杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题1.函数()12f x x-=的定义域为_______.【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】 将函数()12f x x-=化简为()f x=,即可求得答案. 【详解】Q ()12f x x -=化简可得:()f x=, ∴定义域为0x >.故答案为:(0,)+∞.【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.2.关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案】211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果． 【详解】解：∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：211130-⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题． 3.己知函数()f x 的反函数()12log f x x -=,则()1f -=_______【答案】12【解析】 【分析】 因为()12log fx x -=,可得()2x f x =,即可求得答案.【详解】Q ()12log fx x -=∴()2x f x =可得()11122f --==故答案为:12. 【点睛】本题主要考查了求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4.设()2,21a R a a a i ∈--++为纯虚数(i 为虚数单位),则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数定义,即可求得答案.【详解】Q ()221a a a i --++,为纯虚数即实部为0,虚部不为0∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩解得:2a = 故答案为:2.【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5.己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为_____. 【答案】3π【解析】 【分析】由圆锥的底面半径为1cm 和侧面积22cm π,求出圆锥的母线长,即可求得答案. 【详解】设底面半径为r ,母线SA 长为l ,底面中心为O , 如图:Q 12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在SOA Rt ∆中,1cos 2OA SAO SA ∠== ∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:3π. 故答案为:3π. 【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.6.已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数，再根据含x 3项的系数等于280，求得实数a 的值．【详解】解：∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280，解得 a ＝2， 故答案为2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7.椭圆22194x y +=的焦点为12,F F P ，为椭圆上一点,若15PF =,则12cos F PF ∠=_________.【答案】35【解析】 【分析】根据椭圆定义可得:122PF PF a +=, 122F F c ==在三角形12F PF ∆中由余弦定理,即可求得答案.【详解】Q 椭圆22194x y+=可得:3a =,2b =,c =根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==可得252PF a +=解得:225651PF a =-=-=.在三角形12F PF ∆中由余弦定理:2221212112251203cos 22515PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯,故答案为:35. 【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8.己知数列{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，nS是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=________.【答案】72【解析】 【分析】因为{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩,可得()()1231234lim lim lim n n n n n n S a a a a a a a a a →+∞→+∞→+∞=+++=+++++L L ,即可求得答案.【详解】Q {}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩∴()123lim lim n n n n S a a a a →+∞→+∞=+++L . ()1234lim n n a a a a a →+∞=+++++L21273lim3=112112211144n n -→+∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭=+=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7lim 2n n S →+∞=∴ 故答案为:72. 【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9.在直角坐标平面xOy 中，)2,0,,1( 0A B -）（，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为_______.【答案】[2+ 【解析】 【分析】因为动点P 在圆22:2C x y +=上,故可设)([0,2])P θθθπ∈,求出PA u u u r 和PB u u u r,即可求得答案.【详解】Q 动点P 在圆22:2C x y +=上∴令)([0,2])P θθθπ∈ Q )2,0,,1( 0A B -）（∴(2,)PA θθ=-u u u r,(,1)PB θθ=u u u r(2,)(,1)PA PB θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u r222cos 2sin θθθθ=++2)θϕ=++Q )[θϕ+∈∴2)[2θϕ++∈-+∴PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围:[2-+故答案为:[2+.【点睛】本题主要考查了向量的数量积取值范围,解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两角和公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④arcsin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种. 【答案】12 【解析】 【分析】逐项判断函数的奇偶性,根据计数原理,即可求得答案. 【详解】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为arcsin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数. 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论: 当选1奇和2偶时,21⨯种; 当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种. ∴一共有12种选法. 故答案为:12.【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和计数原理,解题关键是掌握奇偶函数的判断方法和计数原理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 11.己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________.【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】因为()()110f x x x=->,即()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩,画出函数图象,设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=有三个不同实数解,故方程2230t mt m +++=有两个根,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q ()()110f x x x=-> ∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=Q 有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上,若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 令2()23g t t mt m =+++ ①当(1)0g ≠时则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时即340m +=,故43m =-, 将43m =-代入2230t mt m +++= 可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.12.向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】因为集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.【详解】Q 集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈, 且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈v v,向量a r整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈v v v v还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④.【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、选择题13.已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B.11a b< C. ||||a b >D. 22a b >【答案】D 【解析】【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于,a b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项. 【详解】A 选项不正确，当1,2a b ==-时，不等式就不成立； B 选项不正确，因1,2a b ==-时，不等式就不成立；C 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >， 故选D.【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质. 14.要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只要将2sin 2y x =的图象( ) A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,即可求得答案. 【详解】Q 将函数22y sin x =的图象向左平移6π个单位长度, 可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象∴将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度,即可得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查三角函数图象变换,解题关键是掌握三角函数变换的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.15.设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A. 如果120z z ->,那么12z z >B. 如果12=z z ,那么12=±z zC. 如果121z z >,那么12z z > D. 如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.16.对于全集U 的子集A 定义函数()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A. 若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B. ()()1R A A f x f x =-ðC. ()()()A B A B f x f x f x =⋅ID. ()()()A B A B f x f x f x =+U【答案】D 【解析】 【分析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.详解】Q ()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A,Q A B ⊆, 分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==， ③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤ 综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x Af x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð ,故(2)正确； 对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题17.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,3AD =, ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面； （2）求异面直线PB 与AE 所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）2 arccos4【解析】【分析】（1）因为在PAD∆中,由E、F为PD、PA中点得:EF为中位线,可得EF∥AD,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以A为原点建立坐标系,其中AB、AD、AP分别为x、y、z轴,求得PBu u u r和AEu u u r,||cos||||PB AEPB AEθ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r,即可求得答案.【详解】（1）Q在PAD∆中,由E、F为PD、PA中点得:EF为中位线,∴EF∥AD又Q底面为矩形,AD∥BC,∴EF∥BC∴由平行线确定唯一平面得E、F、B、C在同一平面上.（2）以A为原点建立坐标系,其中AB、AD、AP分别为x、y、z轴,如图:可得(0,0,0)A,(1,0,0)B,(0,0,1)P,312E⎛⎫⎪⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-u u u rPB,310,,22AE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r,故:||2cos|1|2||21PB AEPB AEθ⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r∴异面直线PB 与AE 夹角:arccos 4.【点睛】本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 18.己知函数()22xx af x =+其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =; （2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由. 【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）因为()22xx a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252xx+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案. 【详解】（1）Q ()22xx af x =+, ∴()07f =,即17a +=解得:6a = 可得:6()22xxf x =+Q ()5f x =∴6252x x+= 令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+= 解得:12t =或23t = 即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R , ①当()f x 为奇函数时,Q 根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222xx x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立 即1(1)202x xa ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -= 可得2222xxx x a a --+=+恒成立 即1(1)202xx a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.东西向的铁路上有两个道口A 、B ,铁路两侧的公路分布如图,C 位于A 的南偏西15︒,且位于B 的南偏东15︒方向,D 位于A 的正北方向,2AC AD km ==,C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人,发现北偏东45︒方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60/km h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明.【答案】（1）救护车通过A 会受影响，详见解析（2）选择B 过道，详见解析 【解析】 【分析】（1）因为C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上,在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=,根据正弦定理求得AE ,求得救护车到达A 处需要时间,结合已知,即可求得答案;（2）分别求出选择A 道口共需要花费时间和选择B 道口共需要花费时间,即可求得答案. 【详解】（1）Q C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上∴在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=正弦定理可得:sin sin AE ACACE E=∠∠122AE ∴=解得:AE =Q 救护车和火车的速度均为60/km h∴救护车到达A 处需要时间:/212min 6030km km h h ==,又Q 火车到达A 处需要时间1.41min =,火车影响A道口时间为1],Q 21]∈+∴救护车通过A 会受影响.（2）若选择A 道口: 一共需要花费时间为:2160(3 4.41min 60A t =+⨯=+= 若选择B 道口:Q BE BC >通过B 道口不受火车影响,∴一共需要花费时间为:60B BC BDt h +=由余弦定理求AB 长:2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅∠62AB ∴=-∴221243BD AD AB =+=-∴2124360min 4.25min 60B ABC BD t h t ++-==⨯=<.∴选择B 过道.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为()(),00t t >（1）若5OA =求点A 的坐标;（2）若AFD ∆为等腰直角三角形,且90FAD ∠=o ,求点D 的坐标;（3）弦AB 经过点D ,过弦AB 上一点P 作直线 x t =-的垂线,垂足为点Q ,求证:“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【答案】（1）(1,2)A （2）(52,0)+（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且5OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩即可求得答案; （2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t ,可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u r,因为 90FAD ︒∠=,可得AF AD ⊥u u u r u u u r,结合已知,即可求得答案;（3）因为AB l 过点(,0)D t ,设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==,联立直线与抛物线得24x my t y x =+⎧⎨=⎩,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案. 【详解】（1）Q 点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩ 解得:0012x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A .（2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u rQ 90FAD ︒∠=∴AF AD ⊥u u u r u u u r2(1,)(,)(1)()0AF AD x y t x y x t x y ⋅=--⋅--=--+=u u u r u u u r——①又Q AFD ∆等腰,得A 点在x 轴投影为F 、D 中点,即:12tx +=. 将12t x +=,24y x =代入①得:15t =+250t =-<(舍去) ∴D点坐标为(5+.（3）Q AB l 过点(,0)D t设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==联立直线与抛物线得24x my ty x=+⎧⎨=⎩,消掉x可得:2440y my t --=根据韦达定理可得:12042y y m y +==∴02y m =设点A 处抛物线得切线为()11x x a y y -=-联立直线与抛物线得:()1124x x a y y y x⎧-=-⎨=⎩,消掉x可得:()211440y ay ay x -+-=∴()211(4)440a ay x ∆=-⋅-=∴2102y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得:12y a = ∴过A 处切线方程为()211142y y x x y y -⋅=⋅-化简得()112yy x x =+求切线()112yy x x =+与直线x t =-得交点Q 可得()1101122222Q my t tx t y m y y y +--==== ∴PQ x ⊥轴,AQ ∴与24y x =相切时,P 为AB 中点 Q 以上各步骤,均可逆∴“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 21.己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,均有2120,0n n S S -≥≤,则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ,并说明理由; （2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,求证:40S =;（3）己知()21n b n n N *=-∈,数列{}n c 是等差数列,()()12n n n b n a cn +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,若无穷数列{}n a 具有性质P ,求2019c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）2019[4039,4037]c ∈-- 【解析】 【分析】（1）因为首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a ,即可111(2)n n n a a q --==-,求21n S -和2n S ,即可求得答案;（2）因为无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,{}n a 满足周期性,且4n n a a +=,可得44n S nS =,因为{}n a 具备性质P ,故满足:40n S ≤,410n S +≥,采用反证法证明,即可求得答案;（3）数列{}n c 是等差数列,可得{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,因为{}n b 前n 项和为:2n R n =,由{}n a 具备性质P ,则21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,结合已知,即可求得答案.【详解】（1）Q 首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a∴111(2)n n n a a q --==-根据等比数列前n 项和公式可得:()()21212121*2111(2)111(1)21201(2)33n n n n n S n N -----⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=+>∈⎣⎦--, ()22221211(2)111(1)21201(2)33nn n n n S -⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦-- ∴数列{}n a 满足具有性质P .（2）Q 无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等∴{}n a 满足周期性,且4n n a a +=可得44n S nS =Q {}n a 具备性质P∴满足:40n S ≤,410n S +≥利用反正法证明:若40S <,则4144141n n n S S a nS a ++=+=+, 令141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∴得:410n S +<(注:当141a n S =-+时,410n S +=,则当141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦时,410n S +<) 与410n S +≥矛盾.∴40S ≥,又∴40n S ≤,∴40S =.证明完毕.（3）Q 数列{}n c 是等差数列∴{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,Q {}n b 前n 项和为:2n R n =由{}n a 具备性质P ,则21200n n S S -≥⎧⎨≤⎩其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,有:()()2113212422n n n S a a a a a a ---=+++++++L L()()12121n n b b b c c c -=+++++++L L22(1)(1)n A n B n =+-+-其中2n S 中包含n 项奇数项,n 项偶数项,故:()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++L L()()1212n n b b b c c c =+++++++L L22n An Bn =++由性质:P 21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 可得22(1)(2)()0(1)0A n AB n A B A n Bn ⎧++-++-≥⎨++≤⎩,对任意*n N ∈成立 ∴A 、B 满足:1020A B B A =-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩,解得:1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩ ∴2019201920184037[4039,4037]c T T B =-=-∈--.【点睛】本题主要考查了有关与数列相关的创新题和对新定义的理解,解题关键是要充分理解新定义和数列的知识相结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。
2020届新高考数学模拟试题（1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．35． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．106． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )AB． C ．18 D ．27二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A．e B ．2e = C．b = D．b =11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届新高考数学模拟试题（1）答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]【解析】[0A =，1]，(0B =，1]；(0A B ∴=，1]．【答案】C ．2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +【解析】由12i i a bi i +-=+-，得(1)(2)12(2)(2)55i i i i a bi i i ++-=-=+-+，∴1525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1255a bi i -=+． 【答案】B ．3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 【解析】命题为全称命题，则命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定是：0[2x ∃∈，)+∞，204x <，4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】2(4,2)a b +=，//(2)c a b +，240m ∴-=，2m ∴=．【答案】C ．5． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．10【解析】由二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式的通项1r n rr nT C x -+=得： 令3n r -=，得3r n =-，所以3310n nn C C -==，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =， 【答案】C ．6． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】0.2log 21a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>，a b c ∴<<． 【答案】A ．7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．8． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )A B ． C ．18 D ．27【解析】用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件， 球形铁质原材料的半径3R =，设正三棱柱的高为2h ，底面的边长为x ，则底面外接圆半径23r ==，h =∴该零配件体积：221sin 602923x V x =︒-=，设6493x y x =-，则35362y x x '=-，由0y '=，得x =∴当x =49(32)27maxV =-=．【答案】D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位【解析】从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，是系统抽样，故A 错误；5月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，故B 错误； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C 正确； 在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时， 预报变量ˆy增加0.1个单位，故D 正确． 【答案】CD ．10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A ．eB ．2e =C ．b =D ．b =【解析】由双曲线定义可知：122||||||2PF PF PF a -==，1||4PF a ∴=，由12sin F PF ∠，可得121cos 4F PF ∠=±，在△12PF F 中，由余弦定理可得：222416412244a a c a a +-=±⨯⨯，解得：224c a =或226c a =，2ce a∴==．2c a ∴=或c =又222c a b =+，b ∴或b =【答案】ABCD ．11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【解析】1()x x f x e e =-在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误；1()xx g x e e=+为偶函数，易知其在(,0)-∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 【答案】ABC ．12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【解析】:A F ，M 分别是AD ，CD 的中点， 11////FM AC AC ∴，故A 正确；B ：由平面几何得BM CF ⊥，又1BMC C ⊥，BM ∴⊥平面1CC F ，故B 正确；:C BF 与平面11CC D D 有交点，∴不存在点E ，使平面//BEF 平面11CC D D ，故C 错误；D ：三棱锥B CEF -以面BCF 为底，则高是定值，∴三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确．【答案】ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．【解析】由于tan 3α=，所以22tan 3sin 21tan 5ααα==+，1tan 4tan()241tan 2πααα++===---所以3sin 235210tan()4απα==--+． 【答案】310-14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）． 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将5名同学分成3组，要求甲乙在同一组，需要将其他三人分为1、2的两组即可，有133C =种分组方法；②，将分好的三组对应三个路口，有336A =种情况，则有3618⨯=种安排方法； 【答案】18．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 1(2，0) ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．【解析】由抛物线2:2C y x =，得22p =，1p =，则122p =，∴抛物线的焦点1(2F ，0)．过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得||||||||AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，有19(||||)||22AM BN PK +==，||||9AF BF ∴+=，【答案】1(,0)2，9．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为． 【解析】如图，由于90BAC ∠=︒，连接上下底面外心PQ ，O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，则球的半径为OB ，球O 的表面积为28π，OB ∴=由题意，14BB =，90BAC ∠=︒，所以BC ==， 所以3AC =，则ABC ∆的面积为12S AB AC =⨯⨯=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）设公比为q ，则213q q ++=，解得1q =或2q =-，所以1n a =或1(2)n n a -=-． （2）依题意可得1n b n =-，所以121111(1)1n n b b n n n n ++==-++， 所以11111111223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．【解析】（1）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点， 根据面积相等，11sin sin 22AB AD BAD AC AD CAD ∠=∠，故32AC AB ==， （2）2BAD DAC ∠=∠，得sin sin22sin cos BAD DAC DAC DAC ∠=∠=∠∠， 所以3cos 4DAC ∠=，所以21cos 2cos 18BAD DAC ∠=∠-=，在三角形ABD 中，2214228BD AD AD=+-， 2239234CD AD AD=+-，由BD CD =，上式化简得54AD =，故54AD =．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．【解析】（1）证明：取PA 中点N ，连结QN ，BN ， Q ，N 是PD ，PA 的中点，//QN AD ∴，且12QN AD =， PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，12PA AD ∴=，12BC AD ∴=，QN BC ∴=，又//AD BC ，//QN BC ∴，BCQN ∴为平行四边形， //BN CQ ∴，又BN ⊂平面PAB ，且CQ ⊂/平面PAB ，//CQ ∴平面PAB ．（2）解：取AD 中点M ，连结BM ，取AM 的中点O ，连结BO ，PO ，设2PA =， 由（1）得2PA AM PM ===，APM ∴∆为等边三角形，PO AM ∴⊥，同理，BO AM ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，C 2，0)，(0P ，0，(0Q ，32，(3,3,0)AC =，(0AQ =，52，设平面ACQ 的法向量(m x =，y ，)z ，则330502m ACx y m AQ y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(3m =，5)， 平面PAQ 的法向量(1n =，0，0)，337cos ,||||37m n m n m n ∴<>==，由图得二面角P AQ C --的平面角为钝角，∴二面角P AQ C --的余弦值为．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-【解析】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∴51()()(3)(1)(1)00010316i i i x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，，==∴相关系数5()()90.951052ii xx y y r --===∑． 0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）51521()()6ˆ0.320()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑．ˆˆ450.3 2.5ay bx =-=-⨯=． ∴回归方程为ˆ0.3 2.5yx =+．当12x =时，ˆ0.212 2.5 6.1y =⨯+=， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||2PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值． 【解析】（1）由题知，点(P c ， 则有222212c a +=，又22222a b c c =+=+， 解得28a =，26c =，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由||OM =可得||AB =此时1||||32AOB S OM AB ∆== 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)8480k x ktx t +++-=． ∴122814kt x x k -+=+，21224814t x x k -=+，从而224(,)1414kt tM k k -++，已知||OM =22222(14)116k t k+=+． 2222222221212222284816(82)||(1)[()4](1)[()4](1)1414(14)kt t k t AB k x x x x k k k k k ---+=++-=+-⨯=++++． 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，22222222116(82)(1)4(14)1AOBk t t S k k k ∆-+=+++． 将22222(14)116k t k +=+代入化简得22222192(41)(116)AOB k k S k ∆+=+．令2116k p +=，则2222222112(1)(1)192(41)11443[3()]4(116)33AOB p p k k S k p p ∆--++===--++，当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2． 22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）当1a =时，21()23(0)2f x x lnx x x =+->． 所以2232(2)(1)()3x x x x f x x x x x-+--'=+-==，令()0f x '，则01x <或2x ，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0，1]和[2，)+∞，单调递减区间为(1,2)；（2）假设存在实数a ，满足题设． 因为函数323414()()22929g x f x ax x x alnx x x =++=+-+，所以224()23a g x x x x '=+-+， 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-+∈+∞， 即3243660x x x a +-+，32436(0,)6x x x x a +-∈+∞⇔-，(0,)x ∈+∞， 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当1(0,)2x ∈时，()0h x '<，()h x 在1(0,)2上单调递减， 当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在1(,)2+∞上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17()224h =-， 所以存在724a使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增关注《品数学》，获取更多精品资料。
2020年一模汇编——客观难题一、填空题【浦东11】已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________． 【答案】(],1-∞-【解析】111,(1)1n n a na n a +==++，则11111n n a a n n n n +=+-++，则利用累加法可得到11211n a n n +=-++，由1321t n a a n +<-⋅+，可得21ta ⋅≤，只需221221tt⎧-⋅≤⎨⋅≤⎩，得(],1t ∈-∞- 【宝山11】已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c _________. 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c【长宁，嘉定，金山11】已知数列{}n a 满足：{}()11121,,,,n n n a a a a a a n N*+=-∈⋅⋅⋅∈，记数列{}n a 得前n 项和为n S ，若对所有满足条件的数列{}n a ，10S 的最大值为M.最小值为m ，则M+m=________. 【答案】1078【解析】21122a a a a -=⇒=，可知{}n a 一定是单调递增数列，则11n n n a a a a +≤-≤，即112n n n a a a +≤≤≤，当11,n n n n a a a n S +=+=时，取最小值此时101+1010m===552S ⨯（）当12n n a a +=时，12n n a -=，n S 取最大值此时()1010112102312M S ⋅-===- 1078M m ∴+=【徐汇11】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1(1)32n n n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是_________.【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意得，()()()()11111111311311+1222nn n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a ----⎡⎤=-=-++---++--=----⎢⎥⎣⎦当n 为偶数时，1112n n n n a a a -=+-+，即1112n n a -=-，所以1112n n a +=-（n 为奇数） 当n 为奇数时，1112n n n n a a a -=-+-+，即11132n n a --=-，所以132n n a =-（n 为偶数）于是可知奇数项11311,24n n a +⎛⎤=-∈-- ⎥⎝⎦，偶数项1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，所以可知311,44p ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x=->，若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23m ∈-- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈⋃+∞时，t 有一个解，因为2230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)⋃+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32m =-，而两根之和不可能为32，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨≤⎩，即230340m m +>⎧⎨+≤⎩，所以34(,]23m ∈-- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合【奉贤11】给出下列一组函数：()()212log +23f x x x =+、()()22ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.【答案】()23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】()222,log 2610A CB y x x +==++【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1(0)3f =，故()3510f t t =⇒=④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________. 【答案】22-【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭代入得cos sin sin cos 1c θθθθ+=-，再设sin cos t θθ=+，可知(2t ∈所以222231312t t c t t t t ===----，在(2t ∈上单调递减，故2t =时c 最小，最小为22-法2. 根据对称式的形式，大胆猜测当22a b ==时c 最小，代入得22c =-【虹口11】如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线C 的焦距12||F F 为【答案】334 【解析】由2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r可知22||||,F A AB F A AB =⊥uuu r uu u r uuu r uu u r得A 为2F B 的中点，O 为12F F 的中点，所以OA 为三角形12F F B 的中位线，21222||||2OAF F BF OB OF OA BOF π∴∠=∠==∴∠，，平分Q渐近线为334231=⇒==c x x a y 【静安11】设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________. 【答案】32【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 32c =【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为____________.【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2224PC CM PC =-=-u u u r u u u r u u u r ，max ||22222PC OC =+=+u u u r ，min ||62PC OB OC =-=-uu u r ，∴2[1046,1282]PC ∈-+uu u r ，即[646,882]PM PN ⋅∈-+uuu r uuu r ，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
