【数学】广东省汕头二中2014-2015学年高二(下)期中考试(文)

1 广东省汕头二中2014-2015学年高二（下）

期中考试（文）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1．（5分）（2015•昌平区三模）在复平面内，复数z=i（1﹣i）（i是虚数单位）对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．

解答： 解：复数z=i（1﹣i）=1+i，

所以复数Z对应的点为（1，1），位于第一象限．

故选：A．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题．

2．（5分）（2010•昌平区二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|2x+1＞5}，则A∩B=（ ）

A． {x|﹣2＜x＜4} B． {x|x＞2} C． {x|2＜x＜4} D． {x|x＞4}

考点： 交集及其运算；一元二次不等式的解法．

分析： 先化简集合，即分别解不等式x2﹣2x﹣8＜0，2x+1＞5，再由交集定义求解．

解答： 解：根据题意知：集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|2x+1＞5}={x|x＞2}

∴A∩B={x|2＜x＜4}

故选C

点评： 本题通过集合的运算来考查一元二次不等式和一元一次不等式的解法．

3．（5分）（2012•包头三模）已知命p：∃x∈R，使得x+，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列结论正确的是（ ）

A． 命题“p∧q”是真命题 B． 命题“（￢p）∧q”是真命题

C． 命题“p∧（￢q）”是真命题 D． 命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

2 考点： 复合命题的真假．

专题： 计算题．

分析： 先解出这两个命题对应的不等式，得到这两个命题都是真命题，对于这两个真命题，得到用且连接的符合命题是真命题．

解答： 解：∵命p：∃x∈R，使得x+，解这个不等式的x＜0，

∴存在x∈R，使得x+，故本命题正确，

命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，

∵x2+x+1＞0等价于

∴∀x∈R，x2+x+1＞0，正确，

所给的两个命题都正确，

∴命题“p∧q”是真命题

故选A．

点评： 本题考查符合命题的真假，考查不等式的解法，考查全称命题和特称命题，是一个基础题，这种题目可以出现在大型考试的选择或填空中，是一个必得分题目．

4．（5分）（2014•咸阳校级模拟）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 集合的包含关系判断及应用．

专题： 计算题；转化思想．

分析： 利用集合的包含关系，判断出集合M与N的关系，利用N是M的真子集，判断两者的关系．

解答： 解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，

∴N⊂M

∴“a∈M”是“a∈N”必要不充分条件．

故选B

点评： 本题考查利用集合的包含关系判断一个命题是另一个命题的什么条件．当A⊂B时，A是B的充分不必要条件．

3 5．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（ ）

A． B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 综合题．

分析： 把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．

解答： 解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，

则c==，所以椭圆的离心率e==．

故选A

点评： 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．

6．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

考点： 函数的图象与图象变化．

专题： 数形结合．

分析： 本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定． 4 解答： 解：因为f（0）=，排除C；

因为f'（x）=3x2﹣2x，解f'（x）＞0，

所以 x∈（﹣∞，0）或 x∈（，+∞）时f（x）单调递增，排除B，D．

故选A．

点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．

7．（5分）（2014•余杭区校级模拟）函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）

A． x﹣y﹣2=0 B． x+y﹣2=0 C． x+4y﹣5=0 D． x﹣4y+3=0

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 计算题．

分析： 欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答： 解：依题意得y′=，

因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，

相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，

故选B．

点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

8．（5分）已知抛物线，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为（ ）

A． B． C． 5 D． 4

考点： 直线与圆锥曲线的关系．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可求弦长． 5 解答： 解：抛物线的焦点坐标为（0，1），

∴过抛物线焦点F且斜率为的直线l的方程为y=x+1，代入抛物线，

得x2﹣2x﹣4=0，

设两个交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）

∴x1+x2=2，∴y1+y2=3

根据抛物线的定义可知|AB|=y1++y2+=y1+y2+p=3+2=5

故选C．

点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式求得|AB|值．

9．（5分）已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）

A． 16 B． 11 C． 8 D． 3

考点： 椭圆的定义．

专题： 计算题．

分析： 根据A，B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a，根据AB的长度写出要求的结果．

解答： 解：∵直线交椭圆于点A、B，

∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，

∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，

故选B

点评： 本题考查椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长．

10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有x•f′（x）+f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解集是（ ）

A． （﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（0，2） C． （﹣2，0）∪（0，2） D． （﹣2，2）∪（2，+∞）

6 考点： 函数的单调性与导数的关系．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 由题意构造函数g（x）=xf（x）求出g′（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到

f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

解答： 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=x•f′（x）+f（x），

∵当x＞0时，有x•f′（x）+f（x）＜0，则g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∵函数f（x）是R上奇函数，∴函数g（x）是R上的偶函数，

则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

又f（2）=0，则g（2）=0，

∴在（0，2）内恒有g（x）＞0；在（2，+∞）内恒有g（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）内恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）内恒有g（x）＞0，

∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0，

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），

故选：A．

点评： 本题考查导数与函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，考查构造函数法，属于中档题．

二、填空题：（共3小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）（2012•江苏模拟）设复数，则a+b= 1 ．

考点： 复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．

专题： 计算题．

分析： 利用两个复数代数形式的除法，把复数化为﹣+i，根据两个复数相等的充要条件，求出a和b的值，即可求得a+b

的值．

解答： 解：∵===﹣+i=a+bi，

∴a=﹣，b=，∴a+b=1， 7 故答案为：1．

点评： 本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相等的充要条件，把复数化为﹣+i，是解题的关键．

12．（5分）（2012春•汕头校级期中）f（x）=x3﹣3x+1在[﹣2，2]上的最大值是 3 ．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答： 解：f′（x）=3x2﹣3，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，

∴函数在[﹣2，﹣1），（1，2]递增，在（﹣1，1）递减，

而f（﹣2）=﹣2，f（2）=3，f（x）极大值=f（﹣1）=3，

故函数的最大值是3，

故答案为：3．

点评： 不同考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

13．（5分）（2013春•芗城区校级期中）在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2=BD•BC．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有

S△ABC2=S△BCO•S△BCD

考点： 类比推理．

专题： 探究型．

分析： 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性