2020版高考数学二轮复习限时检测提速练14小题考法——直线与圆的方程

1 限时检测提速练(十四) 小题考法——直线与圆的方程

1．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )

A．x＋2y－1＝0__ B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0

解析：选D 点(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0⇒x＋2y－3＝0．

2．已知直线(b＋2)x－ay＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相平行，则点(a，b)在( )

A．圆a2＋b2＝1上 B．圆a2＋b2＝2上

C．圆a2＋b2＝4上 D．圆a2＋b2＝8上

解析：选C ∵直线(b＋2)x－ay＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相平行，∴(b＋2)(b－2)＝－a2，即a2＋b2＝4.故选C．

3．已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点，且垂直于直线6x＋4y－7＝0，则直线l的方程为( )

A．2x－3y＋10＝0 B．2x－3y－10＝0

C．4x－6y＋5＝0 D．4x－6y－5＝0

解析：选A 易知直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点为(－2,2)，直线l的斜率为23.故直线l的方程为y－2＝23(x＋2)，即2x－3y＋10＝0．

4．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )

A．0 B．3

C．33或0 D．3或0

解析：选D 因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d＝|－1＋3k|1＋k2＝1，解得k＝0或k＝3，故选D．

5．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为( )

A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0

解析：选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l的方程为x－y＋3＝0．

6．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( ) 2 A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝21＋m2的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.故选C．

7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )

A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8

C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8

解析：选A 根据题意直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2，故选A．

8．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )

A．2 B．42

C．6 D．210

解析：选C 根据直线与圆的位置关系求解．由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，

∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，

∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．

∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36. ∴|AB|＝6．

9．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为( )

A．5 B．10

C．15 D．20

解析：选A 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，

3 则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，

∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.

又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，

∴S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|≤12×10＝5，

当且仅当|AC|＝|BD|＝10时等号成立，

∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A．

10．(2018·湖北联考)关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：

①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；

②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；

③曲线C的长度l满足l>42；

④曲线C所围成图形的面积S满足π

上述命题中，真命题的个数是( )

A．4 B．3

C．2 D．1

解析：选A ①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题．③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，

其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题．④由③知，π×12

11．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．

解析：点P(－3,1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，

由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，

因为P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，

所以由|－a|1＋a＋2＝1，得a＝－53．

答案：－53 4 12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________．

解析：因为圆心到直线12x－5y＋c＝0的距离为|c|13，所以由题意得|c|13＝1，c＝±13．

答案：±13

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知，(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即|4k－2|k2＋1≤2.整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤43.故k的最大值是43．

答案：43

14．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．

解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r＝2，即|1－2＋a|2＝|1－2＋b|2＝2，得a2＋b2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18．

答案：18

15．圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和圆x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．

解析：由题意知两圆外切，两圆的标准方程分别为

(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，

∴a2＋4b2＝3，∴a2＋4b2＝9，

∴1a2＋1b2＝1a2＋1b2×a2＋4b29＝195＋a2b2＋4b2a2≥1，当且仅当a2b2＝4b2a2时取等号．

答案：1

16．已知点A(3,0)，若圆C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在点P，使|PA|＝2|PO|，其中O为坐标原点，则圆心C的横坐标t的取值范围为________．

解析：设点P(x，y)，因为|PA|＝2|PO|，

所以x－2＋y2＝2x2＋y2，

化简得(x＋1)2＋y2＝4，

所以点P在以M(－1,0)为圆心，2为半径的圆上．

由题意知，点P(x，y)在圆C上， 5 所以圆C与圆M有公共点，则1≤|CM|≤3，

即1≤t＋2＋t－2≤3,1≤5t2－14t＋17≤9．

不等式5t2－14t＋16≥0的解集为R；

由5t2－14t＋8≤0，得45≤t≤2．

所以圆心C的横坐标t的取值范围为45，2．

答案：45，2