 3b 1． 故选D ．考点：幂的乘方与积的乘方． 7．D 【解析】试题分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可. 试题解析：画树状图如下：共有12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为. 故选D.考点：列表法与树状法. 8．B 【解析】【分析】 根据a 1y x -=的图象上的三点，把三点代入可以得到x 1＝﹣12a - ，x 1＝ 14a -，x 3＝15a -，在根据a的大小即可解题 【详解】解：∵点A （x 1，﹣1）、B （x 1，4）、C （x 3，5）为反比例函数a 1y x-=图象上的三点， ∴x 1＝﹣12a - ，x 1＝ 14a -，x 3＝15a - ， ∵a ＜1， ∴a ﹣1＜0， ∴x 1＞x 3＞x 1． 故选B ． 【点睛】此题主要考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于把三点代入，在根据a 的大小来判断 9．C 【解析】 【分析】由题可知“水平底”a 的长度为3，则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6，再分 ＞2或t ＜1两种情况进行求解即可. 【详解】解：由题可知a=3，则h=18÷3=6，则可知t ＞2或t ＜1.当t ＞2时，t-1=6，解得t=7；当t ＜1时，2-t=6，解得t=-4.综上，t=-4或7. 故选择C. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的内容，理解题意是解题关键. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】分式分母不为0，所以10x -≠，解得1x ≠. 故选：C. 11．C 【解析】 【分析】连接EG、FG，根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG＝FG＝12BC，因为D是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF，再根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：连接EG、FG，EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线，∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半∴EG＝FG＝12BC=12×10=5，∵D为EF中点∴GD⊥EF，即∠EDG＝90°，又∵D是EF的中点，∴116322DE EF==⨯=,在Rt EDG∆中，2222534DG EG ED=--=,故选C.【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据题意，得到P、Q分别同时到达D、C可判断①②，分段讨论PQ位置后可以判断③，再由等腰三角形的分类讨论方法确定④，根据两个点的相对位置判断点P在DC上时，存在△BPQ与△BEA相似的可能性，分类讨论计算即可．【详解】解：由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE=BC=10，ED=4故①正确则AE=10﹣4=6t=10时，△BPQ 的面积等于111040,22BC DC DC ⋅=⨯⋅= ∴AB=DC=8 故124,2ABE S AB AE =⋅=V 故②错误当14＜t ＜22时，()1110221105,22y BC PC x t =⋅=⨯⨯-=- 故③正确； 分别以A 、B 为圆心，AB 为半径画圆，将两圆交点连接即为AB 垂直平分线则⊙A 、⊙B 及AB 垂直平分线与点P 运行路径的交点是P ，满足△ABP 是等腰三角形此时，满足条件的点有4个，故④错误．∵△BEA 为直角三角形∴只有点P 在DC 边上时，有△BPQ 与△BEA 相似由已知，PQ=22﹣t ∴当AB PQ AE BC=或AB BC AE PQ =时，△BPQ 与△BEA 相似 分别将数值代入822610t -=或810622t=-， 解得t=13214（舍去）或t=14.1 故⑤正确故选：D ．【点睛】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了三角形相似判定、等腰三角形判定，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．10【解析】【分析】根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解. 【详解】∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，又∵'AFD CFB ∠=∠，∴'AD F CBF ∆≅∆，∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解得3x =，∴5AF =， ∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.14．【解析】试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停留在黑色区域的概率为：. 15．100080020x x=+ 【解析】【分析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x+20）kg 物品，根据“A 型机器人搬运1000kg 所用时间与B 型机器人搬运800kg 所用时间相等”可列方程．【详解】 设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x+20）kg 物品，根据题意可得100080020x x=+， 故答案为100080020x x =+． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x 的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．16．2【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH ，设CM ＝a ，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC 和AM 的长，根据三角形面积表示DH 的长，证明△ADG ≌△CDH （AAS ），可得DG ＝DH ＝MG ＝作辅助线，构建全等三角形和高线DH ，设CM ＝a ，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC 和AM 的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝10 a，AG＝CH ＝a＋10a，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．，AG＝CH＝a＋10a，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝2，∴AMCM＝2，∴AM＝2a，由勾股定理得：AC5，S△BDC＝12BC•DH＝10，12•2a•DH＝10，DH＝10a，∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG＝90°＝∠HDC＋∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，∵∠ADC＝90°＝∠ADG＋∠CDG，∴∠ADG＝∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵90AGD CHDADG CDHAD CD∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ADG≌△CDH（AAS），∴DG ＝DH ＝MG ＝10a ，AG ＝CH ＝a ＋10a， ∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a ， a 2＝20，在Rt △ADC 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，∵AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，∴AD ＝或−（舍），故答案为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG ＝CH 是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．17．1 【解析】【分析】由四边形ABCD 是菱形，得到BC ∥AD ，由于EF ∥AB ，得到四边形ABFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF ∥AB ，于是得到△EFG 为等腰三角形时，①时，于是得到DE=DG=12，②GE=GF 时，根据勾股定理得到 【详解】 解：∵四边形ABCD 是菱形，∠B=120°，∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC ∥AD ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ∥AB ，∴DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG ，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG 为等腰三角形时，当EF=EG 时，EG=3， 如图1，过点D 作DH ⊥EG 于H ，∴EH=12EG=32， 在Rt △DEH 中，DE=0cos30HE =1， GE=GF 时，如图2，过点G 作GQ ⊥EF ，∴EQ=123Rt △EQG 中，∠QEG=30°， ∴EG=1，过点D 作DP ⊥EG 于P ，∴PE=12EG=12， 同①的方法得，3 当EF=FG 时，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE ，此时，点C 和点G 重合，点F 和点B 重合，不符合题意，故答案为1或33． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．18．65°【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】∵m∥n,∠1=105°，∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°故答案为：65°.【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣32t2﹣152t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣73，53）【解析】【分析】（1）根据题意可得A（-4，0）代入抛物线解析式可得a，求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点坐标，把A，B坐标代入直线解析式，可求k，b（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，设出P点坐标，可求出N点坐标，即可以用t表示S．（3）由PB∥CD，可求P点坐标，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，根据P的坐标，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB，根据抛物线的对称性可知R在对称轴上．设Q点坐标，根据△BOR∽△PQS，可求Q点坐标．【详解】（1）∵OA=4∴A（﹣4，0）∴﹣16+8a=0∴a=2，∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，∴B（﹣1，3），将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得340k bk b-+⎧⎨-+⎩＝＝，解得14 kb=⎧⎨=⎩，直线AB的解析式为y=x+4，∴k=1、a=2、b=4；（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，∴当x=t时，y P=﹣t2﹣4t，y N=t+4PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，S△PAB=12 PN（AM+BH）=12（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=12（﹣t2﹣5t﹣4）×3，化简，得s=﹣32t2﹣152t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；∴﹣4＜t＜﹣1（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），∴CD∥OA∵B（﹣1，3）．当y=3时，x=﹣3，∴P（﹣3，3），连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，可证R在DT上∴PN=ON=3∴∠PON=∠OPN=45°∴∠BPR=∠PON=45°，∵OA=OC ，∠AOC=90°∴∠PBR=∠BAO=45°，∴PO ⊥AC∵∠BPQ+∠CBO=180，∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC过点Q 作QS ⊥PN ，垂足是S ，∴∠SPQ=∠BOR ∴tan ∠SPQ=tan ∠BOR ，可求，，设Q 点的横坐标是m ，当x=m 时y=m+4，∴SQ=m+3，PS=﹣m ﹣131m m +=--，解得m=﹣73． 当x=﹣73时，y=53， Q （﹣73，53）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.20．（1）∠AED=∠C ，理由见解析；（2【解析】【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理解答即可；（2）根据勾股定理和三角函数进行解答即可．【详解】（1）∠AED=∠C ，证明如下：连接BD ，可得∠ADB=90°，∴∠C+∠DBC=90°，∵CB是⊙O的切线，∴∠CBA=90°，∴∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠C，∵∠AEB=∠ABD，∴∠AED=∠C，（2）连接BE，∴∠AEB=90°，∵∠C=60°，∴∠CAB=30°，在Rt△DAB中，AD=3，∠ADB=90°，∴cos∠DAB=3 ADAB=解得：3，∵E是半圆AB的中点，∴AE=BE，∵∠AEB=90°，∴∠BAE=45°，在Rt△AEB中，3ADB=90°，∴cos∠EAB=22 AEAB=，解得：6．6【点睛】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．21．（1）213222y x x =-++ ；（1）132 ，E （1，1）；（3）存在，P 点坐标可以为（，5）或（3，5）．【解析】【分析】（1）设B （x 1，5），由已知条件得21322x -+= ，进而得到B （2，5）．又由对称轴2b a -⨯求得b ．最终得到抛物线解析式.（1）先求出直线BC 的解析式，再设E （m ，＝﹣12m+1．），F （m ，﹣12m 1+32m+1．） 求得FE 的值，得到S △CBF ﹣m 1+2m ．又由S 四边形CDBF ＝S △CBF +S △CDB ，得S 四边形CDBF 最大值， 最终得到E 点坐标．（3）设N 点为（n ，﹣12n 1+32n+1），1＜n ＜2．过N 作NO ⊥x 轴于点P ，得PG ＝n ﹣1． 又由直角三角形的判定，得△ABC 为直角三角形，由△ABC ∽△GNP ， 得n ＝或n ＝1（舍去），求得P 点坐标．又由△ABC ∽△GNP ，且OC PG OB NP =时， 得n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．求得P 点坐标．【详解】解：（1）设B （x 1，5）．由A （﹣1，5），对称轴直线x ＝32． ∴21322x -+= 解得，x 1＝2．∴B （2，5）． 又∵3122()2b-=⨯-∴b ＝32． ∴抛物线解析式为y ＝213222x x -++ ， （1）如图1，∵B（2，5），C（5，1）．∴直线BC的解析式为y＝﹣12x+1．由E在直线BC上，则设E（m，＝﹣12m+1．），F（m，﹣12m1+32m+1．）∴FE＝﹣12m1+32m+1﹣（﹣12n+1）＝﹣12m1+1m．由S△CBF＝12 EF•OB，∴S△CBF＝12（﹣12m1+1m）×2＝﹣m1+2m．又∵S△CDB＝12BD•OC＝12×（2﹣32）×1＝52∴S四边形CDBF＝S△CBF+S△CDB═﹣m1+2m+52．化为顶点式得，S四边形CDBF＝﹣（m﹣1）1+132．当m＝1时，S四边形CDBF最大，为132．此时，E点坐标为（1，1）．（3）存在．如图1，由线段FG绕点G顺时针旋转一个角α（5°＜α＜95°），设N（n，﹣12n1+32n+1），1＜n＜2．过N作NO⊥x轴于点P（n，5）．∴NP ＝﹣12n 1+32n+1，PG ＝n ﹣1． 又∵在Rt △AOC 中，AC 1＝OA 1+OC 1＝1+2＝5，在Rt △BOC 中，BC 1＝OB 1+OC 1＝16+2＝15． AB 1＝51＝15．∴AC 1+BC 1＝AB 1．∴△ABC 为直角三角形．当△ABC ∽△GNP ，且OC NP OB PG=时， 即，213222242n n n -++=- 整理得，n 1﹣1n ﹣6＝5．解得，n ＝或n ＝1（舍去）．此时P 点坐标为（，5）．当△ABC ∽△GNP ，且OC PG OB NP=时， 即，222134222n n n -=-++ 整理得，n 1+n ﹣11＝5．解得，n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．此时P 点坐标为（3，5）．综上所述，满足题意的P 点坐标可以为，（，5），（3，5）．【点睛】本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难题.22．1人【解析】解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：19361936?0.8x x 88⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解．答：这个学校九年级学生有1人．设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88+，根据题意可得方程19361936?0.8x x 88⋅=+，解方程即可．23．4【解析】【分析】已知△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，在Rt △OBH 中，用半径表示出OH 的长，即可用勾股定理求得半径的长．【详解】作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，2OH OA AH r =-=-，23BH =，222OH BH OB +=，即()()222223r r -+=，4r =.【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.24．（1）证明见解析；（2）AB=3【解析】【详解】（1）证明：∵90ABC ∠=o ，DE ⊥AC 于点F ，∴∠ABC=∠AFE ．∵AC=AE,∠EAF=∠CAB ，∴△ABC ≌△AFE∴AB=AF ．∵AG=AG,AB=AF∴Rt△ABG≌Rt△AFG∴BG=FG（2）解：∵AD=DC，DF⊥AC∴1122 AF AC AE ==∴∠E=30°∴∠FAD=∠E=30°∴AB=AF=325．（1）∠ODE=90°；（2）∠A=45°.【解析】分析：（Ⅰ）连接OE，BD，利用全等三角形的判定和性质解答即可；（Ⅱ）利用中位线的判定和定理解答即可．详解：（Ⅰ）连接OE，BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．∵E点是BC的中点，∴DE=12BC=BE．∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE．∵∠ABC=90°，∴∠ODE=90°；（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD=∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE=90°，∴∠AOD=90°．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=18090452︒-︒=︒．点睛：本题考查了圆周角定理，关键是根据学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况解答．26．-5【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】原式=[2(1)(1)x x x --+(2)(2)(2)x x x x -++]÷1x =（1x x -+2x x-）•x=x ﹣1+x ﹣2=2x ﹣3 由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．27．（1）2,3b b --；（2）图象见解析，6y x =或9y x=-；（3 【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线经过点M ，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式； （3）设出A 的坐标，表示出C,D 的坐标，得到CD 的长度，根据题意找到CD 的最小值，因为AD 的长度不变，所以当CD 最小时，对角线AC 最小，则答案可求．【详解】解：（1）()2222222323()3y x bx x bx b b x b b =--=-+--=--+Q ， ∴抛物线的顶点的坐标为2(,3)b b --．故答案为：2(,3)b b --（2）将(2,1)M --代入抛物线的解析式得：4431b +-=- 解得：12b =-， ∴抛物线的解析式为23y x x =+-．抛物线L 的大致图象如图所示：将3y =代入23y x x =+-得： 233x x +-=，解得：2x =或3x =-∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为(2,3)或()3,3-．将(2,3)代入k y x=得：6k =， 6y x∴=． 将()3,3-代入k y x=得：9k =-， 9y x=-∴． 综上所述，反比例函数的表达式为6y x =或9y x=-． （3）设点A 的坐标为()2,23x x bx --，则点D 的坐标为()21,23x x bx +--， C 的坐标为21,(22)2)2(x x b x b ++---．()2223(22)22221DC x bx x b x b x b ⎡⎤∴=---+---=-+-⎣⎦ DC ∴的长随x 的增大而减小．Q 矩形ABCD 在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x b =，1x b ∴+≤1x b ∴≤-∴当1x b =-时，DC 的长有最小值，DC 的最小值2(1)211b b =--+-=． AD Q 的长度不变，∴当DC 最小时，AC 有最小值．AC ∴的最小值222AD DC +=．【点睛】本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键．。

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