简谈矩阵可逆的判别法与其运用

简谈矩阵可逆的判别法与其运用

内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。

关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，

1.导言：

矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。

2.预备知识：

逆矩阵定义：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E；这里E是单位矩阵。记作B=1A。

判别法1：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化。

判别法2：n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。

引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。

引理4:对矩阵A进行初等行（列）变换得到矩阵B，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。

引理5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数0，存在一个非零向量，使得

0.那么0称为的一个特征值，而称为的属于0的

一个特征向量。

引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称AAEAAEPAn,n

且AE=ASSnknkknn1111，其中kS为A中一切 k阶主子式之和，由此可知AE=0在P中最多有n个不同的解，但在 P中也可能没有一个解，但在复数域C中，A一定有n个解（包括重根个 数）。来自高等代数题解精粹第2版钱吉林编著。

3.逆矩阵定义证明： 证明：

假设ijA是矩阵

nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211

中元素ija的代数余子式，矩阵

nnnnnAAAAAAAAAA21222121n1211*

称为A的伴随矩阵。

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：A*A=AA*=ddd000000=dE

其中d=|A|.

如果d=|A|≠0.那么由*AAAA*=dE得

EAAdAA*1*d1. #

4.判别法1证明及运用：行列式判别法

证明：

由定义可知：*11AdA （d=|A|≠0）.

充分性：当d=|A|≠0时，*11AdA存在，故矩阵A可逆。

必要性：如果矩阵A可逆，那么有1A使得EAA1.

两边取行列式，得

|A||1A|=|E|=1,

因而|A|≠0,即A非退化。 #

运用：（文献[1]）求证实矩阵A=abba可逆当且仅当A不是零矩阵。并在0A时，求出1A。 分析：要证明矩阵A是非零矩阵，则需要证明矩阵A中至少有一个元素不为0，又因为矩阵A是可逆的，由判别法一可知0A，思考0A与A是非零矩阵的联系，即可解题。

证明：由判别法一可知：A可逆022baAa,b中至少有一个不为0A不是零矩阵。

当0A时，有022baA，*A=abba

故由定义得

1A=*11AdA=*11AAA=abbaba221

5.判别法2证明及运用：初等矩阵判别法

证明：

如果矩阵A能表成一些初等矩阵的乘积，则有：

令A=m21...QQQ

则对两边依次乘以11121m...QQQ得：

11121m...QQQA=E.

则存在A的逆矩阵1A，且1A=11121m...QQQ. #

运用：已知矩阵A是由单位矩阵E经过一系列初等变换得到的，讨论A是否可逆。

答：A可逆

证明：

判别法判断矩阵可逆扩充：

6.扩充一：秩判别法

如果矩阵满秩，则矩阵可逆；如果矩阵可逆，那么矩阵一定满秩。

证明：

充分性：若n级矩阵A满秩，即rank(A)=n.

则矩阵A对应的行列式|A|≠0.

由判别法1可知：

矩阵A对应的行列式|A|≠0.

矩阵A可逆。

必要性：若矩阵A可逆，由引理1可知，|A|≠0

则矩阵A满秩。 # 运用：（文献[1]）判断矩阵A=110220111,B=041-452-131-是否可逆。

分析：判断矩阵是否可逆，看矩阵是否满足可逆的条件，即可证明。

A=11022011123r2r-110000111000110111故矩阵A的秩为2≠3，故矩阵A不可逆。

B=041-452-131-1-1021-0131-10021-0131-，故矩阵B的秩为3，满秩

故矩阵B可逆。

7.扩充二：初等变换判别法

如果用一系列初等行变换能把可逆矩阵A化成单位矩阵，那么同样的用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就可以得到1A，即 .

1AEEA经过一系列初等变换

证明：

若矩阵A是一个n级可逆矩阵，则由判别法2可知，存在一系列的m21...QQQ，使

m21...QQQA=E

则1A=m21...QQQ=m21...QQQE #

运用：（文献[1]）判断矩阵A=01-2411210是否可逆，若可逆，求出逆矩阵1A。

对A进行初等变换 .

A=01-24112101002104118-3-021041101-2210411100010001

A能经过初等变换化为单位矩阵

矩阵A可逆 21123100124010112001100012001210010411100012010411001210EA故1A=21-123-12-411-2.

8.扩充三：齐次线性方程组判别法

n级矩阵A为可逆的充分必要条件是齐次线性方程组AX=0只有零解。

证明：

充分性：若齐次线性方程组AX=0只有零解

由引理3可知：

齐次线性方程组AX=0只有零解

齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A对应的行列式|A|≠0.

由判别法1可知，矩阵A可逆。

必要性：若矩阵A可逆

则矩阵A对应的行列式|A|≠0

由引理3可知：齐次线性方程组AX=0只有零解。 #

运用：（文献[4]）

已知齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中，系数矩阵A行列均线性无关，判断其系数矩阵A是否可逆。

答：其系数矩阵可逆。

证明：齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中系数矩阵行列均线性无关

则令n21i,,iiiaaan，，2,1i

解：由题意可知：ni,,2,1i线性无关。

故由02211inniiaxaxax可知，021nxxx

即齐次线性方程组只有零解，由扩充三可知，其系数矩阵A可逆。

9.扩充四：矩阵变换判别法

对矩阵A施行初等行（列）变换得到矩阵B，若B可逆，则A可逆。

证明：

充分性：

由引理3可知：对A进行初等行（列）变换，矩阵的秩不变。

则有rank(A)=rank(B)

又因为矩阵B可逆，由判别法1的扩充一可知，矩阵B满秩。故矩阵A也满秩。

必要性：若矩阵A可逆，由判别法1的扩充一可知，矩阵A满秩

又由引理3可知：对A进行初等行（列）变换，矩阵的秩不变

即rank(A)=rank(B)，故矩阵B也满秩。 #

运用：

10.扩充五：矩阵向量组判别法（分块矩阵判别法）

把矩阵按行（列）分成一组向量组n21......，（可以看作对矩阵A按每行（列）分块），矩阵A可逆的充分必要条件是n21......，线性无关

证明：

充分性：把矩阵A按行分成一组向量组n21......，，若n21......，线性无关，

则有矩阵A的秩为n，即矩阵A满秩，由扩充一可知，矩阵A可逆。

必要性：若矩阵A可逆，则有矩阵A满秩，故矩阵A的各行（列）线性无关，对矩阵按行（列）分块，得到一组n21......，

故n21......，线性无关。 #

运用：（文献[3]）若321，，线性无关，求证：矩阵133221可逆

证明：令0133322211kkk

整理得：0332221131kkkkkk

又由题意可知：321，，线性无关

0322131kkkkkk

解之得0321kkk

133221，，线性无关

由扩充五可知，矩阵133221可逆