第二章教案

第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 1 － 初中数学八年级下

第2章一元二次方程 目录 2.1 一元二次方程（1） ........................................... 2 2.1一元二次方程（2）............................................ 4 2.2一元二次方程的解法（1）...................................... 6 2.2一元二次方程和解法（2）...................................... 8 2.2一元二次方程的解法（3）..................................... 10 2.3一元二次方程的应用（2）..................................... 14 第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 2 － 初中数学八年级下

2.1 一元二次方程（1） 〖教学目标〗 ◆1、经历一元二次方程概念的发生过程。 ◆2、理解一元二次方程的概念。 ◆3、了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式。 ◆教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点。 〖教学过程〗 一、合作学习 1、 列出下列问题中关于未知数x的方程 ①正方形的面积为80，边长为x，则可列出方程 。 ②某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分率是多少？设年平均增长率为x，则可列出方程 。 二、引入新课

观察方程x2=80 和721602x 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）

练一练：1、判断下列方程是否为一元二次方程：① 2（3x+2）=31x2

② 21x+x+3=0 ③ 0522yx ④ xx322 ⑤ 052x 2、判断未知数的值1x、ox、2x是否是方程xx22的根。 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为002acbxax的形式，我们把形如02cbxax（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，其中2ax、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项。a、b分别称为二次项系数和一次项系数。 思考：为什么0a，b、c可以为零吗？

三、范例讲解： 例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

①2532xx ②2)23)(12(2xxx

③6)4)(3(xx ④)1(2)1(2xx256x 第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 3 － 初中数学八年级下

解：① 移项，整理，得 02532xx 这个二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为2。 ② 移项，整理，得 0452xx 这个二次项系数为5，一次项系数为1，常数项为4。 ③ 移项，整理，得 062xx 这个二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为6。 ④ 移项，整理，得 042x 这个二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为4。

我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写二次项，再写一次项，最后是常数项。 四、练习巩固：

1、方程 ①1872xx ②06522yxyx ③019152xx

④yy342 中是一元二次方程的为 （填序号）。 2、关于x的一元二次方程02aaxx的一个解是3，则a 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 ① 0762xx )7,1( （ ）

② 02532xx )32,35( （ ） ③ 01322xx (3 , 1) （ ） ④ 0142xx (32,32) （ ） 五、小结： 1、 记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程； 2、 化成一元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项； 3、 能判断x的值是不是方程的解。

作业：见作业本 第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 4 － 初中数学八年级下

2.1一元二次方程（2） 【教学目标】 ◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. ◆2.会用因式分解法解一元二次方程. 〘教学重点与难点〙 ◆教学重点：用因式分解法解一元二次方程.

◆教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成22，才能分解因式，是本节教学的难点. 〘教学过程〙 一. 复习引入 1、将下列各式分解因式：

22222(1)3(2)49(3)(34)(43)(4)222yyxxxxx

教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 2、你能利用因式分解解下列方程吗？

22(1)30(2)49yyx

请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视. 之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题） 二. 新课学习 1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书） ① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； ② 将方程的左边分解因式； ③ 根据若M〃N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2、讲解例2. （1）解下列一元二次方程：

22(1)(5)(32)10(2)2(2)(34)(43)xxxxxxx (3)

教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。 （2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？ （3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型： ①先变形成一般形式，再因式分解： ②移项后直接因式分解. 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。 2、 讲解例3.

解方程2222xx 第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 5 － 初中数学八年级下

在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成22，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范。 3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？

首先让学生设出未知数，列出方程（2xx），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。 三、巩固练习： 课本第32页课内练习。 四、体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？ 先由学生自由发言，教师再投影演示： 1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； 2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为零； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0. 4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 5、数学思想：整体思想和化归思想. 五.课后作业 1.书本作业题 2.作业本

〘板书设计〙

屏幕 2.1一元二次方程（二） ——因式分解法解一元二次方程 1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为零； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想：整体思想和化归思想. 第2章 一元二次方程 YIYUANERCIFANGCHENG

－ 6 － 初中数学八年级下

2.2一元二次方程的解法（1） 【教学目标】 ◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. ◆2. 会用开平方法解一元二次方程. ◆3. 理解配方法. ◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 〘教学重点与难点〙 ◆教学重点：开平方法. ◆教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度. 〘教学手段〙 用多媒体powerpoint和黑板的形式。 〘教学过程〙 (一)引入新课 问题1： 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约AB=3千米，坡面的长度约AC=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米？ 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应用，对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 （二）由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。 如果把 变形为 ，进而可以理解为x是16的平方根，引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念。 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征：1、它适合于什么样的方程？(左边是一个关于x的完全平方，右边为一个非负常数即 )。2：用什么样的方法来解？(方程的两边直接开平方的方法) 然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程，既突出本节课的重点，又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。 例1、 (1 )

(2) (3) (4) 通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过观察、变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程。 （三）、问题2： 把方程变形：左边是一个含有x的式子的完全平方，而右边是一个非负数。 1：先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。 2：方程两边同加上一个合适的数。

ax20a

02732x02212x7322x